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关键字:.2相似三角形的判定和性质(2010年

1. (2010 四川省南充市) 如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连结BD并延长与CE交于点E. (1)求证:△ABD∽△CED. (2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长. 答案:(1)证明:∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠BAC=∠ACB=60°.∠ACF=120°. ∵ CE是外角平分线, ∴ ∠ACE=60°. ∴ ∠BAC=∠ACE.     ……(2分) 又∵ ∠ADB=∠CDE, ∴ △ABD∽△CED.     ……(4分) (2)解:作BM⊥AC于点M,AC=AB=6. ∴ AM=CM=3,BM=AB?sin60°= . ∵ AD=2CD,∴ CD=2,AD=4,MD=1.        ……(6分) 在Rt△BDM中,BD= = .       ……(7分) 由(1)△ABD∽△CED得, , , ∴ ED= ,∴ BE=BD+ED= .          ……(8分) 20100820153520265471 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 数学思考 2010-08-20 2. (2010 四川省内江市) 如图,在 中, 点 分别在 和 上, 与 相交于点 若 为 的中点, 的值为___________. 答案: 20100820134514859224 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基本技能 2010-08-20 3. (2010 四川省绵阳市) 如图,已知正比例函数y = ax(a≠0)的图象与反比例函致 (k≠0)的图象的一个交点为A(-1,2-k2),另—个交点为B,且A、B关于原点O对称,D为OB的中点,过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E. (1)写出反比例函数和正比例函数的解析式; (2)试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍. 答案:(1)由图知k>0,a>0.∵ 点A(-1,2-k2)在 图象上, ∴ 2-k2 =-k,即 k2-k-2 = 0,解得 k = 2(k =-1舍去),得反比例函数为 . 此时A(-1,-2),代人y = ax,解得a = 2,∴ 正比例函数为y = 2x. (2)过点B作BF⊥x轴于F.∵ A(-1,-2)与B关于原点对称, ∴ B(1,2),即OF = 1,BF = 2,得 OB = . 由图,易知 Rt△OBF∽Rt△OCD,∴ OB : OC = OF : OD,而OD = OB∕2 = ∕2, ∴ OC = OB ? OD∕OF = 2.5.由 Rt△COE∽Rt△ODE得 , 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍. 20100820102123468209 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-08-20 4. (2010 四川省绵阳市) 如图,梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O,G是BD的中点.若AD = 3,BC = 9,则GO : BG =( ). A.1 : 2 B.1 : 3 C.2 : 3 D.11 : 20 答案:A 20100820095030140270 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-09-12 5. (2010 四川省眉山市) 如图,Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC ? 交斜边于点E,CC ? 的延长线交BB ? 于点F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= ,∠CAC ? = ,试探索 、 满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由. 答案:(1)证明:∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的, ∴AC=AC ?,AB=AB ?,∠CAB=∠C ?AB ? ………………(1分) ∴∠CAC ?=∠BAB ? ∴∠ACC ?=∠ABB ? ……………………………………(3分) 又∠AEC=∠FEB ∴△ACE∽△FBE ……………………………………(4分) (2)解:当 时,△ACE≌△FBE. …………………(5分) 在△ACC?中,∵AC=AC ?, ∴ ………(6分) 在Rt△ABC中, ∠ACC?+∠BCE=90°,即 , ∴∠BCE= . ∵∠ABC= , ∴∠ABC=∠BCE ……………………(8分) ∴CE=BE 由(1)知:△ACE∽△FBE, ∴△ACE≌△FBE.………………………(9分) 20100820091148218076 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 数学思考 2010-08-25 6. (2010 黑龙江省大庆市) 如图,等边三角形 的边长为3, 、 分别是 、 上的点,且 ,将 沿直线 折叠,点 的落点记为 ,则四边形 的面积 与 的面积 之间的关系是( ) A.     B.     C.    D. 答案:D 20100820081906093608 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 数学思考 2010-08-24 7. (2010 四川省泸州市) 如图,在平行四边形 中, 为 边上的一点,且 与 分别平分 和 . (1)求证: ; (2)设以 为直径的半圆交 于 ,连接 交 于 ,已知 , ,求 值. 答案:(1)证明:在平行四边形 中, ∴ 1分 又∵ 平分 ∴ 2分 ∴ 3分 ∴ 4分 (2)解:在平行四边形 中, ∴ 5分 又∵ ∴ ∴ 6分 同理 ∴ 7分 在 中, 8分 又∵ 为半圆的直径,∴ ∴ ∵ ∴ 9分 ∴ 10分 20100819171532765355 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 数学思考 2010-08-25 8. (2010 四川省凉山州) 如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M. (1)求证:BE是⊙O的切线; (2)求证: ; (3)若过点D作DG//BE交EF于G,过G作GH//DE交DF于H,则易知△DHG是等边三角形.设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为 、 、 ,试探究 、 、 之间的数量关系,并说明理由. 答案:(1)证明:连结OB, ∵△ABC和△BDE都是等边三角形 ∴∠ABC=∠EBD=60° ……………………………1分 ∴∠CBE=60°,∠OBC=30° ∴∠OBE=90° ……………………………………2分 ∴BE是⊙O的切线 ………………………………3分 (2)证明:连结MB,则∠CMB=180°-∠A=120°…………4分 ∵∠CBF=60°+60°=120° ∴∠CMB=∠CBF ∵∠BCM=∠FCB ∴△CMB≌△CBF …………………………………5分 ∴ 即 ∵AC=CB ∴ …………………………………6分 (3)解:作DG//BE,GH//DE ………………………………7分 ∵AC∥BE∥DG ∴ ∵BC∥DE∥HG ∴ ∴ ………………………………………8分 ∴ ∵ , ∴ 即 ……………………………9分 20100819160913828155 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-09-12 9. (2010 湖北省十堰市) 如图,已知 与 都经过点 , 是 的切线, 交 于点 ,连结 并延长交 于点 ,连结 . (1)求证: ; (2)证明: ; (3)如果 ,求 的长. 答案:解:(1) 是 的切线, 又 , 即 (3分) (2)延长 交 于点 连结 . 是 的直径, 又由(1)可知 ,又 又 (3分) (3)由(2)证可知 ,即 ,又 又由(2) 由 得 即  又     (3分) 20100819155500703685 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 10. (2010 湖北省咸宁市) 如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC, , , .