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关键字:与二次函数有关的综合问题1(2014年

1. (2014 贵州省黔西南州) 如图9所示,在平面直角坐标系中,抛物线 经过 、 、 三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作 轴的垂线,重足为E,连接AE. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标; (2)如果P点的坐标为 ,?PAE的面积为S,求S与 之间的函数关系式,直接写出自变量 的取值范围,并求S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作 轴的垂线,垂足为F,连接EF,把?PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点 ,求出 的坐标,并判断 是否在该抛物线上. 答案:解:(1)∵抛物线过点 、 ∴设其解析式为: 且过点 ∴ 即解析式为: ,顶点坐标为: (2)过点A作AH⊥CF交CP的延长线于点H ∵ 、 ∴直线AD的解析式为: ∴ 当 时,S取得最大值,最大值为: ;此时点P的坐标为: ,且点E与点C重合 如图,过点 作y轴的垂线交y轴于点N,交PE的延长线于点M ∵PE=1.5,PF=3且?FPE≌? ∴ , 设点 的坐标为: ,可得: 、 、 、 易证:? ∽? ∴ 即: 解得: 代入抛物线: 知该点不在抛物线上. 20140917202946520647 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-17 2. (2014 广西玉林市) 给定直线l:y =kx,抛物线C:y =ax2 +bx +1. (1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值; (2)若把直线l向上平移k2 +1个单位长度得到直线l’,则无论非零实数k取何值,直线l’与抛物线C都只有一个交点. ① 求此抛物线的解析式; ② 若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y =2交于Q点,O为原点,求证:OP = PQ. 答案:解: (1)当b=1时,抛物线为:y =ax2 + x +1, 令kx =ax2 + x +1,即:ax2 +(1-k)x +1=0, 由韦达定理得:x1+x2 = ,因为直线l与抛物线C的两交点关于原点对称, 则x1+x2 =0,∴ =0,∴ k =1, ∴ 直线l :y =x, ∵ 抛物线顶点A 在直线l 上, ∴ ,得:a = , 经检验:a = 符合方程. (2)① 由题意得:直线l’解析式:y =kx +k2+1 令ax2 +bx +1 =kx +k2+1 即:ax2 +(b-k)x -k2 =0 ∵无论非零实数k取何值,直线l’与抛物线C都只有一个交点, 即不论k取任何非零实数,△=(b-k)2 +4ak2 =0恒成立, 亦即为:(1+4a)k2 -2bk +b2 =0, 令 得: ∴ 抛物线的解析式: ② 如图所示,PQ与x轴相交于点E, 不妨设点P( , ),则Q( ,2),OE = ,PE = , ∴ PQ =2 -( )= ,则PQ2 = = , 而OP2 =OE2 +PE2 = , ∴ PQ2 = OP2 ,∴ OP = PQ. 20140917201541256298 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-17 3. (2014 广西桂林市) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-2,0)、B两点,与y轴交于C点,其对称轴为直线x=1. (1)直接写出抛物线的解析式____: (2)把线段AC沿x轴向右平移,设平移后A、C的对应点分别为A`、C`,当C`落在抛物线上时,求A`、C`的坐标; (3)除(2)中的点A`、C`外,在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由。 答案:解: (1)y =- x2+x+4; (2)抛物线的解析式:y =- x2+x+4, 当x=0时,y=4, 可得点C(0,4) ∵ 抛物线的对称轴为x=1 ∴点C关于x=1的对称点C`的坐标为(2,4) ∴点C向右平移了2个单位长度 则点A向右平移后的点A`的坐标为(0,0) 所以点A`,C`的坐标分别分(0,0),(2,4)。 (3) 存在,共有两种情况: ①如图,四边形ACEF是平行四边形, 过点F作FD⊥x轴 ∴AF=CE,∠AEC=∠EAF,∠ADF=∠AOC=90° ∴∠DAF=∠CEO ∴△ADF≌△EOC ∴DF=CO=4,AD=EO ∴点F的纵坐标为-4, ∵点F在抛物线y =- x2+x+4的图像上 即- x2+x+4=-4,解得x=1± ∴点F(- +1,-4) ∴DO= -1 ∵AO=2 ∴AD=EO=DO-AO= -3 ∴点E(- +3,0) 所以点E的坐标为(- +3,0),点F的坐标为(- +1,-4) ②如图,四边形ACE`F`是平行四边形 过点F`作F`H⊥x轴 ∴AC=E`F`,∠CAO=∠F`E`H,∠AOC=∠F`HE`=90° ∴△AOC≌△E`HF` ∴HF`=CO=4,AO=E`H 得点F`的纵坐标是-4 ∵点F`在抛物线y =- x2+x+4的图像上 即- a2+a+4=-4,解得x=1± 则点F`的坐标为(1+ ,-4) ∴EH=1+ ,E`H=AO=2 ∴OE`=3+ ∴点E的坐标为(3+ ,0)(1+ ,-4) 所以点E的坐标为(3+ ,0),点F的坐标为(1+ ,-4) 综上可知,当点E为(- +3,0),点F为(- +1,-4)或点E为(3+ ,0),点F为(1+ ,-4)时,以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。 20140917200325510843 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-17 4. (2014 浙江省嘉兴市) 如图,在平面直角坐标系中,A是抛物线 上的一个动点,且点A在第一象限内. AE⊥ 轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交 轴于点C,点D与点C关于 轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为 ,△BED的面积为 . (1)当 时,求 的值. (2)求 关于 的函数解析式. (3)①若 时,求 的值; ②当 时,设 ,猜想 与 的数量关系并证明. 答案:解:(1)∵点A在二次函数y= x2的图象上,AE⊥y轴于点E且AE=m, ∴点A的坐标为(m, m2), 当m= 时,点A的坐标为( ,1), ∵点B的坐标为(0,2), ∴BE=OE=1. ∵AE⊥y轴, ∴AE∥x轴, ∴△ABE∽△CBO, ∴ = = , ∴CO=2 , ∵点D和点C关于y轴对称, ∴DO=CO=2 , ∴S= BE?DO= ×1×2 = ; (2)(I)当0<m<2时(如图1), ∵点D和点C关于y轴对称, ∴△BOD≌△BOC, ∵△BEA∽△BOC, ∴△BEA∽△BOD, ∴ = ,即BE?DO=AE?BO=2m. ∴S= BE?DO= ×2m=m; (II)当m>2时(如图2), 同(I)解法得:S= BE?DO= AE?OB=m, 由(I)(II)得, S关于m的函数解析式为S=m(m>0且m≠2). (3)①如图3,连接AD, ∵△BED的面积为 , ∴S=m= , ∴点A的坐标为( , ), ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∴k= = = ; ②k与m之间的数量关系为k= m2, 如图4,连接AD, ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∵点A的坐标为(m, m2),S=m, ∴k= = = m2(m>2). 20140916195825126911 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-16 5. (2014 山东省烟台市) 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A、C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA= 抛物线 经过点B ,与y轴交于点D. (1)求抛物线的表达式; (2)点B关直线AC的对称点是否是在抛物线上?请说明理由; (3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由. 答案:解:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,得 解得 ∴抛物线的表达式为 (2)连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCF=90°,∴∠ACO=∠CBF. ∵∠AOC=∠CFB=90° ∴△AOC∽△CFB,∴ . 设OC=m,则CF=2-m,则有 解得m1= m2=1 ∴OC=CF=1 当x=0时, ∴OD= . ∴BF=OD ∵∠DOC=∠BFC=90° ∴△OCD≌△FCB ∴DC=CB, ∠OCD=∠FCB ∴点B、C、D在同一条直线上. ∴点B与D关于直线AC对称 ∴点B关于直线AC对称的点在抛物线上. (3)过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为 ,则 解得 ∴ 代入抛物线表达式后解得 当 时, ∴点E的坐标为( ) ∵ ∴ 30° ∵ ∴ 30° ∴∠OAC=∠EDG ∴ED∥AC 20140916192747034615 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-16 6. (2014 江苏省苏州市) 如图,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A,B(点A位于点B 的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE. (1) 用含m的代数式表示a; (2) 求证:ADAE为定值; (3) 设该二次函数图象的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由. 第29题 答案: (1)将C(0,-3)代入函数表达式得a(0-3m2)=-3.∴ a=1m2;(2)如图,过点D,E分别作x轴的垂线,垂足为M,N.由a(x2-2mx-3m2)=0解得x1=-m,x2=-3m.∴ A(-m,0),B(3m,0).∵ CD∥AB,∴ 点D 的坐标为(2m,-3).∵ AB平分∠DAE,∴ ∠DAM=∠EAN.∵ ∠DMA=∠ENA=90°,∴ △ADM∽△AEN.∴ ADAE=AMAN=DMEN.设点E的坐标为x,1m2(x2-2mx-3m2),∴ 31m2(x2-2mx-3m2)=3mx-(-m).∴ x=4m.∴ ADAE=AMAN=3m5m=35(定值);(3)连接FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.由题意得:二次函数图象顶点F的坐标为(m,-4).过点F作FH⊥x轴于点H.∵ tan ∠CGO=OCOG,tan ∠FGH=HFHG,∴ OCOG=HFHG.∴ OG=3m.此时,GF=GH2+HF2=16m2+16=4m2+1,AD=AM2+MD2=9m2+9=3m2+1,∴ GFAD=43.由(2)得ADAE=35,∴ AD∶GF∶AE=3∶4∶5,∴以线段GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,此时G点横坐标为-3m. 20140916191055757489 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-16 7. (2014 山东省日照市) 如图1,在菱形OABC中,已知OA=2 ,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点. (Ⅰ)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式. (Ⅱ)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上. (1)当OP+PC的最小值时,求出点P的坐标; (2)在(1)的条件 下,连接PE、PF、EF得△PEF,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三角形与△PEF相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 答案: 解:(Ⅰ)如图1,作CH⊥OA于点H, 四边形OABC是菱形,OA=2 ,∠AOC=60°, OC=2 ,OH=sin60°2 = ,CH=cos60°2 =3, A点坐标为(2 ,0),C 点的坐标为( ,3), 由菱形的性质得B点的坐标为(3 ,3). 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得 , 解得a=﹣ ,b= ,c=0, 所以,y=﹣ x2+ x. (Ⅱ)(1)如图2,由(Ⅰ)知抛物线的解析式为:y=﹣ x2+ x, 所以对称轴为x=2 ,顶点为Q(2 ,4). 设抛物线与x轴的另一个交点为D,令y=0,得,x2﹣4 x=0, 解得x1=0,x2=4 , 所以点D的坐标为(4 ,0), ∵点A的坐标为(2 ,0),对称轴为x=2 , 且AG⊥BC, 直线AG为抛物线的对称轴. ∵B、C两点关于直线AG对称, 当OP+PC最小时, 由对称性可知,OP+PC=OB. 即OB,AG的交点为点P, ∵∠AOC=60°,OB为菱形OABC的对角线, ∴∠AOB=30°, 即AP=OAtan30°=2 × =2, 所以点P的坐标为(2 ,2). (2)连接OB,CD,CQ,BQ, 由(1)知直线AG为抛物线的对称轴, 则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形. ∵点E是OB中点,点F是AB的中点,点P在抛物 线的对称轴上, ∴PE=PF,EF∥OD,CQ=BQ ∠PEF=∠BOA=30°, 即△PEF是底角为30°的等腰三角形. 在△OBC、△BCD中, OC=BC=BD=2 ,∠BOC=∠BDC=30°, 所以△OBC∽△BCD∽△PEF, 所以,符合条件的点的坐标为(0,0),(4 ,0). 又因为AQ=4,AG=3,BC=2 , 所以GQ=1,BG= , 所以,tan∠BGQ= = , 即∠BGQ=30°, △BQC也是底角为30°的等腰三角形, Q点的 (2 ,4), 所以符合条件的点M的坐标为(0,0),(4 ,0),(2 ,4).   20140915225757151682 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 8. (2014 浙江省义乌市) 如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点. (1)求该抛物线的函数解析式. (2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P. ①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积. ②当m=-3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:(1)设抛物线的解析式为 ,由对称轴x=1,可得点B坐标(2,4), ∴ 解得 ∴ . ……4分 (2)①PH⊥直线l,有ON=MN=1,PM=3, 由△PMH为等腰直角三角形得HM=PH= , 所以, . ……4分 ②存在四种情况: 当点P在边OC上时(如图2),此时点E与点O重合, 点F与点G重合,△PEF为等腰直角三角形,EP=EF=3, ∴P1(0,3). 当点P在边BC上时(如图3),PE=PF, 则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点,有GE=GF,过点F分别作FH⊥PE于点H,FK⊥x轴于点K, ∵∠OGD=135°,∴∠EPF=45°,即△PHF为等腰直角三角形, 设GE=GF=t,则GK=FK=EH= , ∴ , ∴ , ∴ ,解得 , 则 , ∴ . 当点P在边AB上,分两种情形: 情形1:如图4,当点E与点G重合时,△PEF为等腰直角三角形, 设直线AB的 解析式为 ,则有 解得 ∴直线AB的解析式为 , OE=3,PE=-2×3+8=2,∴P3(3,2). [来源:Z.xx.k.Com] 情形2:如图5,PE=PF, 过点F作x轴的平行线,与过点G作x轴的垂线相交于点N,与EP的延长线相交于点M. 则四边形MNGE是矩形,△NGF与△PMF都是等腰直角三角形, 设PE=PF =t,则PM=MF= ,NG=NF=ME= ,[来源:学.科.网] 所以 ∴OE=OG+GE= , ∴P( ,t) 代入 ,得 ,解得 , ∴ , ∴P4 . 综上所述,以点P,E,F三点为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为: , , , . ……4分 20140915221743552520 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 9. (2014 四川省遂宁市) 已知:直线l:y=﹣2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴,且经过点(0,﹣1),(2,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)如图①,点P是抛物线上任意一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,求证:PO=PQ. (3)请你参考(2)中结论解决下列问题: (i)如图②,过原点作任意直线AB,交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂线,垂足分别是点M、N,连结ON、OM,求证:ON⊥OM. (ii)已知:如图③,点D(1,1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)由题意,得 , 解得: , ∴抛物线的解析式为:y= (2)如图①,设P(a, a2﹣1),就有OE=a,PE= a2﹣1, ∵PQ⊥l, ∴EQ=2, ∴QP= a2+1. 在Rt△POE中,由勾股定理,得 PO= = , ∴PO=PQ; (3)①如图②,∵BN⊥l,AM⊥l, ∴BN=BO,AM=AO,BN∥AM, ∴∠BNO=∠BON,∠AOM=∠AMO,∠ABN+∠BAM=180°. ∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°,∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°, ∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360° ∴2∠BON+2∠AOM=180°, ∴∠BON+∠AOM=90°, ∴∠MON=90°, ∴ON⊥OM; ②如图③,作F′H⊥l于H,DF⊥l于G,交抛物线与F,作F′E⊥DG于E, ∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°,FO=FG,F′H=F′O, ∴四边形GHF′E是矩形,FO+FD=FG+FD=DG,F′O+F′D=F′H+F′D ∴EG=F′H, ∴DE<DF′, ∴DE+GE<HF′+DF′, ∴DG<F′O+DF′, ∴FO+FD<F′O+DF′, ∴F是所求作的点. ∵D(1,1), ∴F的横坐标为1, ∴F(1, ). 20140915215934426046 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 10. (2014 四川省攀枝花市) 如图,抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D的坐标为(﹣6,0),且∠ACD=90°. (1)请直接写出A、B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值;若不存在,说明理由; (4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止.设直线m与折线DCA的交点为G,与x轴的交点为H(t,0).记△ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围. 答案: 解:(1)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0), 令y=0,即ax2﹣8ax+12a=0, 解得x1=2,x2=6, ∴A(2,0),B(6,0). (2)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0), 令x=0,得y=12a,∴C(0,12a),OC=12a. 在Rt△COD中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36; 在Rt△COD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4; 在Rt△COD中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2; 即:(144a2+36)+(144a2+4)=82, 解得:a= 或a=﹣ (舍去), ∴抛物线的解析式为:y= x2﹣ x+ . (3)存在. 对称轴为直线:x=﹣ =4. 由(2)知C(0, ),则点C关于对称轴x=4的对称点为C′(8, ), 连接AC′,与对称轴交于点P,则点P为所求.此时△PAC周长最小,最小值为AC+AC′. 设直线AC′的解析式为y=kx+b,则有: ,解得 , ∴y= x﹣ . 当x=4时,y= ,∴P(4, ). 