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关键字:几何综合题、代数和几何综合题(2014年

1. (2014 广东省中山市) 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0). (1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形; (2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长; (3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.   答案:(1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示. 又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF. ∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C. ∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C, ∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF, ∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形. (2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴ ,即 ,解得:EF=10﹣ t. S△PEF= EF?DH= (10﹣ t)?2t=﹣ t2+10t=﹣ (t﹣2)2+10 ∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6. (3)解:存在.理由如下: ①若点E为直角顶点,如答图3①所示, 此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t. ∵PE∥AD,∴ ,即 ,此比例式不成立,故此种情形不存在; ②若点F为直角顶点,如答图3②所示, 此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t. ∵PF∥AD,∴ ,即 ,解得t= ; ③若点P为直角顶点,如答图3③所示. 过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD. ∵EM∥AD,∴ ,即 ,解得BM= t, ∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t. 在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+( t)2= t2. ∵FN∥AD,∴ ,即 ,解得CN= t, ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t. 在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣ t)2= t2﹣85t+100. 在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2, 即:(10﹣ t)2=( t2)+( t2﹣85t+100) 化简得: t2﹣35t=0, 解得:t= 或t=0(舍去) ∴t= . 综上所述,当t= 秒或t= 秒时,△PEF为直角三角形. 20140917194609535296 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-17 2. (2014 河南省) (1)问题发现 如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE 填空:①∠AEB的度数为 ; ② 线段BE之间的数量关系是 。 (2)拓展探究 如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一 直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、 BE之间的数量关系,并说明理由。 (3)如图3,在正方形ABCD中,CD= 。若点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离。 答案:解:(1)①60;②AD=BE. ……………………………………………………………2分 (2)∠AEB=900;AE=2CM+BE. ………………………………………… ……4分 (注:若未给出本 判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分) 理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 900, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE ∴△ ACD≌△BCE. ………………………………………………………………6分 ∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350. ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450= 900.…………………………………7分 在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高, ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分 (3) 或 …………………………………………………………10分 提示PD =1,∠BPD=900, ∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线,点P为切点. 第一种情况: 如图①,过点A作AP的垂线,交BP于点P/, 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1, CD= ,∴BD=2,BP= ,∴AM= PP/= (PB-BP/)= 第二种情况如图②,可得AM PP/= (PB+BP/)= ] 20140916204107645256 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-16 3. (2014 山东省日照市) 如图,在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,点C在OA上,AC=1,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过圆心P,则k=   . 答案: 20140915225756807820 9 几何综合题、代数和几何综合题 填空题 基础知识 2014-09-15 4. (2014 辽宁省锦州市) (1)已知正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如图?,将?BOC绕点O逆时针方向旋转得到?B’OC’,OC’与CD交于点M,OB’与BC交于点N,请猜想线段CM与BN的数量关系,并证明你的猜想. (2)如图?,将(1)中的?BOC绕点B逆时针旋转得到?BO’C’,连接AO’、DC’,请猜想线段AO’与DC’的数量关系,并证明你的猜想. (3)如图?,已知矩形ABCD和Rt?AEF有公共点A,且∠AEF=900,∠EAF=∠DAC= ,连接DE、CF,请求出 的值(用 的三角函数表示). 图? 图? 图? 答案:解:(1)BN=CM 理由如下:……………………………………………………1分 ∵四边形ABCD是正方形, ∴BO=CO,∠BOC=900,∠OBC=∠OCD= ×900=450.……………………2分 由旋转可知,∠B’OC’=900,∠BON=∠COM,…………………………3分 ∴?BON≌?COM,∴BN=CM.……………………………………4分 AO’= DC’.………………………………………………5分 由旋转可知,∠O’BC’=∠OBC=450,∠BO’C’=∠BOC=900. ∴ 又∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABO= ×900=450,∴ ,………………6分 ∴ ∠ABO’=∠OBC’, …………………………………………7分 ∴?ABO’∽?OBC’,∴ ,即AO’= DC’,……………………8分 在矩形ABCD中,∠ADC=900, ∵∠AEF=900,∴∠AEF=∠ADC ∵∠EAF=∠DAC= ,∴?AEF∽?ADC,∴ ,…………………………10分 又∵∠EAF+∠FAD=∠DAC+∠FAD,∴∠EAD=∠FAC, ∴?AED∽?AFC,∴ ……………………………………12分 20140915210141174823 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-15 5. (2014 重庆市B卷) 如图1,在□ABCD中,AH⊥DC,垂足为H,AB= ,AD=7,AH= 。现有两个动点E、F同时从点A出发,分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动。在点E、F运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG与△ABC在射线AC的同侧,当点E运动到点C时,E、F两点同时停止运动。设运转时间为t秒。 (1)求线段AC的长; (2)在整个运动过程中,设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围; (3)当等边△EFG的顶点E到达点C时,如图2,将△EFG绕着点C旋转一个角度 。在旋转过程中,点E与点C重合,F的对应点为F′,G的对应点为G′。设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M、N两点。试问:是否存在点M、N,使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形?若存在,请求出线段CM的长度;若不存在,请说明理由。 答案:(1)解:在Rt△ADH中,DH2=AD2-AH2 ∵DH=2 HC=DC-DH=2 , DH=2 ∴H为DC中点 又∵AH⊥DC ∴AC=AD=7. (2) (3)①如图1,当CM=MN时 根据题意得,CF′=G′F′=C G′=14, 过点C作CJ⊥G′F′于J点 根据“三线合一”得,G′J=7,∴CJ= =7 ∵∠CMN=∠MCN=∠ACH ∴tan∠CNM= tan∠MCN= tan∠ACH= ∴JN=14 ∴CN= =7 过点M作MI⊥CN于I点 ∴CI= , ∵tan∠MNN= ∴IM= ∴CM= = ②当MN=NC时,则∠CMN=∠MCN=∠ACH 如图2,过点C作CT⊥G′F′于T点 由①知CT=7 ∵tan∠CMN= tan∠ACH= ∴TM=14 ∴CM= =7 综上所述:CM= 或7 . 20140915204822860661 9 几何综合题、代数和几何综合题 动态几何 基础知识 2014-09-15 6. (2014 重庆市A卷) 已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5, , ,垂足是E,点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF. (1)求AE和BE的长; (2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度),当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值; (3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角度α(0°<α<180°).记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由. 答案:解: , 由勾股定理 ∵ ∴ 解得 ∴ (2)当点F在线段AB上时, 当点F在线段AD上时, (3)存在,理由如下: ①当DP=DQ时, 若点Q在线段BD的延长线上时,如答图① 有∠Q=∠1, 则 ∵ ∴ ∴A′Q=A′B=5,∴F′Q=4+5=9 在Rt△BF′Q中, ∴ , ∴ 或 (舍) ②若点Q在线段BD上时,如答图② 有∠1=∠2=∠4 ∵∠1=∠3,∴∠3=∠4, ∵∠3=∠5+∠A′,∠A′=∠A′BQ, ∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ, ∴A′Q=A′B=5 ∴F′Q=5-4=1 ∴ ∴ 综上所述,存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形,此时 或 20140915202848925608 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-15 7. (2014 黑龙江省农垦牡丹江管理局) 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒. (1)求线段CD的长; (2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ:S△ABC=9:100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由. (3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形? 答案:解:(1)如图1, ∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6, ∴AB=10. ∵CD⊥AB, ∴S△ABC= BC?AC= AB?CD. ∴CD= = =4.8. ∴线段CD的长为4.8. (2)①过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图2所示. 由题可知DP=t,CQ=t. 则CP=4.8﹣t. ∵∠ACB=∠CDB=90°, ∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B. ∵PH⊥AC, ∴∠CHP=90°. ∴∠CHP=∠ACB. ∴△CHP∽△BCA. ∴ . ∴ . ∴PH= ﹣ t. ∴S△CPQ= CQ?PH= t( ﹣ t)=﹣ t2+ t. ②存在某一时刻t,使得S△CPQ:S△ABC=9:100. ∵S△ABC= ×6×8=24, 且S△CPQ:S△ABC=9:100, ∴(﹣ t2+ t):24=9:100. 整理得:5t2﹣24t+27=0. 即(5t﹣9)(t﹣3)=0. 解得:t= 或t=3. ∵0≤t≤4.8, ∴当t= 秒或t=3秒时,S△CPQ:S△ABC=9:100. (3)①若CQ=CP,如图1, 则t=4.8﹣t. 解得:t=2.4. ②若PQ=PC,如图2所示. ∵PQ=PC,PH⊥QC, ∴QH=CH= QC= . ∵△CHP∽△BCA. ∴ . ∴ . 解得;t= . ③若QC=QP, 过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图3所示. 同理可得:t= . 综上所述:当t为2.4秒或 秒或 秒时,△CPQ为等腰三角形. 20140914214721169791 9 几何综合题、代数和几何综合题 动态几何 基础知识 2014-09-14 8. (2014 福建省漳州市) 阅读材料:如图1,在△AOB中,∠O=90°,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用) (1)理解与应用 如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为   . (2)类比与推理 如图3,矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值; (3)拓展与延伸 如图4,⊙O的半径为4,A,B,C, D是⊙O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. 答案: 解:(1)如图2, ∵四边形ABCD是正方形, ∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°. ∵AB=BC=2, ∴AC=2 . ∴OA= . ∵OA=OB,∠AOB=90°,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE+PF=OA= . (2)如图3, ∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OB=OC=OD,∠DAB=90°. ∵AB=4,AD=3, ∴BD=5. ∴OA=OB=OC=OD= . ∵PE∥OB,P F∥AO, ∴△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA. ∴ , . ∴ = =1. ∴ + =1. ∴EP+FP= . ∴PE+PF的值为 . (3)当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是定值. 理由:连接OA、OB、OC、OD,如图4. ∵DG与⊙O相切, ∴∠GDA=∠ABD. ∵∠ADG=3 0°, ∴∠ABD=30°. ∴∠AOD=2∠ABD=60°. ∵OA=OD, ∴△AOD是等边三角形. ∴AD=OA=4. 同理可得:BC=4. ∵PE∥BC,PF∥AD, ∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA. ∴ , . ∴ = =1. ∴ =1. ∴PE+PF=4. ∴当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF=4. 20140914211050889099 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-14 9. (2014 江西省抚州市) 试题背景 已知:l∥ ∥ ∥k,平行线l与 、 与 、 与k之间的距离分别为 1、 2、 3,且 1 = 3 = 1, 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在l、 、 、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”. 探究1 ⑴ 如图1,正方形 为“格线四边形”, 于点 , 的反向延长线交直线于点 . 求正方 形 的边长. 探究2 ⑵ 矩形 为“格线四边形”,其长 :宽 = 2 :1 ,则矩形 的宽为 . (直接写出结果即可) 探究3 ⑶ 如图2,菱形 为“格线四边形”且∠ =60°,△ 是等边三角形, 于点 , ∠ =90°,直线 分别交直线、于点 、 . 求证: . 拓 展 ⑷ 如图3,l∥k,等边三角形 的顶点 、 分别落在直线l、k上, 于点 ,且 =4 ,∠ =90°,直线 分别交直线l、k于点 、 ,点 、 分别是线段 、 上的动点,且始终保持 = , 于点 . 