动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒). (1)当 时,求线段 的长; (2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值; (3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究 是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由. 答案:解:(1)过点C作 于F,则四边形AFCD为矩形. ∴ , . 此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分 ∴ . 即 ,∴ .……3分 (2)∵ 为锐角,故有两种情况: ①当 时,点P与点E重合. 此时 ,即 ,∴ .……5分 ②当 时,如备用图1, 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴ . 由(1)知, , 而 , ∴ . ∴ . 综上所述, 或 .……8分(说明:未综述,不扣分) (3) 为定值.……9分 当 >2时,如备用图2, . 由(1)得, . ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . ∴四边形AMQP为矩形. ∴ ∥ .……11分 ∴△CRQ∽△CAB. ∴ .……12分 20100819112451953220 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 11. (2010 湖北省咸宁市) 问题背景 (1)如图1,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点, 过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空: 四边形DBFE的面积 , △EFC的面积 , △ADE的面积 . 探究发现 (2)在(1)中,若 , ,DE与BC间的距离为 .请证明 . 拓展迁移 (3)如图2,□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若 △ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用(2) 中的结论求△ABC的面积. 答案:(1) , , .……3分 (2)证明:∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四边形DBFE为平行四边形, , . ∴△ADE∽△EFC.……4分 ∴ . ∵ , ∴ .……5分 ∴ . 而 , ∴ ……6分 (3)解:过点G作GH∥AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形. ∴ , , . ∵四边形DEFG为平行四边形, ∴ . ∴ . ∴ . ∴△DBE≌△GHF. ∴△GHC的面积为 .……8分 由(2)得,□DBHG的面积为 .……9分 ∴△ABC的面积为 .……10分 (说明:未利用(2)中的结论,但正确地求出了△ABC的面积,给2分) 20100819111806156775 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 12. (2010 浙江省台州市) 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y. (1)求证:△DHQ∽△ABC; (2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值; (3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形? 答案:(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB, ∴ =90°,HD=HA, ∴ ,……………………………………………3分 ∴△DHQ∽△ABC.……………………………………………………1分 (2)①如图1,当 时, ED= ,QH= , 此时 .………………………3分 当 时,最大值 . ②如图2,当 时, ED= ,QH= , 此时 .………………………2分 当 时,最大值 . ∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是 .……………………………………………………1分 (3)①如图1,当 时, 若DE=DH,∵DH=AH= , DE= , ∴ = , . 显然ED=EH,HD=HE不可能;……………………………………1分 ②如图2,当 时, 若DE=DH, = , ;……………………………1分 若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合, ;…………1分 若ED=EH,则△EDH∽△HDA, ∴ , , . ………………1分 ∴当x的值为 时,△HDE是等腰三角形. (其他解法相应给分) 20100819111259312462 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 数学思考 2010-09-12 13. (2010 湖北省武汉市) 已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连结AC,BD交于点P. (1) 如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求 的值; (2) 如图2,当OA=OB,且 时,求tan∠BPC的值. (3) 如图3,当AD∶AO∶OB=1∶n∶ 时,直接写出tan∠BPC的值. (图1) (图2) (图3) 答案:解:(1) 延长AC至点E,使CE=CA,连接BE,∵C为OB中点, ∴△BCE≌△OCA,∴BE=OA,?E=?OAC,∴BE//OA, ∴△APD∽△EPB,∴ = .又∵D为OA中点, OA=OB,∴ = = .∴ = = ,∴ =2. (2) 延长AC至点H,使CH=CA,连结BH,∵C为OB中点, ∴△BCH≌△OCA,∴?CBH=?O=90?,BH=OA.由 = , 设AD=t,OD=3t,则BH=OA=OB=4t.在Rt△BOD中, BD= =5t,∵OA//BH,∴△HBP∽△ADP, ∴ = = =4.∴BP=4PD= BD=4t,∴BH=BP. ∴tan?BPC=tan?H= = = . (3) tan?BPC= .提示:可以获得PD=AD=1,仍有则∠BPC=∠DPA=∠A,tan∠BPC=tan∠A= . 20100819103518375776 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 14. (2010 四川省乐山市) 如图(11),在矩形 中, 是 边上一点,连结 并延长,交 的延长线于点 . (1)若 ,求 的值; (2)若P为BC边上的任意一点,求证 . 答案:(1)解:四边形ABCD为矩形, ∴AB=DC,AB∥DC, ………………………………………………………………1分 △DPC ∽△QPB, ………………………………………………………3分 ∴ , ∴ , ∴ ………………………………………………5分 (2)证明:由 得 ……………………………………………………………………6分 ∴ …………………………………………………………7分 ………………………10分 20100819102659046797 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 数学思考 2010-09-12 15. (2010 黑龙江省绥化市) 已知在 中, 点 在 上,且 当点 为线段 的中点,点 分别在线段 上时(如图1),过点 作 于点 于点 可证 得出 (不需证 明) 当 点 分别在线段 或其延长线上,如图2、图3这两种情况时, 请写出线段 之间的数量关系,并任选其一给予证明. 答案: 解:如图2,如图3中都有结论: 2分 选如图2:在 中,过点 作 于 , 于 ∴四边形 是矩形,∴ , ∵ 可知 ∴ 2分 ∴ 1分 又∵ 和 中: ∴ , 1分 ∴ 1分 ∵ ∴ 即: 1分 若选如图3,其证明过程同上.(其他方法如果正确,可参照给分) 20100819093743359437 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-08-25 16. (2010 黑龙江省绥化市) 如图所示,已知 和 均是等边三角形,点 在同一条直线上, 与 交于点 与 交于点 与 交于点 连接 则下列结论:① ② ③ ④ 其中正确结论的个数(  ) A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案:D 20100819084332078386 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-08-19 17. (2010 广西桂林市) 如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O 的切线,切点为F,FH∥BC,连结 AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF. (1)证明:AF平分∠BAC; (2)证明:BF=FD; (3)若EF=4,DE=3,求AD的长. 