过点C′作C′E⊥x轴于点E,则C′E= ,AE=6, 在Rt△AC′E中,由勾股定理得:AC′= =4 ; 在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC= =4. ∴AC+AC′=4+4 . ∴存在满足条件的点P,点P坐标为(4, ),△PAC周长的最小值为4+4 . (4)①当﹣6≤t≤0时,如答图4﹣1所示. ∵直线m平行于y轴, ∴ ,即 ,解得:GH= (6+t) ∴S=S△DGH= DH?GH= (6+t)? (6+t)= t2+2 t+6 ; ②当0<t≤2时,如答图4﹣2所示. ∵直线m平行于y轴, ∴ ,即 ,解得:GH=﹣ t+2 . ∴S=S△COD+S梯形OCGH= OD?OC+ (GH+OC)?OH = ×6×2 + (﹣ t+2 +2 )?t =﹣ t2+2 t+6 . ∴S= . 20140915214740113792 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 11. (2014 辽宁省锦州市) 如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,4),抛物线 经过点A和C. (1)求抛物线的解析式. (2)该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分,对称轴左侧部分的图形面积记为 ,右侧部分图形的面积记为 ,求 与 的比. (3)在y轴上取一点D,坐标是(0, ),将直线OC沿x轴平移到 ,点D关于直线 的对称点记为 ,当点 正好在抛物线上时,求出此时点 坐标并直接写出直线 的函数解析式. 图1 图2 答案:解:(1)∵四边形ABCO为平行四边形, ∴BC∥AO,且BC=AO,[来源:学§科§网] 由题意知,A(-2,0),C(2,4),将其代入抛物线 中,有 ,解得 , ∴抛物线解析式为 …………4分 由(1)知, 抛物线对称轴为直线 , 设它交BC于点E,交OC于点F, 则BE= ,CE= . 又∵∠A=∠C, ∴?CEF∽?AOB, ∴ , ∴EF=3, ∴ ,……………………6分 又∵S□ABCD=2×4=8,∴ , ∴S1:S2=23:9.…………………………………………………………8分 如图,设过DD’的直线交x轴于点M,交OC于点P, ∵DM ⊥OC,∴∠DOP=∠DMO, ∵AB∥OC,∴∠DOC=∠ABO,∴?ABO∽?DMO, ∴ ,∴OM=7………………………………………………10分 设直线DM的解析式为 ,将点D(0, ),M(7,0)代入,得 ,解得 , ∴直线DM的解析式为 , 由题意得 ,解得 , ,……………………12分 ∴点D’坐标为(-1,4)或( , ). 直线O’C’的解析式为: (如图1)或 (如图2)………………………………14分 图1 图2 20140915210141237681 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 12. (2014 重庆市B卷) 如图,已知抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC。 (1)求A、B、C三点的坐标; (2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求△BPN的周长; (3)在(2)的条件下,当BCM的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在点Q,使得△CNQ为直角三角形,求点Q的坐标。 答案: 解:(1)令x=0,解得y=3 ∴点C的坐标为(0,3) 令y=0,解得x1=-1,x2=3 ∴点A的坐标为(-1,0) 点B的坐标为(3,0) (2)由A,B两点坐标求得直线AB的解析式为y=-x+3 设点P的坐标为(x,-x+3)(0<x<3) ∵PM∥y轴 ∠PNB=90°,点M的坐标为(x,-x2+2x+3) ∴PM=(-x2+2x+3)-(-x+3) =-x2+3x ∵ ∴当x= 时 的面积最大 此时,点P的坐标为( , ) ∴PN= ,BN= ,BP= ∴ . (3)求得抛物线对称轴为x=1 设点Q的坐标为(1, ) ∴ ①当∠CNQ=90°时, 如图1所示 即 解得: ∴Q1(1, ) ②当∠NCQ=90°时,如图2所示 即 解得: ∴Q2(1, ) ③当∠CQN=90°时,如图3所示 即 解得: ∴Q3(1, )Q4(1, ) 20140915204822563739 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 13. (2014 重庆市A卷) 如图,抛物线 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. (1)求点A、B、C的坐标; (2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,若点P在点Q的左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积; (3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(G在点F的上方).若 ,求点F的坐标. 答案:解:(1)对 令x=0得,y=3,则C(0,3) 令y=0,得 ,解得, ∴A(-3,0),B(1,0) (2)由 得抛物线的对称轴为直线 设点M(x,0), ,其中-3<x<-1 ∵P、Q关于直线 对称,设Q的横坐标为a, 则 ,∴ ∴ , ∴周长 当 时,d取最大值, 此时,M(-2,0),∴ 设直线AB解析式为 (k≠0),则 解得, ∴直线AB解析式为 将 代入 得 ,∴ ,∴EM=1 ∴ (3)由(2)知,当矩形PMNQ的周长最大时, , 此时点 ,与点C重合,∴OQ=3. 将 代入 ,得 , ∴ 如图,过D作DK⊥y轴于K,则DK=1,OK=4 ∴QK=OK-OQ=4-3=1 ∴△DKQ是等腰直角三角形, ∴ 设 则 ∵ ∴ ,解得 当 时, 当 时, ∴ 或 20140915202848707780 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 14. (2014 上海市) 在平面直角坐标系中(如图),已知抛物线 与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-2). (1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴; (2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,四边形ACEF为梯形,求点F的坐标; (3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t, 0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面积相等,求t的值. 答案:解:(1)∵抛物线y= x2+bx+c经过点A(﹣1,0),点C(0,﹣2), ∴ , 解得 . 故抛物线的表达式为:y= x2﹣ x﹣2= (x﹣1)2﹣ ,对称轴为直线x=1; (2)由(1)可知,点E(1,0),A(﹣1,0),C(0,﹣2), 当AC∥EF时,直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2, ∴直线EF的解析式为y=﹣2x+2, 当x=1时,y=0,此时点F与点E重合; 当AF∥CE时,直线CE的解析式为y=2x﹣2, ∴直线AF的解析式为y=2x+2, 当x=1时,y=4,此时点F的坐标为(1,4). 综上所述,点P的坐标为(1,4); (3)点B(3,0),点D(1,﹣ ), 若△BDP和△CDP的面积相等, 则DP∥BC, 则直线BC的解析式为y= x﹣2, ∴直线DP的解析式为y= x﹣ , 当y=0时,x=5, ∴t=5. 20140915195447144807 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 15. (2014 江苏省常州市) 在平面直角坐标系 中,二次函数 的图像与 轴交于点A,B(点B在点A的左侧),与 轴交于点C.过动点H(0, )作平行于 轴的直线 ,直线 与二次函数 的图像相交于点D,E. (1)写出点A,点B的坐标; (2)若 ,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与 轴相切时,求 的值; (3)直线 上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)当 =0时,有 ,解之得: , ,∴A、B两点的坐标分别为(4,0)和(-1,0). (2)∵⊙Q与 轴相切,且与 交于D、E两点, ∴圆心O位于直线 与抛物线对称轴的交点处,且⊙Q的半径为H点的纵坐标 ( ) ∵抛物线的对称轴为 , ∴D、E两点的坐标分别为:( - , ),( + , )且均在二次函数 的图像上, ∵ ,解得 或 (不合题意,舍去) (3)存在. ①当∠ACF=90°,AC=FC时,过点F作FG⊥ 轴于G,∴∠AOC=∠CGF=90°, ∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,∴∠ACO=∠CFG,∴△ACO≌△∠CFG,∴CG=AO=4, ∵CO=2,∴ =OG=2+4=6; ②当∠CAF=90°,AC=AF时,过点F作FP⊥ 轴于P,∴∠AOC=∠APF=90°, ∵∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,∴∠ACO=∠FAP,∴△ACO≌△∠FAP,∴FP =AO=4, ∴ =FP =4; ③当∠AFC=90°,FA=FC时,则F点一定在AC的中垂线上,此时 =3或 =1 20140915194023018136 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-15 16. (2014 江西省抚州市) 如图,抛物线 ( )位于 轴上方的图象记为 1 ,它与 轴交于 1 、 两点,图象 2与 1关于原点 对称, 2与 轴的另一个交点为 2 ,将 1与 2同时沿 轴向右平移 1 2 的长度即可得 3与 4 ;再将 3与 4 同时沿 轴向右平移 1 2的长度即可得 5与 6 ; ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象 1 , 2 ,…… , n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. ⑴ 当 时, ① 求图象 1的顶点坐标; ② 点 (2014 , -3) (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上;若图象 n 的顶点 n的横坐标为201,则图象 n 对应的解析式为 ,其自变量 的取值范围为 . ⑵ 设图象 m、 m+1的顶点分别为 m 、 m+1 (m为正整数), 轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究:当 为何值时,以 、 m 、 m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形?并直接写出此时m的值. 答案:解:(1)当 时, ① ,∴F1的顶点是(-1,1); ②由①知:“波浪抛物线”的 值的取值范围是-1≤ ≤1, ∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上; 由平移知:F2: F3: ,…, ∵Fn的顶点横坐标是201,∴Fn的解析式是: , 此时图象与 轴的两个交点坐标是(200,0)、(202,0), ∴200≤ ≤202 . (2)如下图,取OQ的中点O′,连接Tm Tm+1 , ∵四边形OTmQTm+1是矩形,[来源:学.科.网] ∴Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O′, ∴OTm+1=6, ∵F1: ∴Tm+1的纵坐标为 , ∴( )2+12 =62 , ∴ =± , 已知 <0 , ∴ . ∴当 时,以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4. 20140914201953616215 7 与二次函数有关的综合问题 阅读理解与信息迁移 基础知识 2014-09-14 17. (2014 江西省) 如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离为碟高. (1)抛物线y= x2对应的碟宽为______;抛物线y=4x2对应的碟宽为______;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为______;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为______; (2)若抛物线y=ax2-4ax- (a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值; (3)将抛物线yn=anx2+nbx+cn(an>0)的对应准碟形记为Fn(n=1,2,3,…),定义F1,F2,…,Fn为相似准碟形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn-1的相似比为 ,且Fn的碟顶是Fn-1碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准碟形记为F1. ①求抛物线y2的表达式; ②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…,Fn的碟高为hn,则hn=______,Fn的碟宽右端点横坐标为______;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由. 答案:解:(1)4, , , ; (2)由(1)可知,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)对应的准碟形碟宽为 , 所以 =6,a= . 6分 (3)①由(2)知,y1= (x-2)2-3,碟顶M1的坐标为(2,-3). ∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点, ∴F2的碟顶M2的坐标为(2,0),可设y2=a2(x-2)2. ∵F2与F1的相似比为 ,F1的碟宽为6, ∴F2的碟宽为6× =3,即 =3,a2= . ∴y2= (x-2)2= x2- x+ . 8分 ② ;2+ ; 10分 F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是在一条直线上,该直线的表达式为y=-x+5. 12分 20140914193036716302 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-14 18. (2014 吉林省) 如图①,直线l: 与x,y轴分别相交于A,B两点,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫做l的关联抛物线,而l叫做P的关联直线. (1)若l: ,则P表示的函数解析式为 ,若P: ,则l表示的函数解析式为 . (2)求P的对称轴(用含m,n的代数式表示); (3)如图②,若l: ,P的对称轴与CD相交于点E,点F在l上,点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,求点Q的坐标; (4)如图③,若l: ,G为AB中点,H为CD中点,连接GH,M为GH中点,连接OM.若OM= ,直接写出l,P表示的函数解析式. (图①) (图②) (图③) (第26题) 答案:解:(1)y=-x2-x+2;y=-4x+4; (2)如图①,∵直线l:y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于点A,B两点, ∴ . 由题意,得D(-n,0). 设抛物线对称轴与x轴交点坐标N(x,0). ∵DN=AN, ∴ ,∴ , ∴ . ………………..(4分) (3)如图②,l: , . 由(2)可知,P的对称轴 ...(5分) ①点Q1在直线l下方, ∵直线 与 轴交点分别为 . 由题意得 . 设直线CD: ,则 . 解得 ,∵ ,过B作BQ1∥CE. ∴BQ1的函数解析式为 . 当 时, . ∴ . ………………..(7分) ②点Q2在直线l上方,设直线AB与抛物线对称轴交于点G,点 . ∵四边形Q1ECB是平行四边形,且四边形EFC Q2也是平行四边形, ∴四边形FQ1B Q2是平行四边形.∴点Q1关于点G的对称点为Q2. ∴ . ∴ . ………………..(8分) 综上所述,点Q的坐标为 或 . (4)l:y=-2x+8; M: ………………..(10分) 20140914191417982414 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-14 19. (2014 四川省甘孜州) 在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3). (1)求b,c的值,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)设该抛物线的对称轴为直线l,点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点,点E与点P关于直线l对称,点E与点F关于y轴对称.若四边形OAPF的面积为48,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,设M是直线l上任意一点,试判断MP+MA是否存在最小值,若存在,求出这个最小值及相应的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)把点A、B坐标代入抛物线解析式,得: 。解得: 所以,抛物线的解析式为y=x2-4x=(x-2)2-4 所以:对称轴为直线x=2,顶点坐标为:(2,-4) (2)如图,由题意知:E点坐标为(4-m,n),F点坐标为(m-4,n) ∴PF=4 ∵OA∥PF,OA=4 ∴四边形OAPF是平行四边形 ∵点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点 ∴n=m2-4m ∴4(m2-4m)=48 解得:m1=-2(舍去),m2=6, ∴点P的坐标为(6,12) (3)MP+MA存在最小值。 由(1)得,抛物线与x轴交于点A(4,0),O(0,0) ∵M是直线l上任意一点 ∴MO=MA ∴当点O、M、P三点共线时,MP+MA=MP+MO=OP为最小值 ∵点P的坐标为(6,12) ∴直线OP的解析式为y=2x 设M(2,t) ∴t=2×2=4 ∴M(2,4) 此时线段OP的长度为 20140914132317266613 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-14 20. (2014 四川省自贡市) 如图,已知抛物线 与 轴相交于A、B两点,并与直线 交于B、C两点,其中点C是直线 与 轴的交点,连接AC。 ⑴求抛物线的解析式; ⑵证明:△ABC为直角三角形; ⑶△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由。(答题卡上的备用图①、②、③供解题时选用) 答案:⑴令 得, ,即 ;将 代入到 得 ,即 。因 、 两点在抛物线 上,所以有: ,解得 , ⑵证明:方法一、解方程 得 ,则 ,AO=1,BO=4,CO=2。∴ 。∵ ∠AOC=∠COB= ,∴ △AOC∽△COB,∴ ∠ACO=∠OBC。又∵∠COB= ,∴ ∠OCB+∠CBO= ,∴ ∠OCB+∠ACO= ,即∠ACO= 。故△ABC为直角三角形。 方法二:由 、 、 三点坐标可求出 、 ,所以∠ACE= 。故△ABC为直角三角形。 ⑶如下图示: 图(1) 图2 ①当DG∥AB时,设 ,则△CDG∽△CAB, ,得 , 。由二次函数的性质可知:当 时, 。②G与C重合时,DE∥CB,设 ,则△BEF∽△BCA, , , 。由二次函数的性质可知:当 时, 。 综上所述,能截出面积最大的矩形DEFG,其最大面积是 。 20140914131524949532 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-14 21. (2014 四川省凉山州) 如图①,在平面直角坐标系中,点 的坐标为( , ),点 (3, ),二次函数 的图象为 。 (1)平移抛物线 ,使平移后的抛物线经过点 ,但不经过点 。 ①满足此条件的函数解析式有 个; ②写出向下平移且过点 的解析式 。 (2)平移抛物线 ,使平移后的抛物线经过 、 两点,所得的抛物线为 ,如图②,求抛物线 的解析式及顶点坐标,并求 的面积; (3)在 轴上是否存在点 ,使 ,若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明好理由。 答案:解:(1)①由于平移包括上下左右平移,问题并没有规定是哪种平移,所以满足已知条件的函数解析式有无数个;②设平移后的抛物线解析式为y=-x2+k,代入A(1,-2),得k=-1,所以向下平移且过点 的解析式为y=-x2-1. 设 的解析式为 ,又∵过A(1,-2)和B(3,-1),得方程组 ,解得 . 则 的解析式为 , 顶点C的坐标为( ),过A、B、C三点分别作x轴的垂涎,垂足分别为D、E、F,则AD=2,CF= ,BE=1,DE=2,DF= ,FE= . 所以S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD= . (3)延长BA交y轴于G,直线AB的解析式为 ,则点G坐标为 ,设P点坐标为(0,h). ①当P点位于点G的下方时,PG= 连结AP,BP, 则S△ABP=S△BPC-S△APG= 又 ,即 ,解得h= ,点P的坐标为 ; ②当P点位于点G的上方时,PG= 同理h= ,点P的坐标为 综上所述,在 轴上存在点 ,使 ,点 的坐标为 或 . 20140914123243479567 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-14 22. (2014 浙江省舟山市) 如图,在平面直角坐标系中,A是抛物线y= x2上的一个动点,且点A在第一象限内.AE⊥y轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BED的面积为S. (1)当m= 时,求S的值. (2)求S关于m(m≠2)的函数解析式. (3)①若S= 时,求 的值; ②当m>2时,设 =k,猜想k与m的数量关系并证明.   