猜想: 在什么范围内, ∥ ?并说明此时 ∥ 的理由. 答案:解:(1) 如图1, ∵BE⊥l , l ∥k , ∴∠AEB=∠BFC=90°, 又四边形ABCD是正方形, ∴∠1+∠2=90°,AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3, ∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS), ∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= , ∴正方形的边长是 . (2)如图2,3,⊿ABE∽⊿BCF, ∴ 或 ∵BF=d3=1 , ∴AE= 或 ∴AB= 或 AB= ∴矩形ABCD的宽为 或 . (注意:要 分2种情况讨论) (3)如图4,连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=DC, 又∠ADC=60°, ∴⊿ADC是等边三角形, ∴AD=AC, ∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°, ∵⊿AEF是等边三角形, ∴ AF=A E, ∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF. (4)如图5,当2<DH<4时, BC∥DE . 理由如下: 连接AM, ∵AB⊥k , ∠ACD=90°, ∴∠ABE=∠ACD=90°, ∵⊿ABC是等边三角形, ∴AB=AC , 已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL),∴BE=CD; 在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中, ,∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL), ∴ BM=CM ; ∴ME=MD, ∴ , ∴ED∥BC. 20140914201954006592 9 几何综合题、代数和几何综合题 阅读理解与信息迁移 基础知识 2014-09-14 10. (2014 新疆建设兵团) 如图,直线 与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动.连接PQ,设运动的时间为t(s)( ). (1)写出A、B两点的坐标; (2)设 的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式;并求出当t为何值时, 的面积最大? (3)当t为何值时,以点A、P、Q为顶点的三角形与 相似,并直接写出此时点Q 的坐标. 答案:解:(1)由 ,得A(6,0) 由 ,得B(0,8) (2)过点Q作 ,垂足为E 由题意,得 在Rt 中, ∴ ∴ ∵ ∴ ∽ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当 时, 随着 的增大而增大 ∴当 时, (2)∵ ∴只有 ∽ 或 ∽ ①当 时, ∴ ∴ ∵ ∴ ∽ ∴ ∴当 时, ∴ ②下面说明不存在t的值,使 ∽ 当 ∽ 时,则有 ∴ 解得 ,不满足题目的要求 ∴不存在t的值,使 ∽ 综上所述,当 时,点A、P、Q为顶点的三角形与 相似,此时点Q的坐标为 20140914200649244641 9 几何综合题、代数和几何综合题 动态几何 基础知识 2014-09-14 11. (2014 山西省) 如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ACE= ∠BAC,CE交AB于点E,交AD于点F.若BC=2,则EF的长为 _________ .   答案: ﹣1. 20140914194901122533 9 几何综合题、代数和几何综合题 填空题 基础知识 2014-09-14 12. (2014 吉林省) 如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,动点P,Q分别从点B,D同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿B→C→D运动,到点D停止,点Q沿D→O→B运动,到点O停止1s后继续运动,到B停止,连接AP,AQ,PQ.设△APQ的面积为y(cm2)(这里规定:线段是面积0的几何图形),点P的运动时间为x(s). (1)填空:AB= cm,AB与CD之间的距离为 cm; (2)当4≤x≤10时,求y与x之间的函数解析式; (3)直接写出在整个运动过程中,使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值. (备用图) (第25题) 答案:解:(1)5 ………………..(2分) (2)如图①, 当 时, . 过 P作PE⊥AC,E为垂足, . . ………………..(4分) 如图②, 当 时, . 设AB,CD之间距离为 , . 过 P作PF⊥BD,F为垂足, . . . . .……………..(6分) 如图③ 当 时, . ………………..(8分) 综上所述, (3) 或 . ………………..(10分) 20140914191417826728 9 几何综合题、代数和几何综合题 动态几何 基础知识 2014-09-14 13. (2014 安徽省) 如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N. (1)①∠MPN= _________ ; ②求证:PM+PN=3a; (2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON,求证:OM=ON; (3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.   答案: 解:(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120° 又∴PM∥AB,PN∥CD, ∴∠BPM=60°,∠NPC=60°, ∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°, 故答案为;60°. ②如图1,作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K, MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN ∵正六边形ABCDEF中,PM∥AB,作PN∥CD, ∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°, ∴GM= AM,HL= BP,PL= PM,NK= ND, ∵AM=BP,PC=DN, ∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a, ∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a. (2)如图2,连接OE, ∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN, 又∵∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE, 在△ONE和△OMA中, ∴△OMA≌△ONE(SAS) ∴OM=ON. (3)如图3,连接OE, 由(2)得,△OMA≌△ONE ∴∠MOA=∠EON, ∵EF∥AO,AF∥OE, ∴四边形AOEF是平行四边形, ∴∠AFE=∠AOE=120°, ∴∠MON=120°, ∴∠GON=60°, ∵∠GON=60°﹣∠EON,∠DON=60°﹣∠EON, ∴∠GOE=∠DON, ∵OD=OE,∠ODN=∠OEG, 在△GOE和∠DON中, ∴△GOE≌△NOD(ASA), ∴ON=OG, 又∵∠GON=60°, ∴△ONG是等边三角形, ∴ON=NG, 又∵OM=ON,∠MOG=60°, ∴△MOG是等边三角形, ∴MG=GO=MO, ∴MO=ON=NG=MG, ∴四边形MONG是菱形. 20140914140410615298 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-14 14. (2014 四川省资阳市) 如图,已知直线l1∥l2,线段AB在直线l1上,BC垂直于l1交l2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l2、 l1于点D、E(点A、E位于点B的两侧),满足BP=BE,连结AP、CE. (1)求证:△ABP≌△CBE;(3分) (2)连结AD、BD,BD与AP相交于点F,如图, ①当 时,求证:AP⊥BD;(3分) ② (n>1)时,设△PAD的面积为S1,△PCE的面积为S2,求 的值.(5分) 答案:解:(1)易知 ,所以△ABP≌△CBE; (2)延长AP交CE于点H, ①因为△ABP≌△CBE,所以∠PAB=∠ECB,则∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°,所以AP⊥CE.因为 =2,即P是BC的中点,易得四边形BECD是平行四边形,则BD∥CE,所以AP⊥BD. ②因为 ,即BC=n?BP,所以CP=(n-1)?BP,因为CD∥BE,易得△CPD∽△BPE,所以 ,设△PBE的面积为S△PBE,△PCE的面积为S△PCE满足 .S2=(n-1)?S,又S△PAB=S△BCE= n?S,所以S△PAE=( n+1)?S,又因为 ,所以S1=(n-1)?S△PAE,即S1=(n+1)(n-1)?S,所以 . 