答案:证明:(1)连结OF ∵FH是⊙O的切线 ∴OF⊥FH ……………1分 ∵FH∥BC , ∴OF垂直平分BC ………2分 ∴ ∴AF平分∠BAC …………3分 (2)证明:由(1)及题设条件可知 ∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD ………………6分 (3)解: 在△BFE和△AFB中 ∵∠5=∠2=∠1,∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7分 ∴ , ……………8分 ∴ ∴ ……………………9分 ∴ ∴AD= = …………………10分 20100818171444375977 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-08-18 18. (2010 四川省成都市) 已知:如图, 内接于 , 为直径,弦 于 , 是 的中点,连结 并延长交 的延长线于点 ,连结 ,分别交 、 于点 、 . (1)求证: 是 的外心; (2)若 ,求 的长; (3)求证: . 答案:(1)证明:∵ 是 的中点,∴ . ∴ . ∵ 是 直径,∴ . ∴ . 又 ,∴ . ∴ . ∴在 中,有 . ……1分 ∵ 直径 ,∴ . ∴ . ∴ . ∴在 中,有 . ……1分 ∴ . ∴ 是 的外心. ……1分 (2)解:∵ 直径 于 , ∴在 中,由得 . ……1分 , ∴由勾股定理,得 . ∵ 是 直径, ∴在 中,由 , 得 . ……1分 易知 ∽ ,∴ . ∴ . ……1分 (3)证明:∵ 是 直径,∴ . ∴ . 又 ,∴ . ∴ . ∴ ∽ . ∴ ,即 . ……1分 易知 ∽ , ∴ .(或由射影定理得) ……1分 ∴ . ……1分 由(1),知 ,∴ . ∴ . ……1分 20100818171246906186 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-09-12 19. (2010 四川省成都市) 已知:在菱形 中, 是对角线 上的一动点. (1)如图甲, 为线段 上一点,连接 并延长交 于点 ,当 是 的中点时,求证: ; (2)如图乙,连结 并延长,与 交于点 ,与 的延长线交于点 .若 ,求 和 的长. 答案:(1)证明:∵ 为菱形,∴ . ∴ . ……1分 ∵ 是 的中点, ∴ . ……1分 在 和 中, ∵ , , , ∴ ≌ .(ASA) ……2分 ∴ . ……1分 (2)解:如图,过A作 ,与 的延长线交于T. ……1分 ∵ABCD是菱形,∠DCB=60 , ∴AB = AD=4,∠ABT=60 . ∴ , . ∵ ,∴ . ∴ . ……2分 ∵ ,∴ ∽ . ∴ . 则 ,即 , . ∵ ,∴ . ……2分 同理可得 ∽ . ∴ . 则 ,即 , . ∴ . ……1分 ∴ . ……1分 20100818164510859892 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-09-12 20. (2010 重庆市潼南县) 与 的相似比为3:4,则 与 的周长比为 . 答案:3:4 20100818163926468338 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2010-08-18 21. (2010 浙江省丽水市) 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上. (1) 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由; (2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上 的7个格点,请在这7个格点中选取3个点 作为三角形的顶点,使构成的三角形与 △ABC相似(要求写出2个符合条件的三角 形,并在图中连结相应线段,不必说明理由). 答案:解:(1) △ABC和△DEF相似.………………………………………………2分 根据勾股定理,得  , ,BC=5 ; , , . ∵  ,…………………………………………3分 ∴ △ABC∽△DEF.………………………………………………1分 (2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.…………………4分 △P2P5D,△P4P5F,△P2P4D, △P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD. 20100818161503576254 4.2 相似三角形的判定和性质 计算题 数学思考 2010-08-18 22. (2010 广西梧州市) 如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),∠OBA=90°,BC∥OA, OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动. 现点E、F同时出发,当F点到达B点时,E、F两点同时停止运动. (1)求梯形OABC的高BG的长. (2)连接EF并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形. (3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由. 答案:解法一: (1)根据题意,得:OA=10,OB=8,∠OBA=90° ∴ AB= ……………………………………1分 ∵ ∠ABO=∠AGB=90° ∴△ABO ∽△AGB……………3分 ∴ ∴AG=6×6÷10=3.6 BG=8×6÷10=4.8………………4分 (2)设当E点运动到t秒时,四边形ABED是等腰梯形,由题意得: BE=t,OF=2t,BF=8-2t………………………………5分 ∵BC∥OA ∴∠EBF=∠DOF, 又∵∠BFE=∠OFD ∴△BEF ∽△ODF ∴ 即 ∴ OD= …………………6分 过点E作EH⊥OA,垂足为点H,则有EH=BG,HG=BE=t , ∵ ED=BA ∴Rt△EDH≌Rt△BAG ∴DH=AG=3.6, ∵OD+DH+HG+AG=10 ∴ ,………7分 解之得: . 经检验: 是原方程的解. ………8分 又∵ ,所以当点E运动到 秒时,四边形ABED是等腰梯形. …9分 (3)点E、F会同时在某个反比例函数的图象上. ……………10分 当t = 时,E、F在同一个反比例函数的图象上. …………12分 解法二:(1)根据题意,得:OA=10,OB=8,∠OBA=90° ∴ AB= …………………………………………………1分 根据△OBA的面积计算,可知: ×OB×AB= ×OA×BG ……3分 ∴BG=8×6÷10=4.8 ………………………4分 (2)设当E点运动到t秒时,四边形ABED是等腰梯形,则有: BE=t,OF=2t,BF=8-2t…………………………5分 ∵BC∥OA ∴∠EBF=∠DOF, 又∵∠BFE=∠OFD ∴△BEF ∽△ODF ∴ 即 ∴ OD= ……………………6分 过点E作EH⊥OA,垂足为点H,根据题意,得,EH=BG,HG=BE=t 又∵ ED=AB ∴Rt△EDH≌Rt△BAG ∴DH=AG 在Rt△ABG中,BG=4.8,AB=6 ∴AG= =3.6, ∵OD+DH+HG+AG=10 ∴ ,………………7分 解之得: . 经检验: 是原方程的解. ……………8分 又∵ ,所以当点E运动到 秒时,四边形ABED是等腰梯形. …9分 (3) 点E、F会同时在某个反比例函数的图象上. …………10分 当t = 时,E、F同时在某个反比例函数的图象上.…12分 提示:过F作FK⊥OA, 则F(1.6t,1.2t),E(6.4-t,4.8) 动点E、F同时在某个反比例函数的 图象上,则有 . 20100818154506734374 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 解决问题 2010-08-18 23. (2010 甘肃省天水市) 如图, 是 的直径,点C在圆上, ,则图中与 相似的三角形个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个  D.4个 答案:D 20100818153158890459 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-08-18 24. (2010 青海省西宁市) 如图,在△ 中,AD⊥BC,垂足为D. (1) 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):作△ 的外接圆⊙O,作直径AE,连接BE. (2) 若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.(证明△ ∽△ .) 