答案: 解:(1)∵点A在二次函数y= x2的图象上,AE⊥y轴于点E且AE=m, ∴点A的坐标为(m, m2), 当m= 时,点A的坐标为( ,1), ∵点B的坐标为(0,2), ∴BE=OE=1. ∵AE⊥y轴, ∴AE∥x轴, ∴△ABE∽△CBO, ∴ = = , ∴CO=2 , ∵点D和点C关于y轴对称, ∴DO=CO=2 , ∴S= BE?DO= ×1×2 = ; (2)(I)当0<m<2时(如图1), ∵点D和点C关于y轴对称, ∴△BOD≌△BOC, ∵△BEA∽△BOC, ∴△BEA∽△BOD, ∴ = ,即BE?DO=AE?BO=2m. ∴S= BE?DO= ×2m=m; (II)当m>2时(如图2), 同(I)解法得:S= BE?DO= AE?OB=m, 由(I)(II)得, S关于m的函数解析式为S=m(m>0且m≠2). (3)①如图3,连接AD, ∵△BED的面积为 , ∴S=m= , ∴点A的坐标为( , ), ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∴k= = = ; ②k与m之间的数量关系为k= m2, 如图4,连接AD, ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∵点A的坐标为(m, m2),S=m, ∴k= = = m2(m>2). 20140913220641995912 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-13 23. (2014 浙江省丽水市) 如图,二次函数 的图象经过点A(1,4),对称轴是直线 ,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连结OA,OB,OD,BD. (1)求该二次函数的解析式; (2)求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E坐标; (3)设点F是BD的中点,点P是线段DO上的动点,问PD为何值时,将△BPF沿边PF翻折,使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ? 答案:解:(1)由题意得 解得, 所以二次函数的解析式为: (2)设直线AC为y=mx+n ∵A(1,4),C(0,2) ∴ ∴ ∴直线AC为: 解得, 所以点B的坐标为(-2,-2) (2) 由题可知,点D的坐标是(-4,-4),直线AC的函数解析式是 当 时, (不合题意,舍去), ∴点B的坐标是(-2,-2). ∴∠BOD=90°, , , , 若△EOD∽△AOB时, 则∠EOD=∠AOB, , ∴∠BOD=∠AOE=90°,即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°, OB落在OD上,OA落在OE上,所以点E的坐标是(8,-2). 作△AOB关于x轴的对称图形,所得点E的坐标是(2,-8). ∴当点E的坐标是(8,-2)或(2,-8)时,△EOD∽△AOB. (3)由(2)可知, , , ,∠BOD=90°. 若翻折后,点B落在FD的左下方(侧),如图, 整理得,DH=HF,B′H=PH, ∴在□B′FPD中, ; 若翻折后,点B,D重合, ,不合题意,舍去. 若翻折后,点B落在OD的右上方(侧),如图, 则 同理可得,四边形B′FPD是菱形,即 , 根据勾股定理,得 , 即 , 解得, , (舍去), 综上可知,当 或 时,将△BPF沿边PF翻折,使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 . 20140913204951143888 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-13 24. (2014 浙江省金华市) 如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点. (1)求该抛物线的函数解析式. (2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P. ①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积. ②当m=-3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:(本题12分) (1)设抛物线的解析式为 ,由对称轴x=1,可得点B坐标(2,4), ∴ 解得 ∴ . ……4分 (2)①PH⊥直线l,有ON=MN=1,PM=3, 由△PMH为等腰直角三角形得HM=PH= , 所以, . ……4分 ②存在四种情况: 当点P在边OC上时(如图2),此时点E与点O重合, 点F与点G重合,△PEF为等腰直角三角形,EP=EF=3, ∴P1(0,3). 当点P在边BC上时(如图3),PE=PF, 则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点,有GE=GF,过点F分别作FH⊥PE于点H,FK⊥x轴于点K, ∵∠OGD=135°,∴∠EPF=45°,即△PHF为等腰直角三角形, 设GE=GF=t,则GK=FK=EH= , ∴ , ∴ , ∴ ,解得 , 则 , ∴ . 当点P在边AB上,分两种情形: 情形1:如图4,当点E与点G重合时,△PEF为等腰直角三角形, 设直线AB的解析式为 ,则有 解得 ∴直线AB的解析式为 , OE=3,PE=-2×3+8=2,∴P3(3,2). 情形2:如图5,PE=PF, 过点F作x轴的平行线,与过点G作x轴的垂线相交于点N,与EP的延长线相交于点M. 则四边形MNGE是矩形,△NGF与△PMF都是等腰直角三角形, 设PE=PF=t,则PM=MF= ,NG=NF=ME= , 所以 ∴OE=OG+GE= , ∴P( ,t) 代入 ,得 ,解得 , ∴ , ∴P4 . 综上所述,以点P,E,F三点为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为: , , , . ……4分 20140913203123383260 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-13 25. (2014 浙江省湖州市) 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC= AC,连接OA,OB,BD和AD. (1)若点A的坐标是(﹣4,4) ①求b,c的值; ②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由; (2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1) ①∵AC∥x轴,A点坐标为(﹣4,4).∴点C的坐标是(0,4) 把A、C代入y═﹣x2+bx+c得, 得 ,解得 ; ②四边形AOBD是平行四边形;理由如下: 由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4,∴顶点D的坐标为(﹣2,8), 过D点作DE⊥AB于点E,则DE=OC=4,AE=2, ∵AC=4,∴BC= AC=2,∴AE=BC.∵AC∥x轴,∴∠AED=∠BCO=90°, ∴△AED≌△BCO,∴AD=BO.∠DAE=∠BCO,∴AD∥BO, ∴四边形AOBD是平行四边形. (2)存在,点A的坐标可以是(﹣2 ,2)或(2 ,2) 要使四边形AOBD是矩形;则需∠AOB=∠BCO=90°, ∵∠ABO=∠OBC,∴△ABO∽△OBC,∴ = , 又∵AB=AC+BC=3BC,∴OB= BC, ∴在Rt△OBC中,根据勾股定理可得:OC= BC,AC= OC, ∵C点是抛物线与y轴交点,∴OC=c, ∴A点坐标为( c,c),∴顶点横坐标 = c,b= c, ∵将A点代入可得c=﹣ + c? c+c, ∴横坐标为± c,纵坐标为c即可,令c=2, ∴A点坐标可以为(2 ,2)或者(﹣2 ,2). 20140913200542055438 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-13 26. (2014 浙江省杭州市) 复习课中,教师给出关于x的函数 . 教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写道黑板上. 学生思考后,黑板上出现了一些结论,教师作为活动医院,又补充一些结论,并从中选择如下四条: ①存在函数,其图像经过(1,0)点; ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点; ③当 时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小; ④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。 教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法。 答案:解:①真,代入得: ;数形结合?方程思想? ②假,反例如: ;特殊与一般?举反例 ③假,如 ,当 时,先减后增;举反例,特殊一般? ④真, ,记: , ∴当 时,有最小值,最小值为负; 时,有最大值,最大值为正。 20140913195234736631 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-13 27. (2014 四川省宜宾市) 如图,已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0,–1),与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)判断△MAB的形状,并说明理由; (3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点, 连结MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由. 答案:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,﹣1), ∴b=0,c=﹣1, ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣1. (2)△MAB是等腰直角三角形, 由抛物线的解析式为:y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0), ∴OA=OB=OC=1, ∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°, ∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90° ∵y轴是对称轴, ∴A、B为对称点, ∴AM=BM, ∴△MAB是等腰直角三角形. (3)MC⊥MF; 分别过C点,D点作y轴的平行线,交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H, 设D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1), ∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1, ∵OM=1, ∴CG=n2,DH=m2, ∵FG∥DH, ∴ = , 即 = 解得m=﹣ , ∵ = =﹣n, = = , ∴ = , ∵∠CGM=∠MHD=90°, ∴△CGM∽△MHD, ∴∠CMG=∠MDH, ∵∠MDH+∠DMH=90° ∴∠CMG+∠DMH=90°, ∴∠CMD=90°, 即MC⊥MF. 20140912230753176904 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 28. (2014 四川省南充市) 如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点.点A的横坐标为-3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D. (1)求抛物线的解析式; (2)当m为何值时, ; (3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 答案:解:(1)由已知得, , , ∴ , 解得 , ∴ . (2)∵ , , ∴ . ∵ ,即 ,∴ . 当点P运动至A处,此时P、D重合. ① 当PD在点A左侧时, ,则 , 解得, . ② 当PD在点A右侧时, ,则 , 解得, , 不合题意,舍去. 综上, , 或 . (3)∵ ,∴当 或 时,△PAD是直角三角形. ① 若 ,则AP∥x轴,∴ ,即 , 解得, ,∴ ; ② 若 ,AP⊥AB. 又直线AP: , 由 ,解得 , ,∴ . 综上, 或 . 20140912225142338248 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 29. (2014 四川省乐山市) 如图,抛物线y=x2﹣2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,﹣m)作PM⊥x轴与点M,交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C. (1)若m=2,求点A和点C的坐标; (2)令m>1,连接CA,若△ACP为直角三角形,求m的值; (3)在坐标轴上是否存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)若m=2,抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x, ∴对称轴x=2, 令y=0,则x2﹣4x=0, 解得x=0,x=4, ∴A(4,0), ∵P(1,﹣2),令x=1,则y=﹣3, ∴B(1,﹣3), ∴C(3,﹣3). (2)∵抛物线y=x2﹣2mx(m>0), ∴A(2m,0)对称轴x=m, ∵P(1,﹣m) 令x=1,则y=1﹣2m, ∴B(1,1﹣2m), ∴C(2m﹣1,1﹣2m), ∵PA2=(﹣m)2+(2m﹣1)2=5m2﹣4m+1,PC2=(2m﹣2)2+(1﹣m)2=5m2﹣10m+5.AC2=1+(1﹣2m)2=2﹣4m+4m2, ∵△ACP为直角三角形, ∴PA2=PC2+AC2, 即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2,整理得:2m2﹣5m+6=0, 解得:m= ,m=1(舍去), 故m= . (3)∵P(1,﹣m),C(2m﹣1,1﹣2m),设直线PC的解析式为y=kx+b, ∴ ,解得:k=﹣ , ∵PE⊥PC, ∴直线PE的斜率=2, 设直线PE为y=2x+b′, ∴﹣m=2+b′,解得b′=﹣2﹣m, ∴直线PE:y=﹣2x﹣2﹣m, 令y=0,则x=﹣1﹣ , ∴E(﹣1﹣ m,0), ∴PE2=(﹣m)2+(﹣2﹣ m)2= ≠PC2 ∴在x轴上不存在E点, 令x=0,则y=﹣2﹣m, ∴E(0,﹣2﹣m) ∴PE2=(﹣2﹣2m)2+12≠PC2, ∴y轴上不存在E点, 故坐标轴上不存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 20140912223955266763 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 30. (2014 四川省达州市) 如图,在平面直角坐标系中,己知点O(0,0),A(5,0),B(4,4). (1)求过O、B、A三点的抛物线的解析式. (2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标. (3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,求m的值. 答案:解:(1)∵该抛物线经过点A(5,0),O(0,0), ∴该抛物线的解析式可设为y=a(x﹣0)(x﹣5)=ax(x﹣5). ∵点B(4,4)在该抛物线上, ∴a×4×(4﹣5)=4. ∴a=﹣1. ∴该抛物线的解析式为y=﹣x(x﹣5)=﹣x2+5x. (2)以O、A、B、M为顶点的四边形中,△OAB的面积固定,因此只要另外一个三角形面积最大,则四边形面积即最大. ①当0<x≤4时,点M在抛物线OB段上时,如答图1所示. ∵B(4,4),∴易知直线OB的解析式为:y=x. 设M(x,﹣x2+5x), 过点M作ME∥y轴,交OB于点E,则E(x,x), ∴ME=(﹣x2+5x)﹣x=﹣x2+4x. S△OBM=S△MEO+S△MEB= ME(xE﹣0)+ ME(xB﹣xE)= ME?xB= ME×4=2ME, ∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8 ∴当x=2时,S△OBM最大值为8,即四边形的面积最大. ②当4<x≤5时,点M在抛物线AB段上时,图略. 可求得直线AB解析式为:y=﹣4x+20. 设M(x,﹣x2+5x), 过点M作ME∥y轴,交AB于点E,则E(x,﹣4x+20), ∴ME=(﹣x2+5x)﹣(﹣4x+20)=﹣x2+9x﹣20. S△ABM=S△MEB+S△MEA= ME(xE﹣xB)+ ME(xA﹣xE)= ME?(xA﹣xB)= ME×1= ME, ∴S△ABM=﹣ x2+ x﹣10=﹣ (x﹣ )2+ ∴当x= 时,S△ABM最大值为 ,即四边形的面积最大. 比较①②可知,当x=2时,四边形面积最大. 当x=2时,y=﹣x2+5x=6, ∴M(2,6). (3)由题意可知,点P在线段OB上方的抛物线上. 设P(m,﹣m2+5m),则Q(m,m) 当△PQB为等腰三角形时, ①若点B为顶点,即BP=BQ,如答图2﹣1所示. 过点B作BE⊥PQ于点E,则点E为线段PQ中点, ∴E(m, ). ∵BE∥x轴,B(4,4), ∴ =4, 解得:m=2或m=4(与点B重合,舍去) ∴m=2; ②若点P为顶点,即PQ=PB,如答图2﹣2所示. 易知∠BOA=45°,∴∠PQB=45°,则△PQB为等腰直角三角形. ∴PB∥x轴, ∴﹣m2+5m=4, 解得:m=1或m=4(与点B重合,舍去) ∴m=1; ③若点P为顶点,即PQ=QB,如答图2﹣3所示. ∵P(m,﹣m2+5m),Q(m,m), ∴PQ=﹣m2+4m. 又∵QB= (xB﹣xQ)= (4﹣m), ∴﹣m2+4m= (4﹣m), 解得:m= 或m=4(与点B重合,舍去), ∴m= . 综上所述,当△PQB为等腰三角形时,m的值为1,2或 . 20140912221506264847 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 31. (2014 山东省枣庄市) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合). (1)求∠OBC的度数; (2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标. (3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值. 答案:(1)由x2-2x-3=0解得:x1=-1,x2=3,所以A(-1,0)、B(3,0),当x=0时,y=-3,所以 C(0,-3),故OB=OC,所以△BOC为等腰直角三角形,所以∠OBC=450. (2)由二次函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4,所以顶点D(1,-4),所以S四边形OCDB= ×(3+4)×1+ ×4×2= ,设E(m,0),所以S△OCE= ,又S△OCE=S四边形OCDB,所以 = ,所以m=5,所以E(5,0),设DE的关系式为y=kx+b,所以有k+b=-4,5k+b=0,解得:k=1,b=-5,所以y=x-5,由 ,解得: , ,又顶点坐标(1,-4),所以P(2,-3) (3)设P(x,x2-2x-3), BC的关系式为y=kx+b,所以有3k+b=0,0k+b=-3,解得:k=1,b=-3,所以y=x-3,所以F(x,x-3),所以PF= x-3-( x2-2x-3)= -x2+3x,所以线段PF的最大值为 . 20140912213900146857 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 32. (2014 山东省泰安市) 二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,4),且与直线y=- x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(-3,0)。 (1)求二次函数的表达式; (2)点N是二次函数图像上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC互相垂直平分?并求出所有满足条件的N的坐标。 答案:解:(1)由题设得A(0,1),B(-3, ) 由二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A、B及点(-1,4) ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y=- x2- x+1. (2)设N(x,- x2- x+1) 则M/P点的坐标分别为(x,- x+1),(x,0) ∴MN=PN-PM=- x2- x+1-(- x+1)=- x2- x=- (x+ )2+ ∴当x=- 时,MN的最大值为 。 (3)连接CM,BN,BM与NC互相垂直平分 即四边形BCMN为菱形 由于BC∥MN 即MN=BC,且BC=MC 即- x2- x= ,且(- x+1)2+(x+3)2= 即x=-1 故当点N(-1,4)时,BM与NC互相垂直平分。 20140912205512780536 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-12 33. (2014 山东省济南市) 如图1,抛物线 平移后过点A(8,,0)和原点,顶点为B,对称轴与 轴相交于点C,与原抛物线相交于点D. (1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 ; (2)如图2,直线AB与 轴相交于点P,点M为线段OA上一动点, 为直角,边MN与AP相交于点N,设 ,试探求: ① 为何值时 为等腰三角形; ② 为何值时线段PN的长度最小,最小长度是多少. 答案:(1)设平移后抛物线的解析式 , 将点A(8,,0)代入,得 .顶点B(4,3), =OC×CB=12. (2)直线AB的解析式为 ,作NQ垂直于x轴于点Q, ①当MN=AN时, N点的横坐标为 ,纵坐标为 , 由三角形NQM和三角形MOP相似可知 ,得 ,解得 (舍去). 