20140914130553841353 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-14 15. (2014 浙江省温州市) 如图,在屏幕直角坐标系中,点 , 的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点 从点 出发,沿 轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点 从点 出发,沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动,以 , 为邻边构造□ ,在线段 延长线上取点 ,使 .设点 运动时间为 秒. (1)当点 运动到线段 的中点时,求 的值及点 的坐标; (2)当点 在线段 上时,求证:四边形 为平行四边形; (3)在线段 上取点 ,使 ,过点 作 ,截取 , ,且点 , 分别在一、四象限.在运动过程中,设□ 的面积为 . ①当点 , 中有一点落在四边形 的边上时,求出所有满足条件的 的值; ②若点 , 中恰好只有一个点落在四边形 的内部(不包括边界)时,直接写出 的取值范围. 答案: 解: 由题意得: , , , , (1)∵ (0,6), ∴ , 当 点运动到线段 的中点时, , ∴ . 此时, , ∴ (0, ). (2)∵四边形 为平行四边形, ∴ , , ∴ 即 , 又∵ , ∴ ≌ , ∴ , , ∴ ∥ , ∴四边形 是平行四边形. (3) 由题意可得 (0, ), ( ,0), ( , ), ( ,0), ( ,0), ( ,2), ( ,0-1). ① 情况一:当 在 轴上方时 (a) 在 上时,∵ 轴, 轴,∴ ∽ ,∴ ,即有 ,解得 ; (b) 在 上时,∵ 轴, 轴,∴ ∽ ,∴ ,即有 ,解得 ; 情况二:当 在 轴上方时 (a) 在 上时,∵ 轴, 轴,∴ ∽ ,∴ ,即有 ,解得 ; (b) 在 上时,∵ 轴, 轴,∴ ∽ ,∴ ,即有 ,解得 ; 综上,当 、 、 、 时,点 , 中有一点落在四边形 的边上. ② 情况一:如下第一幅图,当 时, 恰好过 ,当 时, 在四边形 外部,而 在四边形 内部,直到 时, 点恰好在 上,故 ; 此时 , ; 如下第二幅图,当 时, 恰好过 ,当 时, 在四边形 内部,而 在四边形 外部,直到 时, 点恰好在 上,故 ; 此时 , . 综上,当点 , 中恰好只有一个点落在四边形 的内部(不包括边界)时, 或 . 20140913215150045407 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 16. (2014 浙江省绍兴市) 如图,在平面直角坐标系中,直线l平行x轴,交y轴于点A,第一象限内的点B在l上,连接OB,动点P满足∠APQ=90°,PQ交x轴于点C. (1)当动点P与点B重合时,若点B的坐标是(2,1),求PA的长. (2)当动点P在线段OB的延长线上时,若点A的纵坐标与点B的横坐标相等,求 ∶ 的值. (3)当动点P在直线OB上时,点D是直线OB与直线CA的交点,点E是直线CP与y轴的交点,若 ,PD=2OD,求 ∶ 的值. 答案:解:(1)如图,PA=2. (2)如图,过点P分别作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足为点M,N, ∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等, ∴∠BOA=45°. ∴四边形OMPN是正方形,PM=PN. 又∵∠APQ=90°, ∴∠APN=∠CPM. ∴Rt△APN≌Rt△CPM. ∴ . (3)①如图,点P在线段OB的延长线上.过点P分别作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足为点M,N,PM与直线AC的交点为F. ∵∠CMP=∠ANP=90°,∠APN=∠CPM, ∴Rt△APN∽Rt△CPM. ∴ . ∵∠AEC=∠ACE ,AP⊥CP , ∴P为CE的中点. ∵PM//y轴, ∴F,M分别为CA,OC的中点. 设OA=x, ∵PD=2OD, ∴PF=2x,FM=0.5OA=0.5x,PM=2.5x,CA=2PF=4x. Rt△CAO中,OC= x , ∴PN=OM=0.5OC= ,由 , 得PA∶PC= ∶ = . ②点P在线段OB上,不符合题意. ③如图,点P在线段OB的反向延长线上,过点P分别作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足为点M,N,PM与直线AC的交点为F. 同理可得,PM=1.5x CA=2PF=4x. 在Rt△CAO中,OC= x ,∴PN=OM=0.5OC= ,∴PA∶PC= ∶ = . ∴PA∶PC的值为 或 . (分类讨论,相似,三线合一,三角形中位线,全等三角形,特殊四边形,直角三角形斜边中线性质,…) 20140913213450345304 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 17. (2014 浙江省宁波市) 木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面.他设计了四种方案: 方案一:直接锯一个半径最大的圆; 方案二:圆心O1、O2分别在CD、AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆; 方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯成一个最大圆; 方案四:锯一块小矩形BCEF拼成矩形AFED下面,利用拼成的木板锯成一个尽可能大的圆. (1)写出方案一中圆的半径; (2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大? (3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y. ①求y和x的函数关系式; ②当x取何值时圆的半径最大,最大半径是多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面半径最大. 答案:解:(1)方案一中圆的半径为1;.…………………………3分 (2)方案二 如图,连接O1 O2,作E O1⊥AB于E,设O1 C=x, 那么(2x)2=22+(3-2x) 2, .………………………4分 解得x= ,.…………………………4分 连接OG,∴OG⊥CD, ∵∠D=90°, ∴OG∥DE, ∴△CGO∽△CDE, ∴ ,.…………………………5分 设OG=y, ∴ ,.…………………………6分 ∴y= , ∴方案三的圆半径最大;.…………………………8分 (3)①当0<x< 时, y= ;.…………………………10分 ≤x≤1时, y= ;.…………………………12分 ②当x= 时,y值最大,最大值为 , 四中方案中,第四种方案圆形桌面的半径最大..…………………………14分 20140913211111514995 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 18. (2014 浙江省金华市) 等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,BE相交于点P. (1)若AE=CF. ①求证:AF=BE,并求∠APB的度数. ②若AE=2,试求 的值. (2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长. 答案:(本题10分) (1)①如图,∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=∠BAC=60°, AB=AC, 又∵AE=CF, ∴△AFC≌△BEA (SAS), ∴AF=BE, ……2分 ∠1=∠3, ∵∠4=∠2+∠3, ∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°, 即∠APB=180°-∠4=120°. ……2分 ② ∵ ∠C=∠4=60°,∠PAE=∠CAF, ∴ △APE∽△ACF, ∴ ,即 ,所以 . ……2分 (2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况. 当AE=BF时,如图2,此时点P经过的路径是AB边上的高线CH. 在Rt△AHC中, , ∴此时点P经过的路径长为 . 当AE=CF时,如图3,点P经过的路径是以A,B为端点的圆弧,且∠APB=120°,则圆心角∠AOB=120°, 过点O作OG⊥AB, 在Rt△AOG中,∠AOG=60°, , ∴ , ∴此时点P经过的路径长为 , 所以,点P经过的路径长为 或 . ……4分 20140913203123305183 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 19. (2014 浙江省金华市) (1)阅读合作学习内容,请解答其中的问题. (2)小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题:“当AE>EG时,矩形AEGF与矩形DOHE能否全等?能否相似?” 针对小亮提出的问题,请你判断这两个矩形能否全等?直接写出结论即可;这两个矩形能否相似?若能相似,求出相似比;若不能相似,试说明理由. 答案:(本题10分) (1)①∵OD=3,DE=2,∴E(2,3),由反比例函数 ,可得k=xy=6, ∴该反比例函数的解析式是 . ……2分 ②设正方形AEGF的边长为a,则 , , , 解得a1=0(舍去),a2=1, ∴点F的坐标为(3,2). ……3分 (2)两个矩形不可能全等. ……2分 当 时,两个矩形相似, 方法1: ,设 ,则 , ∴ ,∴ , ∴ ,解得 (舍去), ,∴ , ∴矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为 . 