答案:解:(1)正确作出△ 的外接圆⊙O ………………………………………3分(图略) 正确作出直径AE……………………………………………………4分(图略) (2)证明:由作图可知AE为⊙O的直径 ∴∠ABE=90°(直径所对的圆周角是直角) ∵AD⊥BC ∴∠ADC=90° ∴∠ABE=∠ADC ∵ = ∴∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ……………………………8分 20100818151800484532 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 基本技能 2010-08-18 25. (2010 广西梧州市) 如图,在 ABCD中,E是对角线BD上的点,且EF∥AB,DE︰EB=2︰3,EF=4,则CD的长为 答案:10 20100818135900156946 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 双基简单应用 2010-09-12 26. (2010 浙江省宁波市) 如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点 D的坐标为 (0, ),点B在 轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直 线 与 轴交于点F,与射线DC交于点G. (1)求∠DCB的度数; (2)当点F的坐标为(-4,0)时,求点G的坐标; (3)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF’,记直线EF’与射线DC的交点为H. ①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为 ,请直接写出点F的坐标. 答案:解:(1) 在Rt△AOD中, ∵tan∠DAO= , ∴ ∠DAB=60°. …………………………………………………2分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DCB=∠DAB=60°……………………………………………3分 (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD∥AB ∴∠DGE=∠AFE 又∵∠DEG=∠AEF,DE=AE ∴△DEG≌△AEF ………………………………………………4分 ∴DG=AF ∵AF=OF-OA=4-2=2 ∴DG=2 ∴点G的坐标为(2, )……………………………………6分 (3)①∵CD∥AB ∴∠DGE=∠OFE ∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’ ∴∠OFE=∠OF’E…………………………………………7分 ∴∠DGE=∠OF’E 在Rt△AOD中,∵E是AD的中点 ∴OE= AD=AE 又∵∠EAO=60° ∴∠EOA=60°, ∠AEO=60° 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ∴∠EOF’=∠OEA ∴AD∥OF’ ……………………………………………………8分 ∴∠OF′E=∠DEH ∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG ∴△DHE∽△DEG……………………………………………9分 ②点F的坐标是F1( ,0),F2( ,0). ……12分 (给出一个得2分) 对于此小题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求. 过点E作EM⊥直线CD于点M, ∵CD∥AB ∴∠EDM=∠DAB=60° ∴ ∵ ∴ ∵△DHE∽△DEG ∴ 即 当点 在点 的右侧时,设 ,       ∴ 解得: (舍)   ∵△DEG≌△AEF ∴AF=DG= ∵OF=AO+AF= ∴点F的坐标为( ,0) 当点 在点 的左侧时,设 ,      ∴   解得: (舍)   ∵△DEG≌△AEF ∴AF=DG= ∵OF=AO+AF= ∴点F的坐标为( ,0) 综上可知, 点F的坐标有两个,分别是F1( ,0),F2( ,0). 20100818134845154180 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 数学思考 2010-08-18 27. (2010 宁夏回族自治区) 已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M. (1)求证:△ABF≌△DAE; (2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线). 答案:(1)证明:在正方形ABCD中: AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC= ∵CE=DF ∴AD-DF=CD-CE 即:AF=DE 在△ABF与△DAE中 ∴△ABF≌△DAE(SAS)----------------------------------------------------------------------------3分 (2)与△ABM相似的三角形有:△FAM; △FBA; △EAD----------------------------------6分 20100818103329625956 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 数学思考 2010-08-25 28. (2010 湖南省益阳市) 我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等. 一条直线l与方形环的边线有四个交点 、 、 、 .小明在探究线段 与 的数量关系时,从点 、 分别向对边作垂线段 、 ,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题: ⑴当直线l与方形环的对边相交时(如图 ),直线l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ,小明发现 与 相等,请你帮他说明理由; ⑵当直线l与方形环的邻边相交时(如图 ),l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ,l与 的夹角为 ,你认为 与 还相等吗?若相等,说明理由;若不相等,求出 的值(用含 的三角函数表示). 答案:⑴解: 在方形环中, ∵ ∥ ∴ ∴△ ≌△ ∴          ……………………………5分 ⑵解法一:∵    ∴ ∽ ……………………………8分 ∴ ∵ ∴ (或 )………………………10分 ①当 时,tan =1,则 ②当 时, 则 (或 )……………………………12分 解法二:在方形环中, 又∵ ∴ ∥ ∴ 在 与 中, 即 (或 ) ……………………………10分 ①当 时, ②当 时, 则 (或 )     ……………………………12分 20100818091601953443 4.2 相似三角形的判定和性质 说理题 解决问题 2010-08-18 29. (2010 广西柳州市) 如图, 是 的直径,弦 , 是弦 的中点, .若动点 以 的速度从 点出发沿着 方向运动,设运动时间为 ,连结 ,当 值为     时, 是直角三角形. 答案:1或 或 20100817172941406521 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 解决问题 2010-08-18 30. (2010 江苏省苏州市) 如图,在 中, 两点分别在 边上.若 则 的长度是( ) A.4 B. 5 C. 6 D. 7 答案:A 20100817171025250294 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-09-04 31. (2010 湖南省湘西市) 如图,△ 中,DE∥BC, , , 则 边的长是 A.6cm B.4cm C.8cm   D.7cm 答案:A 20100817163745984949 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-08-17 32. (2010 内蒙古呼和浩特市) 如图,等边 的边长为12cm,点D、E分别在边AB、AC上,且 cm,若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为 秒,当 时,直线 与过点 且平行于 的直线相交于点 , 的延长线与 的延长线相交于点 , 与 相交于点 . (1)设 的面积为S(cm ),求S与t的函数关系式; (2)在点F运动过程中,试猜想 的面积是否改变.若不变,求其值;若改变,请说明理由. (3)请直接写出 为何值时,点 和点 是线段 的三等分点. 答案:解:(1)作 ,垂足为M ∵等边 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 1分 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 3分 (2)猜想:不变. 4分 ∵ ∴ , ∴ ∵ ∴ ∴ . 5分 情况①: 时, ∵ ∴ 即: 6分 情况②: 时,有 7分 情况③: 时 ∵ ∴ 即: ∴ 综上所述,当点F在运动过程中, 的面积为 8分 (3) 或 10分 (每种情况各1分) 20100817163633781899 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 数学思考 2010-09-12 33. (2010 浙江省嘉兴市) 如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE,连结AE交CD于M,连结BD交CE于N.