当AM=AN时,AN= ,由三角形ANQ和三角形APO相似可知 , MQ= ,由三角形NQM和三角形MOP相似可知 得: ,解得: =12(舍去). 当MN=MA时, 故 是钝角,显然不成立. 故 . ②作PN的中点C,连接CM,则CM=PC= PN, 当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小, 此时 =3,证明如下: 假设 =3时M记为 ,C记为 若M不在 处,即M在 左侧或右侧, 若C在 左侧或者C在 处,则CM一定大于 ,而PC却小于 ,这与CM=PC矛盾, 故C在 右侧,则PC大于 ,相应PN也会增大, 故若M不在 处时 PN大于 处的PN的值, 故当 =3时,MQ=3, ,根据勾股定理可求出PM= 与MN= , . 故当 =3时,PN取最小值为 . 20140911204130159405 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-11 34. (2014 山东省菏泽市) 35. (2014 山东省菏泽市) ___ 答案: 20140911202650589757 7 与二次函数有关的综合问题 填空题 基础知识 2014-09-11 36. (2014 山东省德州市) 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上。 (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,说明理由; (3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标。 答案:解:(1)由A(4,0),可知OA=4。 ∵OA=OC=4OB, ∴OC=4,OB=1, ∴C(0,4),B(-1,0),………………………1分 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0) 从而得方程组 ………………………2分 解之得 ∴此抛物线的解析式为y=-x2+3x+4。………………………3分 (2)存在。………………………3分 第一种情况,当以点C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1,过点P1作y轴的垂线,垂足为M。 ∵∠ACP1=90°, ∴∠MCP1+∠ACO=90°。 ∵∠OAC+∠ACO=90°。 ∴∠MCP1=∠ACO=90°。 ∴∠MCP1=∠OAC。 ∵OA=OC, ∴∠MCP1=∠OAC=45°, ∴∠MCP1=∠MP1C, ∴MC=MP1。………………………5分 设P1(m,-m2+3m+4),则m=-m2+3m+4-4。 解得m1=0(舍),m2=2, ∴-m2+3m+4=-4+6+4=6。 即P1(2,6)………………………6分 第二种情况, 当以点A为直角顶点时,过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足为N。交y轴于F。 ∴P2N∥x轴 由∠OAC=45°, ∴∠OAP2=45°, ∴∠FP2N=45°,OA=OF, ∴P2N=NF。………………………7分 设P2(n,-n2+3n+4),则-n=-(-n2+3m+4)-4。 解得n1=-2,n2=4(舍), ∴P2(-2,-6)。 综上所述,存在点P使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,点P的坐标为(2,6)或(-2,-6)。………………………8分 (3)连接OD,由题意知,四边形OFDE为矩形,则OD=EF,根据点到直线的距离垂线段最短。 当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短。………………………9分 由(1)知,在Rt△AOC中,OC=OA=4, 则AC= 。 根据等腰三角形性质,D为AC中点, 又∵DF∥OC,∴DF= OC=2, ∴点P的纵坐标为2。………………………10分 从而得-x2+3x+4=2, 解之得: 。 ∴当EF最短时,点P的坐标分别为( ,2)或( ,2)………………………12分 20140911195555856397 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-11 37. (2014 辽宁省沈阳市) 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,C两点(点B在点C的左侧),连接AB,AC. (1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 ; (2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点N(点Q不与点P重合),连接PM,PN,设线段AP的长为n. ①如图2,当 时,求证:△PAM≌△NCP; ②直接用含n的代数式表示线段PQ的长; ③若PM的长为 ,当二次函数 的图象经过平移同时过点P和点N时,请直接写出此时的二次函数的表达式. 温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答 答案:解:(1)(-9,0),(9,0). (2)①证明:∵AB∥CD,MN∥BC, ∴四边形BMNC为平行四边形. ∴BM=CN.∵BM=AP,∴AP=CN. ∵OC=OB=9,又∵AO⊥BC, ∴AB=AC,∴AB-BM=AC-AP. ∴AM=PC.∵AB∥CD,∴∠MAP=∠PCN.∴△PAM≌△NCP. ②15-2n或2n-15. ③ 或 . 20140910225624718431 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 38. (2014 辽宁省大连市) 如图,抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2(其中m>1)与其对称轴l相交于点P,与y轴相交于点A(0,m﹣1).连接并延长PA、PO,与x轴、抛物线分别相交于点B、C,连接BC.点C关于直线l的对称点为C′,连接PC′,即有PC′=PC.将△PBC绕点P逆时针旋转,使点C与点C′重合,得到△PB′C′. (1)该抛物线的解析式为   (用含m的式子表示); (2)求证:BC∥y轴; (3)若点B′恰好落在线段BC′上,求此时m的值. 答案:(1)解:∵A(0,m﹣1)在抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2上, ∴a(0﹣m)2+2m﹣2=m﹣1. ∴a= . ∴抛物线的解析式为y= (x﹣m)2+2m﹣2. (2)证明:如图1, 设直线PA的解析式为y=kx+b, ∵点P(m,2m﹣2),点A(0,m﹣1). ∴ . 解得: . ∴直线PA的解析式是y= x+m﹣1. 当y=0时, x+m﹣1=0. ∵m>1, ∴x=﹣m. ∴点B的横坐标是﹣m. 设直线OP的解析式为y=k′x, ∵点P的坐标为(m,2m﹣2), ∴k′m=2m﹣2. ∴k′= . ∴直线OP的解析式是y= x. 联立 解得: 或 . ∵点C在第三象限,且m>1, ∴点C的横坐标是﹣m. ∴BC∥y轴. (3)解:若点B′恰好落在线段BC′上, 设对称轴l与x轴的交点为D,连接CC′,如图2, 则有∠PBC+∠PBB=180°. ∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得, ∴∠PBC=∠PBC,PB=PB′,∠BPB′=∠CPC′. ∴∠PBC+∠PBB=180°. ∵BC∥AO, ∴∠ABC+∠BAO=180°. ∴∠PBB=∠BAO. ∵PB=PB′,PC=PC′, ∴∠PB′B=∠PBB′= , ∴∠PCC′=∠PC′C= . ∴∠PB′B=∠PCC′. ∴∠BAO=∠PCC′. ∵点C关于直线l的对称点为C′, ∴CC′⊥l. ∵OD⊥l, ∴OD∥CC′. ∴∠POD=∠PCC′. ∴∠POD=∠BAO. ∵∠AOB=∠ODP=90°,∠POD=∠BAO, ∴△BAO∽△POD. ∴ = . ∵BO=m,PD=2m﹣2,AO=m﹣1,OD=m, ∴ = . 解得: ∴m1=2+ ,m2=2﹣ . 经检验:m1=2+ ,m2=2﹣ 都是分式方程的解. ∵m>1, ∴m=2+ . ∴若点B′恰好落在线段BC′上,此时m的值为2+ . 20140910223100403395 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 39. (2014 江苏省宿迁市) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D. (1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4). ①求此抛物线的表达式与点D的坐标; ②若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值; (2)如图2,若a=1,求证:无论b,c取何值,点D均为定点,并求出该定点坐标. (图1) (图2) 答案:解:(1)①由题意,得 ∴a= ,b=- ,c=-4,∴y= x2- x-4;连接BC.∵A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4),∴AC2=20,BC2=80,AB2=100,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴AB是圆的直径,∵AB⊥CD,∴DO=CO=4,∴D(0,4); ②过M作MH⊥y轴于H.设点M的坐标为(m, m2- m-4),∴S△BDM= S△DOB+ SBMHO-S△DHM= ×4×8+ (m+8)(- m2+ m+4)- m(4- m2+ m+4)=-m2+4m+32= -(m-2)2+28,∴△BDM面积的最大值为28; (2)连接AD,BC.∵∠A=∠DCB,∠ADB=∠ABC,∴△ADO∽△CBO,∴ ,∴AO?BO=DO?CO.∵y=x2+bx+c,则C(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),∴x1?x2=c,∴AO?BO=-c,∴-c= DO?(-c),∴DO=1,∴D(0,1).∴无论b,c取何值,点D均为定点,D(0,1). 20140910213140282506 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 40. (2014 江苏省无锡市) 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像过坐标原点O,与x轴的负半轴交于点A.过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图像交于另一点C,且C点的横坐标-1,AC:BC=3:1. (1)求点A的坐标; (2)设二次函数图像的顶点为F,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E.若△FCD与△AED相 似,求此二次函数的关系式. 答案:解:(1)过C点作CG⊥x轴,垂足为G,则OG=1 ∴ ,∴AG=3,∴AO=4,∴A点坐标为(-4,0) (2)由题知,c=0,将A(-4,0)代入 中,得0=16a-4b,∴b=4a ∴ ,∴F(-2,-4a),C(-1,-3a) ∴ ,∴DE=-2a,D(-2,-2a) ∵△FCD∽△AED,显然只有∠DCF=∠DEA=90° 过C做CH⊥DF交于H,则CH=1 ∴ ,∴DH=-a,HF=-a, ∴H为DF的中点,∵∠DCF=90°,∴DH=CH=1 ∴a=-1 ∴二次函数的关系式为: 20140910211612068781 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 41. (2014 江苏省南通市) 如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F. (1)求线段DE的长; (2)设过E的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2),试判断当|x1﹣x2|的值最小时,直线MN与x轴的位置关系,并说明理由; (3)设P为x轴上的一点,∠DAO+∠DPO=∠α,当tan∠α=4时,求点P的坐标. 答案:解:由抛物线y=﹣x2+2x+3可知,C(0,3), 令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得:x=﹣1,x=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0); ∴顶点x=1,y=4,即D(1,4); ∴DF=4 设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得; ,解得 , ∴解析式为;y=﹣x+3, 当x=1时,y=﹣1+3=2, ∴E(1,2), ∴EF=2, ∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2. (2)设直线MN的解析式为y=kx+b, ∵E(1,2), ∴2=k+b, ∴k=2﹣b, ∴直线MN的解析式y=(2﹣b)x+b, ∵点M、N的坐标是 的解, 整理得:x2﹣bx+b﹣3=0, ∴x1+x2=b,x1x2=b﹣3; ∵|x1﹣x2|= = = = , ∴当b=2时,|x1﹣x2|最小值=2 , ∵b=2时,y=(2﹣b)x+b=2, ∴直线MN∥x轴. (3)如图2,∵D(1,4), ∴tan∠DOF=4, 又∵tan∠α=4, ∴∠DOF=∠α, ∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α, ∵∠DAO+∠DPO=∠α, ∴∠DPO=∠ADO, ∴△ADP∽△AOD, ∴AD2=AO?AP, ∵AF=2,DF=4, ∴AD2=AF2+DF2=20, ∴OP=19, ∴P1(19,0),P2(﹣17,0). 20140910204453220964 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 42. (2014 江苏省连云港市) 已知二次函数y=x2+bx+c,其图象抛物线交x轴于点A(1,0)、B(3,0),交y轴于点C,直线l过点C,且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合). (1)求此二次函数关系式; (2)若直线l1经过抛物线顶点D,交x轴于点F,且l1//l,则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点E的坐标;若不能,请说明理由. (3)若过点A作AG⊥x轴,交直线l于点G,连接OG、BE,试证明OG//BE. 答案:解:(1) (2) ∴D(2,-1) 过点E作EM⊥y轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N, 若以点C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形,则 △CEM ≌△DFN,则点E的纵坐标为2或4,代入解析式可得 (3)过C(0,3),E(2+ ,2)的直线解析式为:y=( )x+3 ∴△OGA∽△BEM ∴∠GOA=∠EBM OG∥EB 同理当E(2+ ,4)时,OG∥EB。 20140910195832513707 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-10 43. (2014 湖南省株洲市) 已知抛物线 和直线y=(k+1)x+(k+1)2. (1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点; (2)抛物线与x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,求 的最大值; (3)如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且 ,求抛物线的解析式. 答案:(1)证明:△=(k+2)2-(5k+2)=k2-k+2= >0 ∴无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点. 解:∵ ; ∴ ∴ 的最大值是 ∵ ∴AD∥BE ∴△OAD∽△OBE ∴ ∴x1=k+1 ∴k=2 ∴抛物线解析式为:y=x2-4x+3 20140909203653138572 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-09 44. (2014 湖南省长沙市) 如图,抛物线 的对称轴为 轴,且经过(0,0),( )两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2), (1)求 的值; (收集整理cjzl) (2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与 轴相交; (3)设⊙P与 轴相交于M ,N ( < )两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标。 答案:解:(1)根据题意,可得 . 3分 (2)设⊙ 的圆心 的坐标为 ,则有 , 因为⊙ 始终经过定点 ,所以⊙ 的半径 , 显然圆心 到 轴的距离 ,过圆心 作 轴的垂线,设垂足为点 , 则有 在Rt△ 中,由勾股定理有: , 故⊙ 始终与 轴相交. 6分 (3)设⊙ 的圆心 的坐标为 ,则有 过圆心 作 轴的垂线,垂足为点 , 连接 ,依题意可得: ⊙ 的半径 由垂径定理可得: , 结合(2)可得到 , 当△ 为等腰三角形时,需分以下三种情况讨论: ①当 时,根据对称性可得,此时圆心 与原点 重合,此时圆心 ; ②当 时,可得: 解得 ;故 ③当 时,可得: 解得 ; ;故 满足条件的圆心 的纵坐标为 . 10分 20140909202356695473 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-09 45. (2014 湖南省岳阳市) 如图,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0, )三点.设点E(x,y)是抛物线上一动点,且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形. (1)求抛物线的解析式; (2)当点E(x,y)运动时,试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大值? (3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形?若存在,求E点、F点的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),过点A(1,0)、B(5,0)、C(0, ),∴ 解得a= ,b=-4,c= ,∴y= x2-4x+ ; (2)S=2S△EOB=2× OB? =5×(- x2+4x- )=- x2+20x- ,S=- (x-3) 2+ ,∴当x=3,面积S的最大值为 ; (3)要使平行四边形OEBF为正方形,则OB与EF相等且互相垂直平分,∴当x=2.5,y= × -10+ =-2.5,∴E(2.5,-2.5)、F(2.5,2.5). 20140909200954643034 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-09 46. (2014 湖南省益阳市) 如图 ,直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ,抛物线 经过点 、 ,并与 轴交于另一点 ,其顶点为 . (1)求 , 的值; (2)抛物线的对称轴上有一点 ,使 是以 为底边的等腰三角形,求 点的坐标. (3)在抛物线及其对称轴上分别取点 、 ,使以 为顶点的四边形为正方形,求此正方形 的边长. 答案:解:(1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 , ∴ , . 又抛物线 经过点 , , ∴ 解得 即 , 的值分别为 , .………………………………………………3分 (2)设 点的坐标为 ,对称轴 交 轴于点 ,过点 作 垂直于直线 于点 . 在Rt 中, , 在Rt 中, . ∵ ,∴ ,∴ . ∴ 点的坐标为 .………………………………………………………6分 (3)当点 在对称轴上时, 与 不垂直.所以 应为正方形的对角线. 又对称轴 是 的中垂线,所以, 点与顶点 重合, 点为点 关于 轴的对称点,其坐标为 . 此时, ,且 , ∴ 四边形 为正方形. 在Rt 中, ,即正方形的边长为 .……10分 20140909195831014837 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-09 47. (2014 湖南省湘潭市) 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4, (1)求二次函数解析式; (2)若 = ,求k; (3)若以BC为直径的圆经过原点,求k.   答案:解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点, ∴﹣ =2,0=0+0+c, ∴b=4,c=0, ∴y=﹣x2+4x. (2)如图1,连接OB,OC,过点A作AE⊥y轴于E,过点B作BF⊥y轴于F, ∵ = , ∴ = , ∴ = , ∵EB∥FC, ∴ = = . ∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B,C, ∴kx+4=﹣x2+4x,即x2+(k﹣4)x+4=0, ∴△=(k﹣4)2﹣4?4=k2﹣8k, ∴x= ,或x= , ∵xB<xC, ∴EB=xB= ,FC=xC= , ∴4? = , 解得 k=9(交点不在y轴右边,不符题意,舍去)或k=﹣1. ∴k=﹣1. (3)∵∠BOC=90°, ∴∠EOB+∠FOC=90°, ∵∠EOB+∠EBO=90°, ∴∠EBO=∠FOC, ∵∠BEO=∠OFC=90°, ∴△EBO∽△FOC, ∴ , ∴EB?FC=EO?FO. ∵xB= ,xC= ,且B、C过y=kx+4, ∴yB=k? +4,yC=k? +4, ∴EO=yB=k? +4,OF=﹣yC=﹣k? ﹣4, ∴ ? =(k? +4)?(﹣k? ﹣4), 整理得 16k=﹣20, ∴k=﹣ . 