方法2:设矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为t.则 , , ∴ ,∴ , ∴ ,解得 (舍去), , ∴矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为 . ……3分 20140913203123102295 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 20. (2014 浙江省湖州市) 已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0) (1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF; (2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b; (3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由. 答案:证明:(1)如图,连接PM,PN, ∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N, ∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN, ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF, ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE, 在△PMF和△PNE中, ,∴△PMF≌△PNE(ASA), ∴PE=PF, (2)解:①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图, 由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1, ∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a, ②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上, 同理可证△PMF≌△PNE, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t, ∴b+a=1+t+1﹣t=2, ∴b=2﹣a, (3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时, ∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称, ∴F′(1﹣t,0) ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q, ∴Q(1﹣ t,0)∴OQ=1﹣ t, 由(1)得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1 当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ = , 解得,t= ,当△OEQ∽△MFP时,∴ = , = ,解得,t= , (Ⅱ)如图4,当t>2时, ∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称, ∴F′(1﹣t,0) ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q, ∴Q(1﹣ t,0)∴OQ= t﹣1, 由(1)得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1 当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ = ,无解, 当△OEQ∽△MFP时,∴ = , = ,解得,t=2± , 所以当t= ,t= ,t=2± 时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似. 20140913200542115008 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 21. (2014 浙江省杭州市) 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PP′⊥AB于点P′,四边形PFBG关于BD对称。四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称,设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为 ,未盖住部分的面积为 , . (1)用含x代数式分别表示 ; (2)若 ,求x. 答案:解:(1)①当 , ②当 , (不化简更实用) (2)①当 得: 得: (舍去); ②当 得: 解得: (舍去), ∴当 。 20140913195234606008 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-13 22. (2014 山东省青岛市) 已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题: (1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形? (2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE∶S菱形ABCD=17∶40?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB∥CD,AC⊥BD,OA=OC= AC=6,OB=OD= BD=8. 在Rt△AOB中,AB= =10. ∵EF⊥BD, ∴∠FQD=∠COD=90°. 又∵∠FDQ =∠CDO, ∴△DFQ∽△DCO. ∴ = . 即 = , ∴DF= t. ∵四边形APFD是平行四边形, ∴AP=DF. 即10-t= t, 解这个方程,得t= . 答:当t= s时,四边形APFD是平行四边形. 4分 (2)过点C作CG⊥AB于点G, ∵S菱形ABCD=AB?CG= AC?BD, 即10?CG= ×12×16, ∴CG= . ∴S梯形APFD= (AP+DF)?CG = (10-t+ t)? = t+48. ∵△DFQ∽△DCO, ∴ = . 即 = , ∴QF= t. 同理,EQ= t. ∴EF=QF+EQ= t. ∴S△EFD= EF?QD= × t×t= t2. ∴y=( t+48)- t2=- t2+ t+48. 8分 (3)若S四边形APFE∶S菱形ABCD=17∶40, 则- t2+ t+48= ×96, 即5t2-8t-48=0, 解这个方程,得t1=4,t2=- (舍去) 过点P作PM⊥EF于点M,PN⊥BD于点N, 当t=4时, ∵△PBN∽△ABO, ∴ = = ,即 = = . ∴PN= ,BN= . ∴EM=EQ-MQ= = . PM=BD-BN-DQ= = . 在Rt△PME中, PE= = = (cm). 12分 20140912204113090401 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-12 23. (2014 山东省聊城市) 如图,在平面直角坐标系中, 的三个顶点的坐标分别是 (4,3), (0,0), (6,0),点 是 边上异于 , 的一动点,过点 作 ∥ ,点 是 边上的任意点,连接 , , , ,设点 ( ,0), 的面积为 . (1)求出 所在直线的解析式,并求出点 的坐标为(1,0)时,点 的坐标; (2)求出 关于 的函数关系式,写出 的取值范围,并求出 的最大值; (3)若 时,求出此时 点的坐标. 答案:解: (1)设 ,将 (4,3)代入,得 ,解得 ,故 所在直线的解析式为 . 作 轴, 轴,则 ∥ ,∴ . ∵ ∥ ,∴ ,即有 . ∵ (4,3), (0,0), (6,0), (1,0), ∴ , , , , , , , ∴ , ∴ , 当 时, , ∴点 的坐标为(1,0)时,点 的坐标为( , ). (2)设 到 的距离为 , 到 的距离为 ,∵ ∥ ,∴ 到 的距离 ,即 到 的距离 . ∵ ,即 ,解得 , ∵ ∥ ,∴ , ∴ , , ∴ , ∴ , ∵点 是 边上异于 , 的一动点, ∴ ( ) ,当 时, 最大,为 . (3)∵ ∥ ,∴ , ∵ ,∴ , ∴ , ∴ , ∵ , , ∴ , . ∴当 时,求出此时 点的坐标为( ,2). 20140912201745173594 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-12 24. (2014 山东省菏泽市) 答案: 20140911202651201903 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-11 25. (2014 山东省东营市) 探究发现如图1, △ABC是等边三角形, ∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时,有AE=EF成立; 数学思考某数学兴趣小组在探究AE, EF的关系时,运用“从特殊到一般的数学思想,通过验证得出如下结论: 当点E是直线BC上(B、C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立. 