给出以下三个结论: ① ; ② ; ③ . 其中正确结论的个数是(   ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 答案:D 20100817155934203458 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 数学思考 2010-08-25 34. (2010 浙江省嘉兴市) 如图,已知AD为△ABC的角平分线, 交AC于E,如果 ,那么 (   ) (A) (B) (C) (D) 答案:B 20100817154725406153 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-08-25 35. (2010 江苏省宿迁市) 如图, 是⊙O的直径, 为 延长线上的任意一点, 为半圆 的 中点, 切⊙O于点 ,连结 交 于点 . 求证:(1) ; (2) . 答案:证明:(1)连接OC、OD………………1分 ∴OD⊥PD ,OC⊥AB ∴∠PDE= —∠ODE, ∠PED=∠CEO= —∠C 又∵∠C=∠ODE ∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ∴PE=PD …………………………………………5分 (2) 连接AD、BD ………………………………………6分 ∴∠ADB= ∵∠BDP= —∠ODB,∠A= —∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ∴ PDB∽ PAD ………………………………………………8分 ∴ ∴ ∴ …………………………………………………10分 20100817150421031036 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 数学思考 2010-09-12 36. (2010 广西贺州市) 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB. (1) 求证:△ADE∽△EFC ; (2) 如果AB=6,AD=4,求 的值. 答案:(1)∵DE∥BC,EF∥AB ∴∠1=∠C, ∠A=∠2. ……………………2分 ∴△ADE∽△EFC ………………3分 (2) ∵AB∥EF ,DE∥BC, ∴四边形BDEF为平行四边形。 ∴BD=EF ………………………………4分 ∵AB=6,AD=4。∴EF=BD=AB-AD=6-4=2 …………5分 ∴ …………6分 (注:用其它方法证明正确的均给予相应的分值。) 20100817143414281369 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-08-17 37. (2010 湖北省黄石市) 如图,直角梯形 中, 则 的长为( ) A.     B.2    C.3    D.2 答案:C 20100817110723828509 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-09-12 38. (2010 重庆市) 已知△ 与△ 相似且对应中线的比为 ,则△ 与△ 的周长比为 . 答案:2∶3 20100817105514078896 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2010-09-12 39. (2010 浙江省杭州市) 如图,AB = 3AC,BD = 3AE,又BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上. (1) 求证:△ABD∽△CAE; (2) 如果AC =BD,AD = BD,设BD = a,求BC的长. 答案:(1) ∵ BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上, ∴ ?DBA = ?CAE, 又∵ , ∴ △ABD∽△CAE. ………………………………4分 (2) ∵AB = 3AC = 3BD,AD =2 BD , ∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2, ∴?D =90°, 由(1)得 ?E =?D = 90°, ∵ AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD , ∴在Rt△BCE中,BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 , ∴ BC = a ………………………………………… ……….6分 20100817102010390830 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 数学思考 2010-08-17 40. (2010 湖南省郴州市) 如图,已知?ABC中, , ,D是AB上一动点,DE∥BC,交AC于E,将四边形BDEC沿DE向上翻折,得四边形 , 与AB、AC分别交于点M、N. (1)证明:?ADE ; (2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式. 当x为何值时y有最大值? 答案:(1)证明: 因为DE∥BC,所以 , 所以?ADE . …………………..2分 (2)因为 ,?ADE ,相似比为 , 所以 ,所以 …………………..4分 因为 所以 所以 又 ,所以 所以 . …………………..6分 同理, , 所以 . …..8分 配方得 所以当 时,y有最大值. …………………..10分 20100817093824812986 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 解决问题 2010-09-12 41. (2010 广西桂林市) 如图,已知△ADE与△ABC的相似比为1:2,则△ADE 与△ABC的面积比为( ) A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 4:1 答案:B 20100816165144031642 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基本技能 2010-08-16 42. (2010 上海市) 如图, △ 中, .半径长为1的圆 与边 交于点 、与边 交于点 ,联结 并延长,与线段 的延长线交于点 . (1) 当 时,联结 ,若△ 与△ 相似,求 的长; (2) 若 , ,求 的正切值; (3) 若 ,设 ,△ 的周长为 ,求 关于 的函数解析式. 答案:解:(1) 当 时,易得△ 是等边三角形. ∴ , .∴ . ∵△ 与△ 相似,∴ . 在 △ 中, . (2) 在 △ 中,∵ , , ∴ ,得 . ∴ . (方法一) 过点 作 ,交线段 于点 . 得 , .   ∴ . ∴ .又∵ ,∴ .∴ . (1分) (方法二) 过点 作 ,交线段 延长线于点 .  得 , . ∴ .  又∵ ,∴ .   (3) (方法一) 过点 作 ,交线段 于点 ,易得 . 在 △ 中, , 即 ,得 . 又由于 ,即 ,得 . ∴ . ∴ , 所求的函数解析式为 . (方法二) 过点 作 ,交线段 延长线于点 . 易得 , , . 在 △ 中, , 即 ,得 . ∴ , . ∴ , 所求的函数解析式为 . 20100816141906421710 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 数学思考 2010-09-12 43. (2010 山东省烟台市) 如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( ) A.AB2=BC?BD B.AB2=AC?BD C.AB?AD=BD?BC D.AB?AD=AD?CD 答案:A 20100816135811156005 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-08-16 44. (2010 重庆市江津区) 如图,在Rt△ABC 中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ 绕点 顺时针旋转90 后,得到△ ,连接 .下列结论中正确的个数有( ) ① ②△ ∽△ ③ 平分 ④ A.1个  B.2个  C.3个   D.4个 答案:C 20100816135745656669 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-09-12 45. (2010 山东省威海市) 如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1. ﹙1﹚将△ABC,△A1B1C1如图②摆放,使点A1与B重合,点B1在AC边的延长线上,连接CC1交BB1于点E.求证:∠B1C1C=∠B1BC. ﹙2﹚若将△ABC,△A1B1C1如图③摆放,使点B1与B重合,点A1在AC边的延长线上,连接CC1交A1B于点F.