20140908235726825421 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 48. (2014 湖南省娄底市) 如图,抛物线y=x2+mx+(m﹣1)与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C(0,c),且满足x12+x22+x1x2=7. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 答案:解(1)依题意:x1+x2=﹣m,x1x2=m﹣1, ∵x1+x2+x1x2=7, ∴(x1+x2)2﹣x1x2=7, ∴(﹣m)2﹣(m﹣1)=7, 即m2﹣m﹣6=0, 解得m1=﹣2,m2=3, ∵c=m﹣1<0,∴m=3不合题意 ∴m=﹣2 抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3; (2)能 如图,设p是抛物线上的一点,连接PO,PC,过点P作y轴的垂线,垂足为D. 若∠POC=∠PCO 则PD应是线段OC的垂直平分线 ∵C的坐标为(0,﹣3) ∴D的坐标为(0,﹣ ) ∴P的纵坐标应是﹣ 令x2﹣2x﹣3= ,解得,x1= ,x2= 因此所求点P的坐标是( ,﹣ ),( ,﹣ )  20140908234143798944 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 49. (2014 湖南省常德市) 如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A(4,0),B( ),M是OA的中点. (1)求此二次函数的解析式; (2)设P是抛物线上的一点,过P作 轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标; (3)将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于 轴的对称点),在原抛物线 轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D,若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由. 答案:解: (1)方法一:设二次函数的解析式为 则 ∴ ……3分 方法二:∵图像过点O(0,0), A(4,0), ∴设 , 又B( )在曲线上,∴ ,∴ ∴ ……………………………………3分 (2)∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2, 若四边形PQAM是菱形,则PQ=2, 又根据抛物线关于对称轴 对称,即P、Q关于直线 对称, ∴P的横坐标为1, Q的横坐标为3. ……………………………………5分 ∴P的坐标为(1, , Q的横坐标为(3, . 而计算PM= ,故所求的P(1, 满足四边形PQAM是菱形 ………6分 (3)设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为 ∵二次函数在 轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A, ∴曲线OB′A的解析式为 ……………………………………7分 若△CDA的面积是△MDA面积的2倍, ∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍, ∴ , ∴ ,即 , ∴ ……………① …………………………8分 过D,C分别作DD1,CC1垂直于 轴, ∴△MD1D∽△MC1C, ∴ ,∴ 即 ………………② …………………………9分 将②代入①得: ,代入二次函数的解析式得 故C的坐标为 ,或 . ………………………10分 20140908210207937633 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 50. (2014 湖南省永州市) 如图,抛物线 与x轴交于 两点,与y轴交于点 ,点 是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上,过点M作x轴的平行线交y轴于点Q ,交抛物线于另一点E,直线BM交y轴于点F. (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标; (2)当 时,求点M的坐标。 答案:解:(1)设抛物线解析式为 把 点代入,得: 把 代入原式,得: 即:抛物线的解析式为 。 对称轴为直线 ∵当 时, ∴顶点坐标为 (2)∵点 在抛物线 上 ∴ 设直线BM解析式为 把点 代入,得: ,解得: ∴ 则: ∵ ,对称轴为直线 ∴ ∴ 则: 20140908203008065407 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-08 51. (2014 湖南省怀化市) 如图1,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过B点时停止运动.设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于点G,如图2所示,求经过G,O,B三点的抛物线的解析式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图1 图2 第24题图 答案:解:(1)由题意可知,射线OC扫过Rt△ABO的部分为等腰直角三角形, 斜边长为2x,则斜边上的高为 . ∴y= (0≤x≤4). (2)过点G作GD⊥OB,垂足为点D,则在等腰Rt△OO′G中,GD也是斜边OO′的中线, ∴OO′=3×2=6,GD= OD= OO′=3, ∴点O′,G坐标分别为(6,0),(3,3). 由抛物线经过O(0,0),O′(6,0)可设其解析式为y=ax(x-8). 把G(3,3)代入,得a×3×(3-8)=3,解得a= . ∴抛物线的解析式为y= x(x-8),即y= x2+ x. (3)设符合条件的点P坐标为(x,y),则 ,解得y=±2. 当y=2时,由 x2+ x=2,解得x=4± ; 当y=-2时,由 x2+ x=-2,解得x=4± . ∴符合符合条件的点P坐标为: (4+ ,2),(4- ,2),(4+ ,-2),(4- ,-2). 20140908161547741945 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-08 52. (2014 湖南省邵阳市) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C. (1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标; (2)若A,B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,-1),求∠ACB的大小; (3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值. 答案:解:(1)当m=2,n=1时,抛物线为y= -3x+2, 当y=0时, -3x+2=0 (x-2)(x-1)=0 x1=2,x2=1, ∴点A坐标为(2,0),点B坐标为(1,0). (2)把点C(0,-1)代入抛物线得:-1=mn, 对于抛物线y= -(m+n)x+mn, 当y=0时, -(m+n)x+mn=0, (x-m)(x-n)=0, x1=m,x2=n, ∵m>n,点A在点B右侧, ∴点A(m,0),点B(n,0) ∴OA=m,OB=-n, ∴AB=m-n. ∵OC=1,OC⊥AB ∴AC2=OA2+OC2=m2+1, BC2=OB2+OC2=n2+1 ∴AC2+BC2=m2+n2+2 ∵AB2=(m-n)2=m2-2mn+n2=m2+n2+2 ∴AB2=AC2+BC2 ∴△ABC是直角三角形, ∴∠ACB=90°. (3)由(2)得,点A(m,0),点B(n,0),点C(0,mn) ∵m=2, ∴点A(2,0),点C(0,2n) ∴OA=2,OB=|n|,OC=|2n| ∴AB2=(2-n)2=4-4n+n2, AC2=OA2+OC2=4+4n2, BC2=OB2+OC2=n2+4n2=5n2, △ABC是等腰三角形分三种情况: ①当AB=AC时, ∴AB2=AC2. 即:4-4n+n2=4+4n2, 3n2+4n=0, n(3n+4)=0, n1=0,n2= , 当n1=0时,点C与点B重合,故舍去; ②当AB=BC时, ∴AB2=BC2. 即:4-4n+n2=5n2, n2+n-1=0, n3= ,n4= ; ③当BC=AC时 ∴BC2=AC2 即:5n2=4+4n2 n2-4=0 n5=2,n6=-2 当n5=2时,m=n,故舍去, 综上所述:n= , ,或-2. 20140908155559338669 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 53. (2014 湖北省武汉市) 如图,已知直线AB: 与抛物线 交于A、B两点. (1)直线AB总经过一个定点C,请直接写出点C坐标; (2)当 时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5; (3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的的最大距离. 第25题图 第25题备用图 答案:解:(1)(-2,4) (2)如图(1),直线 与y轴交于点N(0,3),在y轴上取点Q(0,1)则 ,过点Q作PQ//AB交抛物线于点P,则PQ的解析式为 ,由 解得 , ∴P点坐标为(-2,2)或(1, ) (3)如图2,设A( ),B ,D 联立 ∴ ∴ , ;过点D作EF//x轴,过点A作y轴的平行线交EF于点E,过点B作y轴的平行线交EF于点F,由△ADE∽△DBF得, ,得 ,∴ 当m-2=0,即m=2时,点D的坐标与k无关,∴点D的坐标为(2,2),又∵C(-2,4)所以CD= ,过点D作DM⊥AB,垂足为M,则DM≤CD,当CD⊥AB时,点D到直线AB的距离最大,最大距离为 ∴∵ 20140908153450178997 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-08 54. (2014 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C( ,0)三点,一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒. (1)求抛物线的解析式; (2)当BQ= AP时,求t的值; (3)随着点P的运动,抛物线上是否存在一点M,使△MPQ为等边三角形?若存在,请直接写t的值及相应点M的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, ∵抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C( ,0)三点, ∴ , 解得 , ∴y=﹣ x2﹣ x+2. (2)∵AQ⊥PB,BO⊥AP, ∴∠AOQ=∠BOP=90°,∠PAQ=∠PBO, ∵AO=BO=2, ∴△AOQ≌△BOP, ∴OQ=OP=t. ①如图1,当t≤2时,点Q在点B下方,此时BQ=2﹣t,AP=2+t. ∵BQ= AP, ∴2﹣t= (2+t), ∴t= . ②如图2,当t>2时,点Q在点B上方,此时BQ=t﹣2,AP=2+t. ∵BQ= AP, ∴t﹣2= (2+t), ∴t=6. 综上所述,t= 或6时,BQ= AP. (3)当t= ﹣1时,抛物线上存在点M(1,1);当t=3+3 时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3). 分析如下: ∵AQ⊥BP, ∴∠QAO+∠BPO=90°, ∵∠QAO+∠AQO=90°, ∴∠AQO=∠BPO. 在△AOQ和△BOP中, , ∴△AOQ≌△BOP, ∴OP=OQ, ∴△OPQ为等腰直角三角形, ∵△MPQ为等边三角形,则M点必在PQ的垂直平分线上, ∵直线y=x垂直平分PQ, ∴M在y=x上,设M(x,y), ∴ , 解得 或 , ∴M点可能为(1,1)或(﹣3,﹣3). ①如图3,当M的坐标为(1,1)时,作MD⊥x轴于D, 则有PD=|1﹣t|,MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2,PQ2=2t2, ∵△MPQ为等边三角形, ∴MP=PQ, ∴t2+2t﹣2=0, ∴t=﹣1+ ,t=﹣1﹣ (负值舍去). ②如图4,当M的坐标为(﹣3,﹣3)时,作ME⊥x轴于E, 则有PE=3+t,ME=3, ∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2, ∵△MPQ为等边三角形, ∴MP=PQ, ∴t2﹣6t﹣18=0, ∴t=3+3 ,t=3﹣3 (负值舍去). 综上所述,当t=﹣1+ 时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=3+3 时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3),使得△MPQ为等边三角形. 20140908152344644238 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 55. (2014 湖北省十堰市) 已知抛物线C1: 的顶点为A,且经过点B(-2,-1). (1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式; (2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C、D两点,求S△OAC:S△OAD的值; (3)如图2,若过P(-4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E,问:是否存在直线m,使得直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由. 图1 图2 答案:解:(1)∵抛物线C1: 经过点B(-2,-1). ∴ a=1 ∴ , 顶点A点的坐标(-1,-2), (2)抛物线 向下平移2个单位 抛物线C2: ∵ A(-1,-2),B(-2,-1). ∴ 直线AB解析式为 ∴ 解得 , ∴ C(-3,0),D(0,-3) ∵ A(-1,-2),B(-2,-1). ∴ CB=BA=AD ∵ S△OAC:S△OAD=2:1 (3)存在,直线m的解析式为: ,与直线l交于点M,与y轴交于点N。 ∴PC=1,CO=3,PO=4,QO=2。 图1 图2 如图1,当MN⊥PQ时,△QMN~△CMP,此时△CON~△QOP ∴ ∴ON=6 ∵C(-3,0),N(0,-6). ∴直线CN解析式为 如图2,当∴∠MPC=∠MNQ时,△QMN~△CMP,此时△CON~△QOP ∴ ∴ON=6 ∵C(-3,0),N(0,-6). ∴直线CN解析式为 综上,存在满足题意的直线m,解析式为 或 . 20140908125428272608 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 56. (2014 湖北省鄂州市) 如图,在平面直角坐标系xoy中,一次函数 的图象与x轴交于A(-1,0),与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线 经过A、C两点,并与x轴正半轴交于点B. (1)(3分)求m的值及抛物线 的函数表达式; (2)(5分)设点 ,若F是抛物线 对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点,过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线 于 两点,试探究 是否为定值?请说明理由; (3)(4分)将抛物线C1作适当平移,得到抛物线 ,若当 时, 恒成立,求m的最大值. 第24题图 答案:解:(1)将点A(-1,0)的坐标代入 ,得 . ∴ .∴B(0, ).∵抛物线经过A、B两点且对称轴是x=2, ∴ 解得 ∴抛物线 . (2)要使△ADF周长最小,只需AF+DF最小. ∵A与B关于x=2对称,∴只需BF+DF最小. 又∵BF+DF≥BD,∴F为BD与x=2的交点. BD直线为 ,当x=2时 . ∴ . . ∵ , , . ∴ . 同理 . ∴ . 又∵ ∴ . ∴ . ∴ . (3)法一: 设 的两根分别为 . ∵抛物线 可以看成由 左右平移得到,观察图象可知,随着图象向右移, 的值不断增大, ∴当 学习恒成立时, 最大值在 处取得. ∴当 时,对应的 即为 的最大值. 将 代入 得 . ∴ . 将 代入 有 . ∴ . ∴ 的最大值为9. 法二: , 恒成立. 化简得 , ,恒成立. 设 ,如图则有 即 ∴ . ∴ 的最大值为9. 第24题答图 20140908122637993503 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 57. (2014 湖北省黄石市) 如图,在矩形 中,把点 沿 对折,使点 落在 上的 点,已知 。 . (1)求 点的坐标; (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点,我们把这条直线称为抛物线的切线,已知抛物线经过点 , ,且直线 是该抛物线的切线,求抛物线的解析式; (3)直线 与(2)中的抛物线交于 、 两点,点 的坐标为 ,求证: 为定值(参考公式:在平面直角坐标系中,若 , ,则 , 两点间的距离为 ) 答案:解:(1)由 ≌ 得 又由 , ∴ , ∴ (2)依题意可设过点 、 的抛物线解析式为 依题意知,抛物线与直线 相切,即由 得 有两个相等的实数根 ∴ ,得 ∴抛物线的解析式为 (3)设 , 假设 , 依题意得 得 ∴ , 又 , ∵ 即 为定值 20140908115718851631 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 58. (2014 湖北省荆门市) 已知:函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数). (1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值; (2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x2-x1=2. ①求抛物线的解析式; ②作点A关于y轴的对称点D,连结BC,DC,求sin∠DCB的值. 答案:解:(1)①当a=0时,y=-x+1,有两个交点(0,1),(1,0); ②当a≠0且图象过原点时,2a+1=0,a=- ,有两个交点(0,0),(1,0); ③当a≠0且图象与x轴只有一个交点时,令y=0有: △=(3a+1)2-4a(2a+1)=0.解得a=-1,有两个交点(0,-1),(1,0); 综上得:a=0或- 或-1时,函数图象与坐标轴有两个交点. (2)①依题意令y=0时,x1+x2= ,x1x2= . 由x2-x1=2得:(x2-x1)2=4,则( )2- =4. 化简得:3a2-2a-1=0.解得:a1=- ,a2=1. ∵△=(3a+1)2-4a(2a+1)=(a+1)2>0,且a>0, ∴a=- 应舍去.a=1符合题意. ∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(注:其它方法,请参照给分) ②令y=0得:x2-4x+3=0.解得:x=1或3. 由x2-x1=2>0知x2>x1,∴A(1,0),B(3,0),D(-1,0),C(0,3). 如图,过D作DE⊥BC于E,则有OB=OC=3,OD=1. ∴DE=BD?sin45°=2 . 而CD= = , ∴在Rt△CDE中,sin∠DCB= = = . 20140908113956285216 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 59. (2014 湖北省荆州市) 已知:函数y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a为常数). (1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值; (2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x2﹣x1=2. ①求抛物线的解析式; ②作点A关于y轴的对称点D,连结BC,DC,求sin∠DCB的值.  答案:解:(1)函数y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a为常数), 若a=0,则y=﹣x+1,与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0); 若a≠0且图象过原点时,2a+1=0,a=﹣,有两个交点(0,0),(1,0); 若a≠0且图象与x轴只有一个交点时,令y=0有: △=(3a+1)2﹣4a(2a+1)=0,解得a=﹣1,有两个交点(0,﹣1),(1,0). 综上得:a=0或﹣或﹣1时,函数图象与坐标轴有两个交点. (2)①∵函数与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点, ∴x1,x2为ax2﹣(3a+1)x+2a+1=0的两个根, ∴x1+x2= ,x1x2= , ∵x2﹣x1=2, ∴4=(x2﹣x1)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=( )2﹣4? , 解得a=﹣(函数开口向上,a>0,舍去),或a=1, ∴y=x2﹣4x+3. ②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x1<x2, ∴A(1,0),B(3,0),C(0,3), ∵D为A关于y轴的对称点, ∴D(﹣1,0). 根据题意画图, 如图1,过点D作DE⊥CB于E, ∵OC=3,OB=3,OC⊥OB, ∴△OCB为等腰直角三角形, ∴∠CBO=45°, ∴△EDB为等腰直角三角形, 设DE=x,则EB=x, ∵DB=4, ∴x2+x2=42, ∴x=2 ,即DE=2 . 在Rt△COD中, ∵DO=1,CO=3, ∴CD= = , ∴sin∠DCB= = . 