假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”, “点E是线段BC延长线上的任意一点”,“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”,三种情况中。任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF. 拓展应用当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形.并运用上述结论求出 的值. 答案:解: 探究发现 过点E作ED//AC交AB于点D,则△BDE是等边三角形 ∵∠AEC是△ABE是外角 ∴∠AEC=∠ABC+∠EAD ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC ∠ABC=∠AEF=60° ∴∠EAD=∠FEC ∵CF平分等边△ABC外角∠ACG ∴∠ACF=∠FCG=60° ∵∠ADE+∠BDE=180° ∠ECF+∠FCG=180° ∠FCG=∠BDE=60° ∴∠ADE=∠ECF=120° ∵BA=BC BD=BE ∴BA-BD=BC-BE 即:AD=EC 在△ADE与△ECF中 ∵ ∴△ADE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF 数学思考 ①“点E是线段BC延长线上的任意一点”, 如图(图1—①) 过点E作ED//AC交BA延长线于点D,则△BDE是等边三角形 ∵∠AEC是△ABE是外角 ∴∠AEC=∠ABC+∠EAD ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC ∠ABC=∠AEF=60° ∴∠EAD=∠FEC ∵CF平分等边△ABC外角∠ACG ∴∠ACF=∠FCG=60° ∵∠ADE+∠BDE=180° ∠ECF+∠FCG=180° ∠FCG=∠BDE=60° ∴∠ADE=∠ECF=120° ∵BA=BC BD=BE ∴BA-BD=BC-BE 即:AD=EC 在△ADE与△ECF中 ∵ ∴△ADE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF ②若“点E是线段BC上的任意一点” ,如图(图1—②) 过点E作ED//AC交AB于点D,则△BDE是等边三角形 ∵∠EAD是△ABE是外角 ∴∠EAD=∠ABC+∠AEC ∵∠FEC=∠AEF+∠AEC ∠ABC=∠AEF=60° ∴∠EAD=∠FEC ∵CF平分等边△ABC外角∠ACG ∴∠FCE=60° ∵△BDE是等边三角形 ∴∠EDA=60° ∴∠EDA=∠FCE=60° ∵BD=BE BA=BC ∴BD-BA=BE-BC 即:AD=EC 在△ADE与△ECF中 ∵ ∴△ADE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF ③ “点E是线段BC反向延长线上的任意一点” 如图(图1—③) 过点E作ED//AC交AB延长线于点D,则△BDE是等边三角形 ∵∠ABC是△ABE是外角 ∴∠ABC=∠AEB+∠EAD=60° ∵∠AEF=∠AEB+∠FEC=60° ∴∠EAD=∠FEC ∵CF所在直线平分等边△ABC外角∠ACG ∴∠ECF=∠GCH=60° ∵△BDE是等边三角形 ∴∠ADE=60° ∴∠EDA=∠FCE=60° ∵BA=BC BD=BE ∴BA-BD=BC-BE 即:AD=EC 在△ADE与△ECF中 ∵ ∴△ADE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF 拓展应用 当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,如图2. 由上述结论可知:AE=EF,∠AEF=60° ∴△AEF是等边三角形 ∵△ABC是等边三角形 ∴△ABC∽△AEF ∵△BDE是等边三角形 ∴AB=BC=CA ∵CE=BC ∴AB=BC=CA=CE ∴∠CAE=∠CEA ∴∠CAE+∠CEA=∠ACB=60° ∴∠CAE=∠CEA=30° ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+30°=90° ∴ ∴ 20140911201055564749 9 几何综合题、代数和几何综合题 填空题 基础知识 2014-09-11 26. (2014 山东省滨州市) 如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10 ,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q。 (1)求证:△APQ∽△CDQ; (2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒。 ①t为何值时,DP⊥AC? ②设 ,写出 与 之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时, 取得最小值。 答案:解:(1)∵矩形ABCD ∴AB∥CD,CD=AB=20,AD=BC=10,∠ADC=∠ABC=90° ∴∠APQ=∠CDQ,∠PAQ=∠DCQ ,AC= ∴△APQ∽△CDQ (2)①当DP⊥AC时,∵∠ADC=90° ∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90° 又∠A=∠A ∴△ADQ∽△ACD ∴ ,则 ∵∠AQP=∠ABC=90°又∠AQP=∠BAC ∴△AQP∽△ABC ∴ ,则 ,解得 即当 时,DP⊥AC ②过点Q作QE⊥AB于E,延长EQ交CD于F,则QF⊥CD,FQ+QE=10 ∵△APQ∽△CDQ ∴ 即 ,则 ,又 可解得AQ= ∵QE⊥AB,∠ABC=90° ∴∠ABC=∠QEA=90° ∴QE∥BC ∴△AQE∽△ACB ∴ ,则 则QF=10-QE= ∴ ∵ 当 时, 取得最小值,解得 ∵ 即当P点运动到第八秒到第九秒之间时, 取得最小值。 20140911191135232205 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-11 27. (2014 辽宁省沈阳市) 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,且BC⊥OC于点C,点A的坐标为 ,AB= ,∠B=60°,点D是线段OC上一点,且OD=4,连接AD. (1)求证:△AOD是等边三角形; (2)求点B的坐标; (3)平行于AD的直线l从原点O出发,沿x轴正方向平移.设直线l被 四边形OABC截得的线段长为m,直线l与x轴交点的横坐标为t. ①当直线l与x轴的交点在线段CD上(交点不与点以,D重合)时,请直接写出m与t的函数关系式(不必写出自变量t的取值范围); ②若m=2,请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标. 答案:解: (1)证明:过点作AM⊥x轴于点M, ∵点A的坐标为 ,∴OM=2,AM= . ∴在Rt△AOM中,tan∠AOM= = = ,∴∠AOM=60°. 由勾股定理得,OA= ∵OD=4, ∴OA=OD. ∴△AOD是等边三角形. (2)解:过点A作AN⊥BC于点N, ∵BC⊥OC,AM⊥x轴, ∴∠BCM=∠CMA=∠ANC =90°. ∴四边形ANCM为矩形,∴AN=MC,AM=NC. ∵∠B=60°,AB= , ∴在Rt△ABN中,AN=AB?sinB= =6, ∴BN=AB?cosB= = . ∴AN=MC=6,CN=AM= .∴OC=OM+MC=2+6=8, BC=BN+CN= + = . ∴点B的坐标为(8, ). (3)① . ②(2,0),( ,0) 20140910225622409978 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-10 28. (2014 辽宁省大连市) 如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在BC上,DE=DC,点F是DE与AC的交点,且DF=FE. (1)图1中是否存在与∠BDE相等的角?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由; (2)求证:BE=EC; (3)若将“点D在BA的延长线上,点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点,且DF=FE”分别改为“点D在AB上,点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点,且DF=kFE”,其他条件不变(如图2).当AB=1,∠ABC=a时,求BE的长(用含k、a的式子表示).   答案:解:(1)∠DCA=∠BDE. 证明:∵AB=AC,DC=DE, ∴∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE. ∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA. (2)过点E作EG∥AC,交AB于点G,如图1, 则有∠DAC=∠DGE. 在△DCA和△EDG中, ∴△DCA≌△EDG(AAS). ∴DA=EG,CA=DG. ∴DG=AB. ∴DA=BG. ∵AF∥EG,DF=EF, ∴DA=AG. ∴AG=BG. ∵EG∥AC, ∴BE=EC. (3)过点E作EG∥AC,交AB的延长线于点G,如图2, ∵AB=AC,DC=DE, ∴∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE. ∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA. ∵AC∥EG, ∴∠DAC=∠DGE. 