试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等,并说明理由. ﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 . 答案:(1)证明:由题意,知△ABC≌△A1B1C1, ∴ AB= A1B1,BC1=AC,∠2=∠7,∠A=∠1. ∴ ∠3=∠A=∠1. ………………………………1分 ∴ BC1∥AC. ∴ 四边形ABC1C是平行四边形. ………………2分 ∴ AB∥CC1. ∴ ∠4=∠7=∠2. …………………………………3分 ∵ ∠5=∠6, ∴ ∠B1C1C=∠B1BC.……………………………4分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC. …………………………5分 理由如下:由题意,知△ABC≌△A1B1C1, ∴ AB= A1B1,BC1=BC,∠1=∠8,∠A=∠2. ∴ ∠3=∠A,∠4=∠7. ………………………6分 ∵ ∠1+∠FBC=∠8+∠FBC, ∴ ∠C1BC=∠A1BA. …………………………7分 ∵ ∠4= (180°-∠C1BC),∠A= (180°-∠A1BA). ∴ ∠4=∠A. …………………………………8分 ∴ ∠4=∠2. ∵ ∠5=∠6, ∴ ∠A1C1C=∠A1BC.……………………………………………………………………9分 ﹙3﹚△C1FB,…………10分; △A1C1B,△ACB.…………11分﹙写对一个不得分﹚ 20100816114438265154 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 46. (2010 山东省泰安市) 如图, 是等腰三角形, ,以 为直径的 与 交于点 , ,垂足为 , 的延长线与 的延长线交于点 . (1)求证: 是 的切线; (2)若 的半径为2, ,求 的值. 答案:(1)证明:连接AD、OD. ∵AC是直径, ∴ . 2分 ∵ , ∴ 是 的中点. 又∵ 是 的中点, ∴ . 4分 ∵ , ∴ . ∴ 是 的切线. 6分 (2)由(1)知 , ∴ , 8分 ∴ , ∴ . 解得 . ∴ ∴ . 10分 20100816105339640942 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 数学思考 2010-09-12 47. (2010 山东省泰安市) 如图,在 中,D是BC边上一点,E是AC边上一点,且满足 . (1)求证: ; (2)求证: . 答案:证明:(1)在 和 中, ∵ , , ∴ , . ∴ . 2分 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 4分 (2)在 和 中, 由(1)知 , , ∴ 5分 ∴ 即 7分 又 , ∴ . 8分 20100816105043890820 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-08-16 48. (2010 上海市) 如图,△ 中,点 在边 上,满足 , 若 , ,则 . 答案: 20100816103549359502 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 双基简单应用 2010-08-16 49. (2010 山东省日照市) 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于E,交BC于D.求证: (1)D是BC的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)BC2=2AB?CE. 答案:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° , 即AD是底边BC上的高. ………………………………………1分 又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形, ∴D是BC的中点;………… ……………………………………………3分 (2) 证明:∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角, ∴ ∠CBE=∠CAD.…………………………………………………5分 又∵ ∠BCE=∠ACD, ∴△BEC∽△ADC;…………………………………………………6分 (3)证明:由△BEC∽△ADC,∴ , 即CD?BC=AC?CE. …………………………………………………8分 ∵D是BC的中点,∴CD= BC. ∴CD?BC= BC . 又 ∵AB=AC,∴AC?CE=AB?CE. ∴ BC =AB?CE, 即BC =2AB?CE.……………………………………………………10分 20100816101515734484 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 解决问题 2010-09-08 50. (2010 上海市) 下列命题中,是真命题的为( ) (A) 锐角三角形都相似;   (B) 直角三角形都相似; (C) 等腰三角形都相似; (D) 等边三角形都相似. 答案:D 20100816100201515118 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-08-16 51. (2010 山东省临沂市) 如图,∠1=∠2,添加一个条件使得△ADE∽△ACB___________. 答案: (本小题答案不唯一,填出一个即得满分) 20100816080017312819 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 双基简单应用 2010-08-16 52. (2010 云南省昭通市) 如果两个相似三角形的一组对应边分别为 和 ,且较小三角形的周长为 ,则较大三角形的周长为__________ . 答案: 20100814172459531330 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2010-09-12 53. (2010 山西省) 如图, 中, 是 的中点,过点 作 于点 则 的长是_________. 答案: 20100814161108656672 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 数学思考 2010-08-25 54. (2010 辽宁省沈阳市) 如图,在等边 中, 为 边上一点, 为 边上一点,且 则 的边长为( ) A. 9   B. 12   C. 15   D. 18 答案:A 20100814160334359334 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-08-25 55. (2010 山东省济南市) 已知:△ABC是任意三角形. ⑴如图1所示,点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点.求证:∠MPN=∠A. ⑵如图2所示,点M、N分别在边AB、AC上,且 , ,点P1、P2是边BC的三等分点,你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确?请说明你的理由. ⑶如图3所示,点M、N分别在边AB、AC上,且 , ,点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点,则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________. (请直接将该小问的答案写在横线上.) 答案:⑴证明:∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点, ∴线段MP、PN是△ABC的中位线, ∴MP∥AN,PN∥AM, 1分 ∴四边形AMPN是平行四边形, 2分 ∴∠MPN=∠A. 3分 ⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正确. 4分 如图所示,连接MN, 5分 ∵ ,∠A=∠A, ∴△AMN∽△ABC, ∴∠AMN=∠B, , ∴MN∥BC,MN= BC, 6分 ∵点P1、P2是边BC的三等分点, ∴MN与BP1平行且相等,MN与P1P2平行且相等,MN与P2C平行且相等, ∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形, ∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC, 7分 ∴∠MP1N=∠1,∠MP2N=∠2,∠BMP2=∠A, ∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A. 8分 ⑶∠A. 9分 20100814134925812022 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-09-12 56. (2010 河南省) 如图, 中, 分别是 的中点,则下列结论: ; ; . 