20140908110515244664 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 60. (2014 湖北省孝感市) 如图1,矩形 的边 在 轴上,抛物线 经过点 、点 ,与 轴交于点 、点 ,且其顶点 在 上. (1)请直接写出下列各点的坐标: ☆ , ☆ , ☆ , ☆ ;(4分) (2)若点 是抛物线上一动点(点 不与点 、点 重合),过点 作 轴的平行线 与直线 交于点 ,与直线 交于点 ,如图2. ①当线段 = 时,求点 的坐标;(4分) ②当点 在直线 下方时,点 在直线 上,且满足△ ∽△ ,求△ 面积的最大值.(4分)    答案:(1)A(0,3),B(4,3),C(4,-1),D(0,-1). 4分 (2)①设直线BD的解析式为 ,由于直线BD经过D(0,-1),B(4,3), ∴ ,解得 ,∴直线BD的解析式为 . 5分 设点P的坐标为 ,则点H ,点G . 1°当 且x≠4时,点G在PH的延长线上,如图①. ∵PH=2GH,∴ , ∴ ,解得 , . 当 时,点P,H,G重合于点B,舍去. ∴ .∴此时点P的坐标为 . 6分 2°当 时,点G在PH的反向延长线上,如图②,PH=2GH不成立.………7分 3°当 时,点G在线段PH上,如图③. ∵PH=2GH,∴ , ∴ ,解得 , (舍去), ∴ .此时点P的坐标为 . 综上所述可知,点P的坐标为 或 . 8分 ②如图④,令 ,得 , ,∴E ,F ,∴E F=2. ∴ . ……………………9分 ∵ ∽ ,∴ , ∴ . …………11分 ∵ , ∴当 时, 的最大值为 . …………12分 20140908003532905712 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 61. (2014 湖北省宜昌市) 如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,4),点A在线段OP上,点B在x轴正半轴上,且AP=OB=t, 0<t<4,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD;过点C、D依次向x轴、y轴作垂线,垂足为M,N,设过O,C两点的抛物线为y=ax2+bx+c. (1)填空:△AOB≌△ DNA或△DPA ≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标:A(0, 4﹣t ); (2)求点C的坐标,并用含a,t的代数式表示b; (3)当t=1时,连接OD,若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O,求a的取值范围; (4)当抛物线开口向上,对称轴是直线x=2﹣ ,顶点随着的增大向上移动时,求t的取值范围. 答案:解:(1)如图,∵∠DNA=∠AOB=90°, ∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等). 在△AOB与△DNA中, , ∴△AOB≌△DNA(SAS). 同理△DNA≌△BMC. ∵点P(0,4),AP=t, ∴OA=OP﹣AP=4﹣t. 故答案是:DNA或△DPA;4﹣t; (2)由题意知,NA=OB=t,则OA=4﹣t. ∵△AOB≌△BMC, ∴CM=OB=t, ∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4, ∴C(4,t). 又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C, ∴ , 解得 b= t﹣4a; (3)当t=1时,抛物线为y=ax2+( ﹣4a)x,NA=O B=1,OA=3. ∵△AOB≌△DNA, ∴DN=OA=3, ∵D(3,4), ∴直线OD为:y= x. 联立方程组,得 , 消去y,得 ax2+(﹣ ﹣4a)x=0, 解得 x=0或x=4+ , 所以,抛物线与直线OD总有两个交点. 讨论:①当a>0时,4+ >3,只有交点O,所以a>0符合题意; ②当a<0时,若4+ >3,则a<﹣ . 又a<0 所以 a<﹣ . 若4+ <0,则得a>﹣ . 又a<0, 所以﹣ <a<0. 综上所述,a的取值范围是a>0或a<﹣ 或﹣ <a<0. (4)抛物线为y=ax2+( ﹣4a)x,则顶点坐标是(﹣ ,﹣ (t﹣16a)2). 又∵对称轴是直线x=﹣ +2=2﹣ , ∴a= t2, ∴顶点坐标为:(2﹣ ,﹣ (1﹣4t)2),即(2﹣ ,﹣(t﹣ )2). ∵抛物线开口向上,且随着t的增大,抛物线的顶点向上移动, ∴只与顶点坐标有关, ∴t的取值范围为:0<t≤ .   20140908002335140355 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-08 62. (2014 湖北省咸宁市) 如图1,P(m,n)是抛物线 上任意一点, l是过点(0, )且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H. 探究 (1)填空:当m=0时,OP= ,PH= ;当m=4时,OP= ,PH= ; 证明 (2)对任意m,n,猜想OP 与PH的大小关系,并证明你的猜想. 应用 (3)如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线 上滑动,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值. 答案:(1)填空:当m=0时,OP= 1 ,PH= 1 ; 当m=4时,OP= 5 ,PH= 5 ; (2)OP= PH 证明:∵P(m,n)是抛物线 上任意一点,∴ . ∵ , , ∴ , ∴ . (3)分别A,B过点作直线l的垂线,垂足为M,N. ①当AB不过O点时,连接OA,OB, 在△OAB中OA+OB>AB=6, 由上述结论得:AM=OA,BN=OB. ∴AM+ BN>6. ②当AB过O点时,AM+ BN= OA+OB=AB=6. 所以AM+ BN的最小值为6. 即A,B两点到直线l的距离之和的最小值为6. 20140907223336943637 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-07 63. (2014 湖北省黄冈市) 已知,如图所示,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S. (1)求经过O、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标; (2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标; (3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由; (4)求出S与t的函数关系式. 答案:解:(1)∵抛物线过原点O(0,0). ∴可设经过A、B、O三点的抛物线解析式为y=ax2+bx(或直接设y=ax2+bx+c) 将A(1,-1),B(3,-1)代入y=ax2+bx中,得 .∴ . ∴y= - .顶点M的坐标为(2,- ). (2)∵点A坐标为(1,-1).∴∠COA=45°.∴△OPQ为等腰直角三角形. 过Q作QD⊥x轴于D.∵OP=2t, ∴OD= OP= ×2t=t,DQ= OP=t. ∴点P坐标为:P(2t,0).点Q坐标为:(t,-t) (3)当△OPQ绕点P逆时针旋转90°后,点O坐标为(2t,-2t),点Q的坐标为(3t,-t), ①若点O在y= - 上, 则 ,2t2-t=0. ∴t1=0,t2= . ∵0<t<2.∴t= .∴t= 时点Q(1,-1)在y= - 上 ②若点Q在y= - 上, 则 ,t2-t=0.∴t1=0,t2=1. 又∵0<t<2.∴t=1. ∴t=1时点Q(3,-1)在y= - 上 (4)如图,分三种情况讨论: ①当0<t≤1时,S=S△OPQ= OP × . (方法二:S=S△OPQ= OQ2) ②当1<t≤ 时,设P/Q/交AB于点E/.S= . ∵AB∥OC,∴∠Q/AE=45°.∴△AEQ/也为等腰直角三角形. ∴OQ/=OP/×cos45°=2t× = t.∴AQ/=OQ/-OA= t- = (t-1). ∴ = =(t--1)2.∴S=t2-(t-1)2=2t-1. (方法二:S= ) ③如图,当 <t<2时,设P//Q//交BC于点F,交AB于点E/. 则S= . ∵ , ∴S=t2-(t-1)2- =-2t2+8t- . (方法二:S= .) ∴S= 20140907221055237666 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-07 64. (2014 黑龙江省绥化市) 如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3. (1)求tan∠DBC的值; (2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.   答案:解:(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x +1)(x﹣4)=0, 解得 x1=﹣1,x2=4. ∴A(﹣1,0),B(4,0). 当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3,4). 如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E. ∵C(0,4), ∴CD∥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°. 在直角△OBC中,∵OC=OB=4, ∴BC=4 . 在直角△CDE中,CD=3. ∴CE=ED= , ∴BE=BC﹣DE= . ∴tan∠DBC= = ; (2)过点P作PF⊥x轴于点F. ∵∠CBF=∠DBP=45°, ∴∠PBF=∠DBC, ∴tan∠PBF= . 设P(x,﹣x2+3x+4),则 = , 解得 x1=﹣ ,x2=4(舍去), ∴P(﹣ , ). 20140907141049858385 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-07 65. (2014 贵州省六盘水市) 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6). (1)求二次函数的解析式. (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标. (3)该二次函数的对称轴交x轴于C点.连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积. (4)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在.请说明理由. 答案: 解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2,0),B(8,6) ∴ ,解得 ∴二次函数解析式为:y=x2﹣4x+6, (2)由y=x2﹣4x+6,得y=(x﹣4)2﹣2, ∴函数图象的顶点坐标为(4,﹣2), ∵点A,D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点, 又∵点A(2,0),对称轴为x=4, ∴点D的坐标为(6,0). (3)∵二次函数的对称轴交x轴于C点. ∴C点的坐标为(4,0) ∵B(8,6), 设BC所在的直线解析式为y=kx+b, ∴ 解得 ∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6, ∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点, ∴x﹣6=x2﹣4x+6 解得x1=3,x2=8(舍去), 当x=3时,y=﹣, ∴E(3,﹣), ∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5. (4)存在, 设点P到x轴的距离为h, ∵S△BCD=×2×6=6,S△ADP=×4×h=2h ∵S△ADP=S△BCD ∴2h=6×,解得h=, 当P在x轴上方时, =x2﹣4x+6,解得x1=4+ ,x2=4﹣ , 当当P在x轴下方时, ﹣=x2﹣4x+6,解得x1=3,x2=5, ∴P1(4+ ,),P2(4﹣ ,),P3(3,﹣),P4(5,﹣).   20140906220214990118 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-06 66. (2014 贵州省铜仁地区) 已知:直线 与抛物线 的一个交点为 ,同时这条直线与x轴相交于点B,且相交所成的角 为45°. (1)求点B的坐标; (2)求抛物线 的解析式: (3)判断抛物线 与x轴是否有交点,并说明理由,若有交点设为M,N(点M在点N左边),将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E,轴反射后的像与原像相交于点F,连接NF、EF得△NEF,在原像上是否存在点P,使得△NEP的面积与△NEF的面积相等,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. 答案:(1)B的坐标为(2,0)或(-2,0). (2)若B的坐标为(2,0),则直线解析式为 ,抛物线 的解析式为 ; 若B的坐标为(-2,0),则直线解析式为 ,抛物线 的解析式为 ; (3)在y1中,令y=0,则 ,解得 , 在y2中,令y=0,则 ,方程无解. ∴ , ∵抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E, 轴反射后的像与原像相交于点F, ∴ ,F(0,2) ∴EF=1, △NEF面积为1. ∵△NEP的面积与△NEF的面积相等 ∴ 在 中,设y=-2,则 , 在 中,设y=2,则 , ∴存在满足题意的点P,坐标为(-2,2)或 或 . 20140906210822581674 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-06 67. (2014 贵州省贵阳市) 如图,经过点A(0,-6)的抛物线 与x轴相交于B(-2,0),C两点. (1)求此抛物线函数关系式和顶点D坐标;(4分) (2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度,再向上平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线y1,若新抛物线y1的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;(4分) (3)在(2)的结论下,新抛物线y1上是否存在点Q,使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形,请分析所有可能出现的情况,并直接写出相对应的m值的取值范围.(4分) 答案:解: (1)由题意得:设 过B(-2,0), ∴ 得:b = -2 ∴ 抛物线解析式为: ∵ ∴ 抛物线顶点D(2,-8) (2)经过平移后的新抛物线 ,即: ∴ 顶点P(1,m-8) 对于 ,令y =0,得 ,∴ x1 =6,x2 =-2, ∴ C(6,0) ∴ 直线AC解析式为:y = x-6, 当x =1时,y =-5 ∵ P在△ABC内, ∴ 得:34,或m<-2,n= <0.∴PM= ∵Rt△PCM与Rt△AOC相似,∴ 或 若m<-2,则MC=4-m,当 时, , 解得: (舍),此时P(-4,-4) ……………………………8分 当 时 , 解得: (舍),此时P(-10,-28) …………………………………10分 若m>4,则MC=m-4, 当 时, , 解得: (舍), (舍)………………………………………12分 当 时 , 解得: (舍),此时P(6,-4) 综上所述,点P的坐标为(-4,-4),(6,-4),(-10,-28).………………………………14分 20140906134017590324 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-06 70. (2014 贵州省黔东南州) 如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标. 答案: 解:(1)∵B(4,m)在直线线y=x+2上, ∴m=4+2=6, ∴B(4,6), ∵A( , )、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx﹣4上, ∴ , ∵c=6, ∴a=2,b=﹣8, ∴y=2x2﹣8x+6 . (2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2﹣8n+6), ∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6), =﹣2n2+9n﹣4, =﹣2(n﹣ )2+ , ∵PC>0, ∴当n= 时,线段PC最大且为 . (3)设直线AC的解析式为y=﹣x+b, 把A( , )代入得: =﹣ +b,解得:b=3, ∴直线AC解析式:y=﹣x+3, 点C在抛物线上,设C(m,2m2﹣8m+6),代入y=﹣x+3得:2m2﹣8m+6=﹣m+3, 整理得:2m2﹣7m+3=0, 解得;m=3或m= , ∴P(3,0)或P( , ). 20140906070337874646 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-06 71. (2014 贵州省黔东南州) 如图9所示,在平面直角坐标系中,抛物线 经过 、 、 三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作 轴的垂线,重足为E,连接AE. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标; (2)如果P点的坐标为 ,?PAE的面积为S,求S与 之间的函数关系式,直接写出自变量 的取值范围,并求S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作 轴的垂线,垂足为F,连接EF,把?PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点 ,求出 的坐标,并判断 是否在该抛物线上. 答案:解:(1)∵抛物线过点 、 ∴设其解析式为: 且过点 ∴ 即解析式为: ,顶点坐标为: (2)过点A作AH⊥CF交CP的延长线于点H ∵ 、 ∴直线AD的解析式为: ∴ 当 时,S取得最大值,最大值为: ;此时点P的坐标为: ,且点E与点C重合 如图,过点 作y轴的垂线交y轴于点N,交PE的延长线于点M ∵PE=1.5,PF=3且?FPE≌? ∴ , 设点 的坐标为: ,可得: 、 、 、 易证:? ∽? ∴ 即: 解得: 代入抛物线: 知该点不在抛物线上. 20140906063616258151 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-06 72. (2014 广西钦州市) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H. (1)求该抛物线的解析式; (2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度; (3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由. 答案: 解:(1)∵抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4), ∴ ,解得 , ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+4; (2)∵E(m,0),B(0,4),PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G, ∴P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4), ∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m; (3)在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似. ∵y=﹣ x2﹣ x+4, ∴当y=0时,﹣ x2﹣ x+4=0, 解得x=1或﹣3, ∴D(﹣3,0). 当点P在直线BC上方时,﹣3<m<0. 设直线BD的解析式为y=kx+4, 将D(﹣3,0)代入,得﹣3k+4=0, 解得k= , ∴直线BD的解析式为y= x+4, ∴H(m, m+4). 分两种情况: ①如果△BGP∽△DEH,那么 = , 即 = , 由﹣3<m<0,解得m=﹣1; ②如果△PGB∽△DEH,那么 = , 即 = , 由﹣3<m<0,解得m=﹣ . 综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或﹣ . 20140904225818237172 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-04 73. (2014 广西柳州市) 已知二次函数图象的顶点坐标为(0,1),且过点(﹣1, ),直线y=kx+2与y轴相交于点P,与二次函数图象交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该二次函数的解析式. (2)对(1)中的二次函数,当自变量x取值范围在﹣1<x<3时,请写出其函数值y的取值范围;(不必说明理由) (3)求证:在此二次函数图象下方的y轴上,必存在定点G,使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上,并求△GAB面积的最小值. (注:在解题过程中,你也可以阅读后面的材料) 附:阅读材料 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的 比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比. 即:设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2, 则:x1+x2=﹣ ,x1?x2= 能灵活运用这种关系,有时可以使解题更为简单. 例:不解方程,求方程x2﹣3x=15两根的和与积. 解:原方程变为:x2﹣3x﹣15=0 ∵一元二次方程的根与系数有关系:x1+x2=﹣ ,x1?x2= ∴原方程两根之和=﹣ =3,两根之积= =﹣15. 