在△DCA和△EDG中, ∴△DCA≌△EDG(AAS). ∴DA=EG,CA=DG ∴DG=AB=1. ∵AF∥EG, ∴△ADF∽△GDE. ∴ . ∵DF=kFE, ∴DE=EF﹣DF=(1﹣k)EF. ∴ . ∴AD= . ∴GE=AD= . 过点A作AH⊥BC,垂足为H,如图2, ∵AB=AC,AH⊥BC, ∴BH=CH. ∴BC=2BH. ∵AB=1,∠ABC=α, ∴BH=AB?cos∠ABH=cosα. ∴BC=2cosα. ∵AC∥EG, ∴△ABC∽△GBE. ∴ . ∴ . ∴BE= . ∴BE的长为 . 20140910223100321261 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-10 29. (2014 江苏省扬州市) 已知矩形ABCD的一边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处. (1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证:△OCP∽△PDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长 (2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数; (3)如图2,在 (1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交与PB点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段的长度. 答案:解:(1) ①证明:∵四边形ABCD为矩形, ∴∠D=∠C=∠B=90°, 由题意知∠APO=∠B=90°, ∴∠DOA+∠OCA=90°, 又∠DPA+∠DAP=90°, ∴∠DAP=∠COP. ∴△OCP∽△PDA. ②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4, ∴ ,∵AD=8,∴PC=4. 设 ,则AP=AB=CD=x. ∴DP=4-x. 在Rt△PDA中,根据勾股定理得 即 ,解得 . ∴边AB的长为10. (2)∵点P是CD边的中点,∴BP= . ∵AB=CD=AP,∴DP= ,∵∠DAP=30°,∴∠DAB=90°∴∠PAB=60°, ∴∠OAB= ∠PAB=30°. (3) 线段EF的长度不变,为 ,理由如下: 如图,过点M作MQ∥AB交PB于点Q. 由(1)知,AB=AP,∴∠ABP=∠APB. ∵MQ∥AB,∵∠ABP=∠MQP. .∵∠APB=∠MQP,∴MP=MQ. ∵ME⊥BP,∴EQ= PQ,∵MQ∥AB, ∵∠N=∠FMQ, ∠FBN=∠MQP, 又BN=PM,∴△MQF≌△NBF. ∴FQ=BQ= BQ ∴EF=EQ+QF= (PQ+BQ)= PB. 由(1)知 . ∴EF= PB= . 20140910221025056334 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-10 30. (2014 江苏省盐城市) 如图,反比例函数的图象经过点A(-1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是(  ) A.   B.   C.   D. 答案:A 20140910215709881956 9 几何综合题、代数和几何综合题 选择题 基础知识 2014-09-10 31. (2014 江苏省宿迁市) 如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N. (1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点; (2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形; (3)将图1中△BCE绕点旋转到图3的位置时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,试证明之;若不成立,请说明理由. (图1) (图2) (图3) 答案:解:(1)∵点M为DE的中点,∴DM=ME.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,∴AM=MN,即M为AN的中点; (2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,又∵DA=AB,∴AB=NE,∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=CE,∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,∴∠BCN+∠ACB=90°,∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形; (3)由(2)可知AB=NE,BC=CE.又∵∠ABC=360-45-45-∠DBE=270-∠DBE=270-(180-∠BDE-∠BED)=90+∠BDE+∠BED=90+∠ADM-45+∠BED=45+∠MEN+∠BED=∠CEN,∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形,∴(2)中的结论是否仍然成立. 20140910213140192326 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-10 32. (2014 江苏省无锡市) 如图1,已知点A(2,0)、B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C.一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N,设P运动的时间为t(0<t<2)秒. (1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示); (2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S, ①试求S关于t的函数关系式; ②在图2的直角坐标系中,画出S关于t的函数图像,并回答:S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由. 答案:解:(1)过C点做CE⊥x轴,CF⊥y轴, ∵OC平分∠AOB,∴OE=CE=x ∴ ,∴ ,∴ ,∴C( , ) M(2t,0),N(0,t) (2)①当0OB ∴OA=4,OB=3 ……………………………………………………………1分 过D作DE⊥y于点E ∵正方形ABCD ∴AD=AB ∠DAB=90° ∠DAE+∠OAB=90° ∠ABO+∠OAB=90° ∴∠ABO=∠DAE ∵DE⊥AE ∴∠AED =90°=∠AOB ∴△DAE≌△ABO …………………………………………………2分 ∴DE=OA=4 AE=OB=3 OE=7 ∴D(4,7) ……………………………………………………1分 (2)过点C作CM⊥x轴于点M 同上可证得△BCM≌△ABO …………………………………………1分 ∴CM=OB=3 BM=OA=4 OM=7 ∴C(7,3) ……………………………………………………1分 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数) 代入B(3,0),C(7,3)得 7k+b=3 解得 k= 3k+b=0 b= …………………………………………1分 ∴y= x ……………………………………………………1分 (3)存在P1(3,0),P2(11,6)………………………………………………2分 20140907132207335496 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 基础知识 2014-09-07 60. (2014 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上(OA 0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m , n),其中m>1, AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C. (1)写出反比例函数解析式; (2)求证:?ACB∽?NOM; (3)若?ACB与?NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式. 答案:解:(1)∵ y = kx 过(1,4)点 ∴ k = 4,反比例函数解析式为y = 4x 1分 (2)∵ B(m,n) A(1,4) ∴ AC = 4–n,BC = m–1,ON = n,OM = 1 2分 ∴ ACON = 4–nn = 4n–1 而B(m,n)在y = 4x 上 ∴ 4n = m ∴ ACON = m–1 而 BCOM = m–11 ∴ ACON = BCOM 4分 又∵ ∠ACB =∠NOM = 90° ∴ ΔACB∽ΔNOM 5分 (3)∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2 ∴ m–1 = 2 ∴ m = 3 ∴ B点坐标为(3,43) 6分 设AB所在直线的解析式为y = kx+b ∴ 43 = 3k+b4 = k+b ∴ k = –43 b = 163 ∴ 解析式为y = –43 x+163 8分 20140902212351077402 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 解决问题 2014-09-02 76. (2014 内蒙古包头市) 如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0). (1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由; (2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA.为什么? (3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形ABOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.   答案: 解:(1)∵t=1, ∴OE=1.5厘米,OF=2厘米, ∵AB=3厘米,OB=4厘米, ∴ = =, == ∵∠MON=∠ABE=90°, ∴△EOF∽△ABO. (2)在运动过程中,OE=1.5t,OF=2t. ∵AB=3,OB=4. ∴ . 又∵∠EOF=∠ABO=90°, ∴Rt△EOF∽Rt△ABO. ∴∠AOB=∠EOF. ∵∠AOB+∠FOC=90°, ∴∠EOF+∠FOC=90°, ∴EF⊥OA. (3)如图,连接AF, ∵OE=1.5t,OF=2t, ∴BE=4﹣1.5t ∴S△FOE=OE?OF=×1.5t×2t=t2,S△ABE=×(4﹣1.5t)×3=6﹣t, S梯形ABOF=(2t+3)×4=4t+6 ∵S△AEF=S四边形ABOF ∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF, ∴t2+6﹣t=(4t+6),即6t2﹣17t+12=0, 解得t=或t=. ∴当t=或t=时,S△AEF=S四边形ABOF. 20140902211138408080 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 解决问题 2014-09-02 77. (2014 内蒙古赤峰市) 如图(12),矩形OABC的顶点A、C分别在 轴和 轴上,点B的坐标为 ,双曲线 的图象经过BC的中点D,且于AB交于点E. (1)求反比例函数解析式和E点坐标; (2)若F是OC上一点,且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC和△AFO相似,求F点的坐标. 答案: 解:(1)四边形ABCD是矩形,D是BC中点, ∴ …………(1分) 设反比例函数解析式为 …………(2分) ∵ ∴ …………(3分) 当 时, ………………(4分) ∴ ……………………(5分) (2)设 ∵∠OAF=∠DFC △AOF∽△FDC ∴ 即 …………(8分) ∴ …………(10分) 解得: …………(11分) ∴ 或 ……………………(12分) 评分阈值:1分 20140902203219316095 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 解决问题 2014-09-02 78. (2014 吉林省长春市) 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点O为对角线BD的中点,点P从点A出发,沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P运动的时间为t(秒). (1)求点N落在BD上时t的值; (2)直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围; (3 )当点P在折线AD﹣DO上运动时,求S与t之间的函数关系式; (4)直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值. 答案:解:(1)当点N落在BD上时,如图1. ∵四边形PQMN是正方形, ∴PN∥QM,PN=PQ=t. ∴△DPN∽△DQB. ∴ . ∵PN=PQ=PA=t,DP=3﹣t,QB=AB=4, ∴ .[来源:Z,xx,k.Com] ∴t= . ∴当t= 时,点N落在BD上. (2)①如图2, 则有QM=QP=t,MB=4﹣t. ∵四边形PQMN是正方形, ∴MN∥DQ. ∵点O是DB的中点, ∴QM=BM. ∴t=4﹣t. ∴t=2. ②如图3, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°. ∵AB=4,AD=3, ∴DB=5. ∵点O是DB的中点, ∴DO= . ∴1×t=AD+DO=3+ . ∴t= . ∴当点O在正方形PQMN内部时,t的范围是2<t< . (3)①当0<t≤ 时,如图4. S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2. ②当 <t≤3时,如图5, ∵tan∠ADB= = , ∴ = . ∴PG=4﹣ t. ∴GN=PN﹣PG=t﹣(4﹣ t)= ﹣4. ∵tan∠NFG=tan∠ADB= , ∴ . ∴NF= GN= ( ﹣4)= t﹣3. ∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF =t2﹣ ×( ﹣4)×( t﹣3) =﹣ t2+7t﹣6. ③当3<t≤ 时,如图6, ∵四边形PQMN是正方形,四边形ABCD是矩形. ∴∠PQM=∠DAB=90°. ∴PQ∥AD. ∴△BQP∽△BAD. ∴ = = . ∵BP=8﹣t,BD=5,BA=4,AD=3, ∴ . ∴BQ= ,PQ= . ∴QM=PQ= . ∴BM=BQ﹣QM= . ∵tan∠ABD= , ∴FM= BM= . ∴S=S梯形PQMF= (PQ+FM)?QM = [ + ]? = (8﹣t)2 = t2﹣ t+ . 综上所述:当0<t≤ 时,S=t2. 当 <t≤3时,S=﹣ t2+7t﹣6. 当3<t≤ 时,S= t2﹣ t+ . (4)设直线DN与BC交于点E, ∵直线DN平分△BCD面积, ∴BE=CE= . ①点P在AD上,过点E作EH∥PN交AD于点H,如图7, 则有△DPN∽△DHE. ∴ . ∵PN=PA=t,DP=3﹣t,DH=CE= ,EH=AB=4, ∴ . 解得;t= . ②点P在DO上,连接OE,如图8, 则有OE=2,OE∥DC∥AB∥PN. ∴△DPN∽△DOE. ∴ . ∵DP=t﹣3,DO= ,OE=2, ∴PN= (t﹣3). ∵PQ= (8﹣t),PN=PQ, ∴ (t﹣3)= (8﹣t). 解得:t= . ③点P在OC上,设DE与OC交于点S,连接OE,交PQ于点R,如图9, 则有OE=2,OE∥DC. ∴△DSC∽△ESO. ∴ . ∴SC=2SO. ∵OC= , ∴SO= = . ∵PN∥AB∥DC∥OE, ∴△SPN∽△SOE. ∴ . ∵SP=3+ + ﹣t= ,SO= ,OE=2, ∴PN= . ∵PR∥MN∥BC, ∴△ORP∽△OEC. ∴ . ∵OP=t﹣ ,OC= ,EC= , ∴PR= . ∵QR=BE= , ∴PQ=PR+QR= . ∵PN=PQ, ∴ = . 解得:t= . 综上所述:当直线DN平分△BCD面积时,t的值为 、 、 . [来源:Zxxk.Com] 20140902202101221950 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 解决问题 2014-09-02 79. (2014 陕西省) 问题探究 (1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰△APD,并求出此时BP的长; (2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长; 问题解决 (3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员项在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB.现在要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)符合条件的等腰三角形如图所示,有3个;BP1= ,BP2=2,BP3=4 - ; (2) ∵E、F分别为AB、AC中点, ∴EF//BC,EF=12BC=6. ∵AD=6,AD⊥BC, ∴EF与BC间的距离为3. ∴BC上符合条件的点Q只有一个. 如图②,⊙O与BC的切点记为Q,连接OQ, 过点E作EG⊥BC,垂足为G, ∴EG=3. ∴四边形EOQG为正方形. 在Rt△EBG中,∠B=60°,EG=3, ∴BG= . ∴BQ=3+ . (3)在CD上存在符合题意得点M. 理由如下: 如图,构造等边△ABG,作GP⊥AB于点P,AK⊥BG于点K,AK与GP交于点O,以O为圆心OA长为半径画圆,则⊙O为△ABG的外接圆,作OH⊥CD于点H. 在Rt△AOP中,AP=12AB=135,OA=90 ,OP=45 , 又知OH=285-2702=150. 而90 >150, ∴⊙O与CD相交. 记⊙O与CD的交点为M,连接OM、MA、MB, 则∠AMB=∠AGB=60°. ∵在Rt△OHM中,HM= = , ∴DM=400- <340,或DM=400- >340(舍去) ∴CD上符合题意得点M只有一个. ∴点M就是符合要求点. 故DM=400- ≈279.63m. 20140902185723042024 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 解决问题 2014-09-02

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