其中正确的有(  ) (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个 答案:A 20100814110948125680 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-09-04 57. (2010 河北省) 在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1 = ∠2 = 45°. (1)如图15-1,若AO = OB,请写出AO与BD 的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB. 求证:AC = BD,AC ⊥ BD; (3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3,求 的值. 答案:解:(1)AO = BD,AO⊥BD; (2)证明:如图,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO = ∠BEO. 又∵AO = OB,∠AOC = ∠BOE, ∴△AOC ≌ △BOE.∴AC = BE. 又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°. ∴∠DEB = 45°. ∵∠2 = 45°,∴BE = BD,∠EBD = 90°. ∴AC = BD. 延长AC交DB的延长线于F,如图4.∵BE∥AC,∴∠AFD = 90°. ∴AC⊥BD. (3)如图,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO = ∠ACO. 又∵∠BOE = ∠AOC , ∴△BOE ∽ △AOC. ∴ . 又∵OB = kAO, 由(2)的方法易得 BE = BD. ∴ . 20100814105031375589 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 58. (2010 广东省肇庆市) 如图, AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P, CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP 、AF. 求证: (1)AF∥BE; (2)△ACP∽△FCA; (3)CP=AE. 答案:(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP ,∴ ∠B =∠F (1分) ∵BO=PO,∴∠B =∠B PO (2分) ∴∠F=∠B P F,∴AF∥BE (3分) (2)∵AC切⊙O于点A,AB是⊙O的直径, ∴ ∠BAC=90° ∵ AB是⊙O的直径, ∴ ∠B PA=90° (4分) ∴∠EA P =90°—∠BE A,∠B=90°—∠BE A, ∴∠EA P =∠B=∠F (5分) 又∠C=∠C,∴△ACP∽△FCA (6分) (3)∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P, ∠C=∠C ∴△P C E ∽△ACP ∴ (7分) ∵∠EA P=∠B,∠E P A =∠A P B =90° ∴△EA P ∽△A B P ∴ (8分) 又AC=AB,∴ (9分) 于是有 ∴CP=AE. (10分) 20100814103316359135 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-09-12 59. (2010 广东省肇庆市) 如图,已知∠ACB = 90°,AC=BC,B E⊥C E于E,AD⊥C E于D,C E与AB相交于F. (1)求证:△CEB≌△ADC; (2)若AD = 9cm,D E = 6cm,求B E及EF的长. 答案:证明:(1)∵B E⊥C E于E,AD⊥C E于D, ∴∠E=∠ADC=90°(1分) ∠BCE=90°— ∠ACD,∠CAD=90°?∠ACD, ∴∠BCE=∠CAD (3分) 在△BCE与△CAD 中, ∠E=∠ADC,∠BCE=∠CAD, BC = AC ∴△C E B≌△AD C (4分) (2)∵△C E B≌△AD C ∴ B E= D C, C E= AD 又AD=9 ∴C E= AD=9,D C= C E — D E= 9—6 = 3,∴B E= DC = 3(cm) (5分) ∵∠E=∠ADF=90°,∠B FE=∠AFD,∴△B FE∽△AFD (6分) ∴ 即有 (7分) 解得:EF= (cm) (8分) 20100814102008843512 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 双基简单应用 2010-08-25 60. (2010 辽宁省大连市) 如图,在△ 中, =5, 6,动点 从点 出发沿 向点 移动,(点 与点 不重合),作 交 于点 ,在 上取点 ,以 为邻边作 ,使点 到 的距离 ,连接 ,设 (1)△ 的面积等于 (2)设△ 的面积为 ,求 与 的函数关系,并求 的最大值; (3)当 时,求 的值 答案:解:(1)12 1分 (2)作 于 ,分别交 于点 , 四边形 是矩形 2分 得 3分 4分 5分 = = = 6分 ,当 时, 7分 (3)延长 交 于 由(2)知四边形 和四边形 均为矩形 由 ,得 由(2)知 ,得 8分 四边形 是平行四边形 9分 在 中, ,即 10分 (舍去) 11分 20100814101951140963 4.2 相似三角形的判定和性质 动态几何 数学思考 2010-09-12 61. (2010 辽宁省大连市) 如图1, = , ,垂足为 ,点 在 上, 交 于点 , 交 于点 ,若 = , ,探索线段 与 的数量关系,并证明你的结论 说明:如果你反复探索没有解决问题,可以选取(1)或(2)中的条件,选(1)中的条件完成解答满分为7分;选(2)中的条件完成解答满分为5分. (1) =1(如图2) (2) =1, =1(如图3) 答案:结论: 1分 证明:作 于 , 于 . 四边形 为矩形 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 即 10分 选择(1)结论: 1分 证明:作 于 , 于 . 四边形 为矩形 2分 3分 4分 5分 6分 即 7分 选择(2)结论: 1分 证明:作 于 , 于 . 四边形 为矩形 2分 3分 4分 5分 20100814101118703501 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 数学思考 2010-09-12 62. (2010 海南省) 如图, 在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与△BOC一定相似的是 A.△ABD B.△DOA C.△ACD D.△ABO 答案:B 20100814081641593302 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 双基简单应用 2010-09-07 63. (2010 福建省厦门市) 设 的面积是 , 的面积为 ( ),当 ,且 时,则称 与 有一定的“全等度”,如图,已知梯形 , ∥ , °,∠ °,连结 . (1)若 ,求证: 与 有一定的“全等度”; (2)你认为:“ 与 有一定的‘全等度’”正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请举出一个反例说明. 答案:(1)证明: 1分 2分 过点 作 于点E. 3分 在Rt 中, 4分 5分 有一定的“全等度”. 6分 (2)解: 有一定的“全等度”不正确. 7分 反例:若 ,则 不具有一定的“全等度”. 8分 都是钝角三角形,且两钝角不相等. 不相似 9分 若 ,则 不具有一定的“全等度”. 10分 20100813172817390898 4.2 相似三角形的判定和性质 说理题 数学思考 2010-08-13 64. (2010 吉林省吉林市) 如图,在 中, , 是 上一点, 于点 ,若 =8, , ,则 的长为(  ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 答案:C 20100813171336078077 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2010-08-25 65. (2010 广东省佛山市) 一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法. 请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题: 如图,在△ABC中,∠ACB ∠ABC. (1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数. 答案:(1) (ⅰ) 如图,若点D在线段AB上, 由于∠ACB ∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD =∠ABC, 使得△ACD∽△ABC. 2分 (ⅱ) 如图①,若点D在线段AB的延长线上, 则∠ACD ∠ACB ∠ABC,与条件矛盾. 因此,这样的点D不存在. 4分 (ⅲ) 如图②,若点D在线段AB的反向延长线上, 由于∠BAC是锐角,则∠BAC ∠CAD, 不可能有△ACD∽△ABC. 