答案:(1)解:由于二次函数图象的顶点坐标为(0,1), 因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1. ∵抛物线y=ax2+1过点(﹣1, ), ∴ =a+1. 解得:a= . ∴二次函数的解析式为:y= x2+1. (2)解:当x=﹣1时,y= , 当x=0时,y=1, 当x=3时,y= ×32+1= , 结合图1可得:当﹣1<x<3时,y的取值范围是1≤y< . (3)①证明:∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上, ∴GP平分∠AGB. ∴直线GP是∠AGB的对称轴. 过点A作GP的对称点A′,如图2, 则点A′一定在BG上. ∵点A的坐标为(x1,y1), ∴点A′的坐标为(﹣x1,y1). ∵点A(x1,y1)、B(x2,y2)在直线y=kx+2上, ∴y1=kx1+2,y2=kx2+2. ∴点A′的坐标为(﹣x1,kx1+2)、点B的坐标为(x2,kx2+2). 设直线BG的解析式为y=mx+n,则点G的坐标为(0,n). ∵点A′(﹣x1,kx1+2)、B(x2,kx2+2)在直线BG上, ∴ . 解得: . ∵A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点, ∴x1、x2是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根. ∴由根与系数的关系可得;x1+x2=4k,x1?x2=﹣4. ∴n= =﹣2+2=0. ∴点G的坐标为(0,0). ∴在此二次函数图象下方的y轴上,存在定点G(0,0),使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上. ②解:过点A作AC⊥OP,垂足为C,过点B作BD⊥OP,垂足为D,如图2, ∵直线y=kx+2与y轴相交于点P, ∴点P的坐标为(0,2). ∴PG=2. ∴S△ABG=S△APG+S△BPG = PG?AC+ PG?BD = PG?(AC+BD) = ×2×(﹣x1+x2) =x2﹣x1 = = = =4 .   ∴当k=0时,S△ABG最小,最小值为4. ∴△GAB面积的最小值为4. 20140904224348081424 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-04 74. (2014 广西来宾市) 如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)把点A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得, , 解得 ,[来源:Z。xx。k.Com] 所以,抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2; (2)抛物线的对称轴为直线x= , ∵四边形OECF是平行四边形, ∴点C的横坐标是 ×2=5, ∵点C在抛物线上, ∴y= ×52﹣ ×5+2=2, ∴点C的坐标为(5,2); (3)设OC、EF的交点为D, ∵点C的坐标为(5,2), ∴点D的坐标为( ,1), ①点O是直角顶点时,易得△OED∽△PEO, ∴ = , 即 = , 解得PE= , 所以,点P的坐标为( ,﹣ ); ②点C是直角顶点时,同理求出PF= , 所以,PE= +2= , 所以,点P的坐标为( , ); ③点P是直角顶点时,由勾股定理得,OC= = , ∵PD是OC边上的中线, ∴PD= OC= , 若点P在OC上方,则PE=PD+DE= +1, 此时,点P的坐标为( , ), 若点P在OC的下方,则PE=PD﹣DE= ﹣1, 此时,点P的坐标为( , ), 综上所述,抛物线的对称轴上存在点P( ,﹣ )或( , )或( , )或( , ),使△OCP是直角三角形. 20140904223228642827 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-04 75. (2014 广西贵港市) 如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2),连接BC. (1)求该抛物线的解析式和对称轴,并写出线段BC的中点坐标; (2)将线段BC先向左平移2个单位长度,在向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上,求此时点C1的坐标和m的值; (3)若点P是该抛物线上的动点,点Q是该抛物线对称轴上的动点,当以P,Q,B,C四点为顶点的四边形是平行四边形时,求此时点 P的坐标. 答案:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2), ∴ , 解得 . ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣1)2+2 , ∴对称轴是x=1, ∵1+(1+1)=3, ∴B点坐标为(3,0), ∴BC的中点坐标为(1.5,1); (2)∵线段BC先向左平移2个单位长度,再向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上, ∴点C1的横坐标为﹣2, 当x=﹣2时,y=﹣ ×(﹣2)2+ ×(﹣2)+2=﹣ , ∴点C1的坐标为(﹣2,﹣ ), m=2﹣(﹣ )=5 ; (3)①若BC为平行四边形的一边, ∵BC的横坐标的差为3, ∵点Q的横坐标为1, ∴P的横坐标为4或﹣2, ∵P在抛物线上, ∴P的纵坐标为﹣3 , ∴P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 ); ②若BC为平行四边形的对角线, 则BC与PQ互相平分, ∵点Q的横坐标为1,BC的中点坐标为(1.5,1), ∴P点的横坐标为1.5+(1.5﹣1)=2, ∴P的纵坐标为﹣ ×22+ ×2+2=2, ∴P3(2,2). 综上所述,点P的坐标为:P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 ),P3(2,2). 20140904221944347515 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-04 76. (2014 广西贺州市) 二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1, );点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H. (1)求二次函数的解析式; (2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP; (3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.   答案:(1)解:∵二次函数图象的顶点在原点O, ∴设二次函数的解析式为y=ax2, 将点A(1, )代入y=ax2得:a= , ∴二次函数的解析式为y= x2; (2)证明:∵点P在抛物线y= x2上, ∴可设点P的坐标为(x, x2), 过点P作PB⊥y轴于点B,则BF= x2﹣1,PB=x, ∴Rt△BPF中, PF= = x2+1, ∵PM⊥直线y=﹣1, ∴PM= x2+1, ∴PF=PM, ∴∠PFM=∠PMF, 又∵PM∥x轴, ∴∠MFH=∠PMF, ∴∠PFM=∠MFH, ∴FM平分∠OFP; (3)解:当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°, ∴∠FMH=30°, 在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4, ∵PF=PM=FM, ∴ x2+1=4, 解得:x=±2 , ∴ x2= ×12=3, ∴满足条件的点P的坐标为(2 ,3)或(﹣2 ,3).   20140904214949586642 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-04 77. (2014 广东省深圳市) 如图,直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,﹣4). (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为E,与y轴的交点记为F, ①求当△BEF与△BAO相似时,E点坐标; ②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系?若有请直接写出F点的坐标. 答案: 解:(1)直线AB的解析式为y=2x+4, 令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣2. ∴A(﹣2,0)、B(0,4). ∵抛物线的顶点为点A(﹣2,0), ∴设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2, 点C(0,﹣4)在抛物线上,代入上式得:﹣4=4a,解得a=﹣1, ∴抛物线的解析式为y=﹣(x+2)2. (2)平移过程中,设点E的坐标为(m,2m+4), 则平移后抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣m)2+2m+4, ∴F(0,﹣m2+2m+4). ①∵点E为顶点,∴∠BEF≥90°, ∴若△BEF与△BAO相似,只能是点E作为直角顶点, ∴△BAO∽△BFE, ∴ ,即 ,可得:BE=2EF. 如答图2﹣1,过点E作EH⊥y轴于点H,则点H坐标为:H(0,2m+4). ∵B(0,4),H(0,2m+4),F(0,﹣m2+2m+4), ∴BH=|2m|,FH=|﹣m2|. 在Rt△BEF中,由射影定理得:BE2=BH?BF,EF2=FH?BF, 又∵BE=2EF,∴BH=4FH, 即:4|﹣m2|=|2m|. 若﹣4m2=2m,解得m=﹣ 或m=0(与点B重合,舍去); 若﹣4m2=﹣2m,解得m= 或m=0(与点B重合,舍去),此时点E位于第一象限,∠BEF为钝角,故此情形不成立. ∴m=﹣ , ∴E(﹣ ,3). ②假设存在. 联立抛物线:y=﹣(x+2)2与直线AB:y=2x+4,可求得:D(﹣4,﹣4), ∴S△ACD= ×4×4=8. ∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系, ∴S△EFG=64或S△EFG=1. 联立平移抛物线:y=﹣(x﹣m)2+2m+4与直线AB:y=2x+4,可求得:G(m﹣2,2m). ∴点E与点M横坐标相差2,即:|xG|﹣|xE|=2. 如答图2﹣2,S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF?|xG|﹣ BF|xE|= BF?(|xG|﹣|xE|)=BF. ∵B(0,4),F(0,﹣m2+2m+4),∴BF=|﹣m2+2m|. ∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1, ∴﹣m2+2m可取值为:64、﹣64、1、﹣1. 当取值为64时,一元二次方程﹣m2+2m=64无解,故﹣m2+2m≠64. ∴﹣m2+2m可取值为:﹣64、1、﹣1. ∵F(0,﹣m2+2m+4), ∴F坐标为:(0,﹣60)、(0,3)、(0,5). 综上所述,S△EFG与S△ACD存在8倍的关系,点F坐标为(0,﹣60)、(0,3)、(0,5). 点评: 本题是二次函数压轴题,涉及运动型与存在型问题,难度较大.第(2)①问中,解题关键是确定点E为直角顶点,且BE=2EF;第(2)②问中,注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用.   20140904194522853838 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-04 78. (2014 广东省汕尾市) 如图,已知抛物线 与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C. (1)直接写出A、D、C三点的坐标; (2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标; (3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)∵y= x2﹣ x﹣3,∴当y=0时, x2﹣ x﹣3=0, 解得x1=﹣2,x2=4.当x=0,y=﹣3. ∴A点坐标为(4,0),D点坐标为(﹣2,0),C点坐标为(0,﹣3); (2)∵y= x2﹣ x﹣3,∴对称轴为直线x= =1. ∵AD在x轴上,点M在抛物线上, ∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时,分两种情况: ①点M在x轴下方时,根据抛物线的对称性,可知点M与点C关于直线x=1对称, ∵C点坐标为(0,﹣3),∴M点坐标为(2,﹣3); ②点M在x轴上方时,根据三角形的等面积法,可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3.当y=4时, x2﹣ x﹣3=3,解得x1=1+ ,x2=1﹣ , ∴M点坐标为(1+ ,3)或(1﹣ ,3). 综上所述,所求M点坐标为(2,﹣3)或(1+ ,3)或(1﹣ ,3); (3)结论:存在. 如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意: ①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1. 由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC∥x轴,则P1与D点重合, ∴P1(﹣2,0).∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC,∴四边形ABCP1为梯形; ②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2. ∵A点坐标为(4,0),B点坐标为(2,﹣3),∴直线AB的解析式为y= x﹣6, ∴可设直线CP2的解析式为y= x+n,将C点坐标(0,﹣3)代入,得b=﹣3, ∴直线CP2的解析式为y= x﹣3.∵点P2在抛物线y= x2﹣ x﹣3上, ∴ x2﹣ x﹣3= x﹣3,化简得:x2﹣6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6, ∴点P2横坐标为6,代入直线CP2解析式求得纵坐标为6,∴P2(6,6). ∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形ABCP2为梯形. 综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P的坐标为(﹣2,0)或(6,6). 20140904192553381592 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-04 79. (2014 广东省梅州市) 如图8,已知抛物线y= 38x2- 34 x-3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C。 (1)直接写出A、D、C三点的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标; (3)设点C关于抛物线对称的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 答案:解:(1)A(4,0) 、D(-2,0)、C(0,-3); (2)连接AC,与抛物线的对称轴交点M即为所求,直线AC的解析式y=34x-3, 对称轴是直线x=-2+42=1,把x=1代入y=34x-3得y=-94 。 `∴M(1,-94 ) (3)如图1,当点P与D重合时,四边形ADCB是梯形,此时点P为(-2,0); 如图2,直线AB的解析式为y=32x-6,过点C作CP1//AB,与抛物线交于点P1,则四边形 ABCP1是梯形,此时直线CP1的解析式为y=32x-3,联立抛物线的解析式y= 38x2- 34 x-3,可得P1(6,6)。 20140904191039759684 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-04 80. (2014 广东省珠海市) 如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0, ).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH. (1)若抛物线 经过G、O、E三点,则它的解析式为 ; (2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标; (3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设ΔPQH的面积为S,当 时,确定点Q的横坐标的取值范围. 答案:解:(1) (2)∵ ∴点 在 轴上 作 轴于点 ∵点H为FD中点 ∴M为FG中点 同理可得D为SO中点 ∴点D的坐标为 (3)可求得 的解析式为 过点Q作 轴交GE于点T,可设 ,则 ∴ ①当 时 ②当 时, 综上可得 ∵ 由函数 图象得 又∵ ∴ . 20140903223719175544 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-03 81. (2014 甘肃省陇南市) 如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3. (1)求点M、A、B坐标; (2)联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值; (3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.   答案:解:(1)抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣3, 顶点M(1,﹣3), 令x=0,则y=(0﹣1)2﹣3=﹣2, 点A(0,﹣2), x=3时,y=(3﹣1)2﹣3=4﹣3=1, 点B(3,1); (2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M, ∵EB=EA=3, ∴∠EAB=∠EBA=45°, 同理可求∠FAM=∠FMA=45°, ∴△ABE∽△AMF, ∴ = = , 又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°, ∴tan∠ABM= = ; (3)过点P作PH⊥x轴于H, ∵y=(x﹣1)2﹣3=x2﹣2x﹣2, ∴设点P(x,x2﹣2x﹣2), ①点P在x轴的上方时, = , 整理得,3x2﹣7x﹣6=0, 解得x1=﹣ (舍去),x2=3, ∴点P的坐标为(3,1); ②点P在x轴下方时, = , 整理得,3x2﹣5x﹣6=0, 解得x1= (舍去),x2= , x= 时,x2﹣2x﹣2=﹣ × =﹣ , ∴点P的坐标为( ,﹣ ), 综上所述,点P的坐标为(3,1)或( ,﹣ ). 20140903212203759180 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-03 82. (2014 福建省福州市) 如图,抛物线y? (x?3)2?1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D了. (1)求点A,B,D的坐标; (2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证:∠AEO?∠ADC; (3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标. 答案:解:(1)顶点D的坐标为(3,?1). 令y?0,得 (x?3)2?1?0, 解得x1?3? ,x2?3? . ∵点A在点B的左侧, ∴A点坐标(3? ,0),B点坐标(3? ,0). (2)过D作DG⊥y轴,垂足为G. 则G(0,?1),GD?3. 令x?0,则y? ,∴C点坐标为(0, ). ∴GC? ?(?1)? . 设对称轴交x轴于点M. ∵OE⊥CD, ∴∠GCD?∠COH?90?. ∵∠MOE?∠COH?90?, ∴∠MOE?∠GCD. 又∵∠CGD?∠OMN?90?, ∴△DCG∽△EOM. ∴ . ∴EM?2,即点E坐标为(3,2),ED?3. 由勾股定理,得AE2?6,AD2?3, ∴AE2?AD2?6?3?9?ED2. ∴△AED是直角三角形,即∠DAE?90?. 设AE交CD于点F. ∴∠ADC?∠AFD?90?. 又∵∠AEO?∠HFE?90?, ∴∠AFD?∠HFE, ∴∠AEO?∠ADC. (3)由⊙E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2?EP2?1. 要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小. 设P坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2?(x?3)2?(y?2)2. ∵y? (x?3)2?1, ∴(x?3)2?2y?2. ∴EP2?2y?2?y2?4y?4 ?(y?1)2?5. 当y?1时,EP2最小值为5. 把y?1代入y? (x?3)2?1,得 (x?3)2?1?1, 解得x1?1,x2?5. 又∵点P在对称轴右侧的抛物线上, ∴x1?1舍去. ∴点P坐标为(5,1). 此时Q点坐标为(3,1)或( ). 20140903210840354087 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-03 83. (2014 福建省莆田市) 如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a. (1)如图1,若m=. ①当OC=2时,求抛物线C2的解析式; ②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由; (2)如图2,当OB=2 ﹣m(0<m< )时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示). 