因此,这样的点D不存在. 7分 综上所述,这样的点D有一个. 8分 注:(ⅲ)中用“∠CAD是钝角,△ABC中只可能∠ACB是钝角, 而∠CAD ∠ACB”说明不存在点D亦可. (2) 若∠BAC为锐角,由(1)知,这样的点D有一个; 8分 若∠BAC为直角,这样的点D有两个; 10分 若∠BAC为钝角,这样的点D有一个. 11分 注:(2)的第一个解答不写不扣分,第二个解答回答“这样的点D有一个”给1分. 20100813144017312718 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-08-14 66. (2010 山东省滨州市) 如图,在 . (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线); (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 答案: 2分 即 4分 又 5分 ②证 7分 8分 20100813142441203003 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-08-13 67. (2010 云南省楚雄州市) 已知:如图,⊙A与 轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为 ,过点C作⊙A的切线交 轴于点B(-4,0). (1)求切线BC的解析式; (2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标; (3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在 轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)如图1所示,连接AC,则AC= 在Rt△AOC中,AC= ,OA=1 ,则OC=2 ∴点C的坐标为(0,2) 设切线BC的解析式为 ,它过点C(0,2),B(?4,0),则有 解之得 ∴ ………………………………………………4分 (2)如图1所示,设点G的坐标为(a,c),过点G作GH⊥ 轴,垂足为H点,则OH=a, GH=c= a + 2 ………………………………………………5分 连接AP, AG 因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL) 所以∠AGC= ×1200=600 在Rt△ACG中 ,∠AGC= 600,AC= ∴Sin600= ∴AG = …………………6分 在Rt△AGH中, AH=OH-OA=a-1 ,GH= a+ 2 + = ∴ + = 解之得: = , = ? (舍去) ……………………………………7分点G的坐标为( , + 2 ) ………………………………………8分 (3) 如图2所示,在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形. ………………9分 要使△AEF为直角三角形 AE=AF ∴∠AEF=∠AFE 900 ∴只能是∠EAF=900 当圆心A在点B的右侧时,过点A作 AM⊥BC,垂足为点M. 在Rt△AEF中 ,AE=AF= , 则EF= , AM= EF= 在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2 ∠BOC= ∠BMA=900 ,∠OBC= ∠OBM ∴△BOC∽△BMA ∴ = ∴AB= ∴OA=OB-AB=4- ∴点A的坐标为(-4+ ,0) ……………………………………11分 当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,过点A′作A′M′⊥BC于点M′,可得 △A′M′B≌△AMB A′B=AB= ∴O A′=OB+ A′B =4 + ∴点A′的坐标为(-4- ,0) 综上所述,点A的坐标为(-4+ ,0)或(-4- ,0) …13分 20100813113946609345 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 68. (2010 吉林省长春市) 如图, 中, ,延长 至 ,使 .点 在边 上,以 为邻边作 .过点 作 交 于点 ,连接 . (1) 与 有怎样的数量关系?请说明理由.(3分) (2)求证: .(4分) 答案:(1)解: , 理由如下: (3分) (2)证明: 四边形 是平行四边形, (7分) 20100813113358109475 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 双基简单应用 2010-09-12 69. (2010 吉林省长春市) 如图,四边形 与四边形 都是矩形,顶点 在 的延长线上,边 与 交于点 , , , ,求 的长. 答案:解: 四边形 和四边形 为矩形, . . . 在 中, , . . (4分) . . (6分) 20100813112909937616 4.2 相似三角形的判定和性质 计算题 解决问题 2010-09-12 70. (2010 福建省莆田市) 如图1,在Rt 中, 点D在边AB上运动,DE平分 交边BC于点E, 垂足为 ,垂足为N. (1)当AD=CD时,求证: ; (2)探究:AD为何值时, 与 相似? (3)探究:AD为何值时,四边形MEND与 的面积相等? 答案:(1)证明: 1分 又∵DE是∠BDC的平分线 ∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC=∠BDE 2分 ∴DE∥AC 3分 (2)解:(Ⅰ)当 时,得 ∴BD=DC ∵DE平分∠BDC ∴DE⊥BC,BE=EC. 又∠ACB=90° ∴DE∥AC. 4分 ∴ 即 ∴AD=5 5分 (Ⅱ)当 时,得 ∴EN∥BD 又∵EN⊥CD ∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高 6分 由三角形面积公式得AB?CD=AC?BC ∴CD= ∴ 7分 综上,当AD=5或 时,△BME与△CNE相似. (3)由角平分线性质易得 即 8分 ∴EM是BD的垂直平分线. ∴∠EDB=∠DBE ∵∠EDB=∠CDE ∴∠DBE=∠CDE 又∵∠DCE=∠BCD ∴ 9分 10分 即 11分 由 式得 12分 20100813111635343070 4.2 相似三角形的判定和性质 猜想、探究题 解决问题 2010-09-12 71. (2010 北京市) 如图,在△ 中,点 分别在 边上, ∥ ,若 , ,则 等于 A. B. C. D. 答案:D 20100813084041546258 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基本技能 2010-08-13 72. (2010 安徽省芜湖市) 如图,直角梯形 中, ,点 在 上,点 在 上, . (1)求证: ; (2)当 =8, =6,点 、 分别是 、 的中点时,求直角梯形 的面积. (1)证明: (2)解: 答案:证明:(1)在梯形 中, . , . 3分 解:(2)由(1)知: . . 5分 又 . . 7分 . 8分 20100812145712468871 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 解决问题 2010-09-12 73. (2010 天津市) 如图,等边三角形 中, 、 分别为 、 边上的点, , 与 交于点 , 于点 , 则 的值为 . 答案: 20100812143532187424 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基本技能 2010-08-12 74. (2010 陕西省) 如图,在 中, 是 边上一点,连接 .要使 与 相似,应添加的条件是______________.(只需写出一个条件即可) 答案: 20100812111822359491 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 双基简单应用 2010-08-12 75. (2010 安徽省) 如图,已知 ,相似比为k(k>1),且 的三边长分别为a、b、c(a>b>c), 的三边长分别为 、 、 . (1)若c=a1,求证:a=kc; [证] (2)若c=a1,试给出符合条件的一对 ,使得a、b、c和 、 、 都是正整数,并加以说明; [解] (3)若b=a1,c=b1,是否存在 使得k=2?请说明理由. [解] 答案:(1)证: ,且相似比为 又 (3分) (2)解:取 (8分) 此时 且 (10分) 注:本题也是开放型的,只要给出的 和 符合要求就相应赋分. (3)解:不存在这样的 和 .理由如下: 若 则 又 , (12分) ,而 故不存在这样的 和 ,使得 (14分) 注:本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,只要能说明在题设要求下 的情况不可能即可. 20100812111325812555 4.2 相似三角形的判定和性质 说理题 解决问题 2010-09-12

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