答案: 解:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2. ∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a, ∴D(a,(a+)2). ∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2 (I). ①∵OC=2,∴C(0,2). ∵点C在抛物线C2上, ∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2, 解得:a=,代入(I)式, 得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2. ②在(I)式中, 令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0); 令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+). 设直线BC的解析式为y=kx+b,则有: ,解得 , ∴直线BC的解析式为:y=﹣ x+(a+ ). 假设存在满足条件的a值. ∵AP=BP, ∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上; ∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立, ∴OP⊥BC. 如答图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E, 则OP⊥BC,OE=a. ∵点P在直线BC上,∴∴P(a, a+ ),PE= a+ . ∵tan∠EOP=tan∠BCO= = =2, ∴ = =2, 解得:a= . ∴存在a= ,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP (3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a, ∴D(a,(a+m)2). ∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2. 令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0). ∵OB=2 ﹣m,∴2a+m=2 ﹣m,∴a= ﹣m. ∴D( ﹣m,3). AB=OB+OA=2 ﹣m+m=2 . 如答图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB= ,OE=OB﹣BE= ﹣m. ∵tan∠ABD= = = ,∴∠ABD=60°. 又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形. 作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE?tan30°= ? =1, ∴P1( ﹣m,1); 在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4. 在Rt△BEP2中,P2E=BE?tan60°= ? =3, ∴P2( ﹣m,﹣3); 易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2 ,且P3P4∥x轴. ∴P3(﹣ ﹣m,3)、P4(3 ﹣m,3). 综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个, 其坐标为:P1( ﹣m,1),P2( ﹣m,﹣3),P3(﹣ ﹣m,3),P4(3 ﹣m,3). 20140903204100443207 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-03 84. (2014 福建省龙岩市) 如图①,双曲线y= (k≠0)和抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,其中B(3,1),C(﹣1,﹣3),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E. (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)抛物线在第一象限部分是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图②过B作直线l⊥OB,过点D作DF⊥l于点F,BD与OF交于点N,求 的值. 答案:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)过B(3,1),C(﹣1,﹣3), ∴ , 解得: , ∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+ x, 把B(3,1)代入y= (k≠0)得:1= , 解得:k=3, ∴双曲线的解析式为:y= . (2)∵B(3,1),C(﹣1,﹣3),设直线BC为y=kx+b, ∴ , 解得k=1,b=﹣2, ∴直线BC为:y=x﹣2, ∴与坐标轴的交点(2,0),(0,﹣2), 过O作OM⊥BC,则OM= , ∵B(3,1),C(﹣1,﹣3), ∴OB=OC= , ∴BM=2 , ∴tan∠COM= = =2, ∵∠COM+∠BCD=90°,∠POE+∠BCD=90°, ∴∠POE=∠COM, ∴tan∠POE=2, ∵P点是抛物线上的点,设P(m,﹣ m2+ m), ∴ =2, 解得:m= , ∴P( ,1), (3)∵直线CO过C(﹣1,﹣3), ∴直线CO的解析式为y=3x, 解 , 解得 , ∴D(1,3), ∵B(3,1), ∴直线OB的斜率= , ∵直线l⊥OB,过点D作DF⊥l于点F, ∴DF∥OB, ∴直线l的斜率=﹣3,直线DF的斜率= , ∵直线l过B(3,1),直线DF过D(1,3), ∴直线l的解析式为y=﹣3x+10,直线DF解析式为y= x+ , 解 , 解得 , ∴F( , ), ∴DF= = , ∵DF∥OB,OB= , ∴ = = = . 20140903202529301157 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-03 85. (2014 福建省厦门市) 如图9,已知c<0,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点(x2>x1),与y轴交于点C, (1)若x2=1,BC=5,求函数y=x2+bx+c的最小值; (2)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP交y轴于点M.若OAOM=2,求抛物线y=x2+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围. 图9 答案:(1)解1: ∵x2=1, ∴OB=1. ……………1分 ∵ BC=5, ∴ OC=2. ∵ c<0, ∴ c=-2. ∴ 1+b-2=0. 解得b=1. ……………2分 得二次函数y=x2+x-2 =(x+12)2-94. ∴二次函数y=x2+x-2的最小值是-94. ………………………4分 解2:∵x2=1, ∴OB=1. ………………………1分 ∵ BC=5, ∴ OC=2. ∵ c<0, ∴ c=-2 ∴ 1+b-2=0. 解得b=1. ………………………2分 得二次函数y=x2+x-2. 此抛物线顶点的横坐标是-12,纵坐标是-94. ∴ 二次函数y=x2+x-2的最小值是-94. ………………………4分 (2)解1: ∵ AP⊥BC, ∴∠PMC+∠PCM=90°, ∵∠OAM+∠OMA=90°, ∵∠OMA=∠PMC, ∴∠OAM=∠PCM. ∴Rt△OAM∽Rt△OCB ∴OCOB=OAOM=2. ………………1分 即OC=2OB. ∵c<0,x2>0, ∴-c=2x2. ………………………2分 由 x22+bx2+c=0,得 c=2b-4. ………………………3分 ∴二次函数y=x2+b x+c =x2+b x+2b-4. 它的顶点坐标是(-b2,-b2+8b-164). ∵-b2+8b-164=-(-b2)2-4?(-b2)-4,………………………4分 ∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 y=-x2-4x-4(x>-34). ………………………6分 解2: ∵ AP⊥BC, ∴∠PMC+∠PCM=90°, ∵∠OAM+∠OMA=90°, ∵∠OMA=∠PMC, ∴∠OAM=∠PCM. ∴tan∠OAM =tan∠PCM. ∴OBOC=OMOA=12. …………1分 即OC=2OB. ∵c<0,x2>0, 即-c=2x2. ………………………2分 由 x22+bx2+c=0,得 c=2b-4. ………………………3分 ∴二次函数y=x2+b x+c =x2+b x+2b-4. 它的顶点坐标是(-b2,-b2+8b-164). 设m=-b2,n=-b2+8b-164, ………………………4分 则b=-2m. n=-b2+8b-164 =-m 2-4m-4(m>-34). ………………………6分 ∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 n=-m 2-4m-4(m>-34). 20140903193156402978 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-03 86. (2014 青海省西宁市) 如图,抛物线y=﹣ x2+ x﹣2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连接BF. (1)求点B,C所在直线的函数解析式; (2)求△BCF的面积; (3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)当y=0时,﹣ x2+ x﹣2=0, 解得x1=2,x2=4, ∴点A,B的坐标分别为(2,0),(4,0), 当x=0时,y=﹣2, ∴C点的坐标分别为(0,﹣2), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0), 则 , 解得 . ∴直线BC的解析式为y= x﹣3; (2)∵CD∥x轴,BD∥y轴, ∴∠ECD=90°, ∵点B,C的坐标分别为(4,0),(0,﹣2), ∴BC= = =2 , ∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到, ∴△BCF的面积= BC?FC= ×2 ×2 =10; (3)存在. 分两种情况讨论: ①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1,则△BAP1∽△BOC, ∵点A的坐标为(2,0), ∴点P1的横坐标是2, ∵点P1在点BC所在直线上, ∴y= x﹣2= ×2﹣2=﹣1, ∴点P1的坐标为(2,﹣1); ②过A作AP2⊥BC,垂足点P2,过点P2作P2Q⊥x轴于点Q. ∴△BAP2∽△BCO, ∴ = , = ∴ = , 解得AP2= , ∵ = , ∴AP2?BP=CO?BP2, ∴ ×4=2BP2, 解得BP2= , ∵ AB?QP2= AP2?BP2, ∴2QP2= × , 解得QP2= , ∴点P2的纵坐标是﹣ , ∵点P2在BC所在直线上, ∴x= ∴点P2的坐标为( ,﹣ ), ∴满足条件的P点坐标为(2,﹣1)或( ,﹣ ). 20140902222254519367 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-02 87. (2014 江西省南昌市) 如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离为碟高. (1)抛物线y= x2对应的碟宽为______;抛物线y=4x2对应的碟宽为______;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为______;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为______; (2)若抛物线y=ax2-4ax- (a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值; (3)将抛物线yn=anx2+nbx+cn(an>0)的对应准碟形记为Fn(n=1,2,3,…),定义F1,F2,…,Fn为相似准碟形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn-1的相似比为 ,且Fn的碟顶是Fn-1碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准碟形记为F1. ①求抛物线y2的表达式; ②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…,Fn的碟高为hn,则hn=______,Fn的碟宽右端点横坐标为______;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由. 答案:解:(1)4, , , ;………………………………………………… 4分(每空1分) (2)解法一: 由(1)可知,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)对应的准碟形碟宽为 , 所以 =6,a= . 6分 解法二: 由y=ax2-4ax- =a(x-2)2-4a- ,又已知碟宽在x轴上, 所以碟高|-4a- |= =3,又a>0,解得a= . 6分 (3)①由(2)知,y1= (x-2)2-3,碟顶M1的坐标为(2,-3). ∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点, ∴F2的碟顶M2的坐标为(2,0),可设y2=a2(x-2)2. ∵F2与F1的相似比为 ,F1的碟宽为6, ∴F2的碟宽为6× =3,即 =3,a2= . ∴y2= (x-2)2= x2- x+ . 8分 ② ;2+ ; 10分 F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是在一条直线上,该直线的表达式为y=-x+5. 12分 20140902213703912380 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-02 88. (2014 内蒙古呼和浩特市) 如图,已知直线l的解析式为y = 12 x–1,抛物线y = ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D 1,54 三点. (1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象; (2)已知点 P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数, 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标; (3)将(2)中S最大时的点P 与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上. 答案:解:(1)∵ y = ax2+bx+2经过点B、D ∴ 4a+2b+2 = 0a+b+2 = 54 解之得:a =–14,b =–12 ∴ y =–14 x2 –12 x+2 2分 ∵ A(m,0)在抛物线上 ∴ 0 =–14 m2 –12 m+2 解得:m =–4 ∴ A(–4,0) 3分 图像(略) 4分 (2)由题设知直线l的解析式为y = 12 x–1 ∴ S = 12 AB?PF = 12 ×6?PF = 3(–14 x2 –12 x+2+1–12 x) 5分 = –34 x2 –3x+9 = –34(x+2)2 +12 6 分 其中–4 < x < 0 7分 ∴ S最大= 12,此时点P的坐标为(–2,2) 9分 (3)∵ 直线PB过点P(–2,2)和点B(2,0) ∴ PB所在直线的解析式为y =–12 x+1 10分 设Q(a,12 a–1)是 y = 12 x–1上的任一点 则Q点关于x轴的对称点为(a,1–12 a) 将(a,1–12 a)代入y =–12 x+1显然成立 11分 ∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 12分 20140902212351342523 7 与二次函数有关的综合问题 动态几何 解决问题 2014-09-02 89. (2014 内蒙古包头市) 已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点M,对称轴与BC相交于点N,与x轴交于点D. (1)求该抛物线的解析式及点M的坐标; (2)连接ON,AC,证明:∠NOB=∠ACB; (3)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为 时,求点E的坐标; (4)在满足(3)的条件下,连接EN,并延长EN交y轴于点F,E、F两点关于直线BC对称吗?请说明理由. 答案: 解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点, ∴ , 解得 . ∴抛物线为y=﹣x2+x+2; ∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+, ∴顶点M(,). (2)如图1, ∵A(﹣1,0),B(2,0),C(0,2), ∴直线BC为:y=﹣x+2, 当x=时,y=, ∴N(,), ∴AB=3,BC=2 ,OB=2,BN= = , ∴ = = , = = , ∵∠ABC=∠NBO, ∴△ABC∽△NBO, ∴∠NOB=∠ACB; (3)如图2,作EF⊥BC于F, ∵直线BC为y=﹣x+2, ∴设E(m,﹣m2+m+2),直线EF的解析式为y=x+b, 则直线EF为y=x+(﹣m2+2), 解 得 , ∴F(m2,﹣ m2+2), ∵EF= , ∴(m﹣m2)2+(﹣m2+2+m2﹣m﹣2)2=( )2, 解得m=1, ∴﹣m2+m+2=2, ∴E(1,2), (4)如图2,延长EF交y轴于Q, ∵m=1, ∴直线EF为y=x+1, ∴Q(0,1), ∵F(,), ∴FQ= = , ∵EF= ,EF⊥BC, ∴E、F两点关于直线BC对称. 20140902211138455632 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-02 90. (2014 吉林省长春市) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,﹣1),且对称轴为在线x=2,点P、Q均在抛物线上,点P位于对称轴右侧,点Q位于对称轴左侧,PA垂直对称轴于点A,QB垂直对称轴于点B,且QB=PA+1,设点P的横坐标为m. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)求点Q的坐标(用含m的式子表示); (3)请探究PA+QB=AB是否成立,并说明理由; (4)抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)经过Q、B、P三点,若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1:5的两部分,直接写出此时m的值. 答案:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点(1,﹣1),且对称轴为在线x=2, ∴ , 解得 . ∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x2﹣4x+2; (2)∵抛物线上点P的横坐标为m, ∴P(m,m2﹣4m+2), ∴PA=m﹣2, QB=PA+1=m﹣2+1=m﹣1, ∴点Q的横坐标为2﹣(m﹣1)=3﹣m, 点Q的纵坐标为(3﹣m)2﹣4(3﹣m)+2=m2﹣2m﹣1, ∴点Q的坐标为(3﹣m,m2﹣2m﹣1); (3)PA+QB=AB成立. 理由如下:∵P(m,m2﹣4m+2),Q(3﹣m,m2﹣2m﹣1), ∴A(2,m2﹣4m+2),B(2,m2﹣2m﹣1), ∴AB=(m2﹣2m﹣1)﹣(m2﹣4m+2)=2m﹣3, 又∵PA=m﹣2,QB=m﹣1, ∴PA+QB=m﹣2+m﹣1=2m﹣3, ∴PA+QB=AB; (4)∵抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)经过Q、B、P三点, ∴抛物线y=a1x2+b1x+c1的对称轴为QB的垂直平分线, ∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1:5的两部分, ∴ × × = × (2m﹣3)×(2m﹣3), 整理得,(2m﹣3)(m﹣3)=0, ∵点P位于对称轴右侧, ∴m>2, ∴2m﹣3≠0, ∴m﹣3=0, 解得m=3. 20140902202101190297 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-02 91. (2014 海南省) 如图8,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(-1,0) ,C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点. (1)求此抛物线的解析式. (2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时点P的坐标. (3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由. 答案: 92. (2014 河北省) 93. (2014 北京市) 94. (2014 河南省) 95. (2014 陕西省) 已知抛物线C:y= -x2+bx+c,经过A(-3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N. (1)求抛物线C的表达式; (2)求点M的坐标; (3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C'的顶点记为M'、它的对称轴与x轴的交点记为N',如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么? 答案:

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