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关键字:.4利用相似解决实际问题(2011年

1. (2011 江苏省连云港市) 某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究,他们发现如下结论: (1)有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比; (2)有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比; … 现请你继续对下面问题进行探究,探究过程可直接应用上述结论.( 表示面积) 问题1:如图1,现有一块三角形纸板 , , 三等分边 , , 三等分边 .经探究知 ,请证明. 答案:解:问题1:方法1:由结论(2),可知S S =AP1?AR1AP2?AR2 =14 . 同理可得 =19 , =49 . ∴ =4-19 S△ABC ,即 =13 S△ABC . 方法2:∵P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分边AC, ∴P1R1∥P2R2∥BC. ∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC,且面积比为1:4:9. ∴ =4-19 S△ABC ,即 =13 S△ABC . 问题2:连接Q1R1,Q2R2,如图,由问题1的结论,可知 =13 S△ABC , =13 S△ACD. ∴ + =13 S四边形ABCD. 由P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分边AC,Q1,Q2三等分边DC, 可得P1R1:P2R2=Q2R2:Q1R1=1:2,且P1R1∥P2R2,Q2R2∥Q1R1. ∴∠P1R1A=∠P2R2A,∠Q1R1A=∠Q2R2A.∴∠P1R1Q1=∠P2R2 Q2. 由结论(2),可知 = . ∴ = + =13 S四边形ABCD. 问题3:设 = , = ,设 = , 由问题2的结论,可知 =13 , =13 . ∴ =13 (S四边形ABCD+ )=13 (1+ ). 又∵ ,即 . 整理得 ,即 = . 问题4:S1+S4=S2+S3. 20110826103256046191 4.4 利用相似解决实际问题 猜想、探究题 数学思考 2011-08-26 2. (2011 浙江省杭州市) 图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为 , ,△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形. (1)求蝶形面积S的最大值; (2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求 与 满足的关系式,并求 的取值范围. 答案:解:(1)由题意,得四边形 是菱形. 由 ,得 , ,即 所以当 时, . (2)根据题意,得 . 如图,作 于 , 关于 对称线段为 , 1)当点 不重合时,则 在 的两侧,易知 . , 由 ,得 ,即 ,此时 的取值范围为 且 2)当点 重合时,则 ,此时 的取值范围为 . 20110825102027218671 4.4 利用相似解决实际问题 信息迁移 解决问题 2011-08-25 3. (2011 天津市) 在平面直角坐标系中,已知 为坐标原点,点 .以点 为旋转中心,把 顺时针旋转,得 .记旋转角为 为 . (Ⅰ)如图①,当旋转后点 恰好落在 边上时,求点 的坐标; (Ⅱ)如图②,当旋转后满足 轴时,求 与 之间的数量关系; (Ⅲ)当旋转后满足 时,求直线 的解析式(直接写出结果即可). 答案:解:(Ⅰ) 点 ,得 , 在 中,由勾股定理,得 . 根据题意,有 . 如图 ,过点 作 轴于点 , 则 , .有 , 得 . 又 ,得 . 点 的坐标为 . (Ⅱ)如图 ,由已知,得 . . 在 中,由 , 得 . 又 轴,得 , 有 , . (Ⅲ)直线 的解析式为 或 . 20110822152558328188 4.4 利用相似解决实际问题 动态几何 基础知识 2011-08-22 4. (2011 四川省绵阳市) 已知 是等腰直角三角形, 是腰 上的一个动点,过 作 垂直于 或 的延长线,垂足为 ,如图1. (1)若 是 的中线,如图2,求 的值; (2)若 是 的角平分线,如图3,求 的值; (3)结合(1)、(2),请你推断 的值的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究 的值能小于 吗?若能,求出满足条件的 点的位置;若不能,请说明理由. 答案:解:(1)∵ , ∴ . ∴ . 由 是中点,且 ,知 , 于是 . ∴在 中, ; 在 中,由 ,有 ,于是 . ∵ , ∴ . (2)如图1,延长 相交于点 . ∵ 是 的平分线,且 , ∴ . ∴ ,于是 . 又∵ , 且 , ∴ . ∵ , ∴ . ∴ ,即 . ∴ . (3) 的值的取值范围为 . 显然当 与 重合时, 且随 从 向 移动时, 逐渐增大,而 逐渐减小, ∴ 的值是随着 从 向 移动而逐渐增大. 设 是 上的点且满足 ,如图2. 设 ,则 , 于是 . ∴ 又由 知 , ∴ ,即 ∴ , 代入得 , 整理得 , 解得 (舍去),或 . 即 点位于 上且 处. 综上,当 点在线段 (不含端点 )上移动时 小于 . 20110822140550250551 4.4 利用相似解决实际问题 阅读理解与信息迁移 解决问题 2011-08-22 5. (2011 四川省泸州市) 如图,点 为等边 外接圆周劣弧 上的一点. (1)求 的度数; (2)求证: ; (3)设 交于点 ,若 ,求 的长度. 答案:解:(1) 为等边三角形, , 又 , . (2)延长 至 ,使 ,连接 . , 是等边三角形, , , , (A.A.S), . (3)过 点作 ,交 的延长线于 点. 在 中, ,设 , 则 , 在 中, , , , . , 设 ,则 , , ,即 . 20110822110245453081 4.4 利用相似解决实际问题 复合题 双基简单应用 2011-08-22 6. (2011 广西柳州市) 如图,要测量的 、 两点被池塘隔开,李师傅在 外任选一点 ,连接 和 ,分别取 和 的中点 、 ,量得 、 两点间的距离等于23米,则 、 两点间的距离为_____________米. 答案:46 20110822105744890904 4.4 利用相似解决实际问题 填空题 双基简单应用 2011-08-22 7. (2011 四川省乐山市) 如图,在正方形 中, 分别是边 的中点, 交 于点 , 交 于点 .下列结论: ; ;③ ;④ .其中正确的序号是(  ) A.①②③  B.②③④  C.①③④  D.①②④ 答案:D   20110822082622234339 4.4 利用相似解决实际问题 选择题 解决问题 2011-08-22 8. (2011 四川省乐山市) 如图,直角三角板 的斜边 ,将三角板 绕点 顺时针旋转 至三角板 的位置后,再沿 方向向左平移,使点 落在原三角板 的斜边 上,则三角板 平移的距离为(  ) A.6cm  B.4cm  C.   D. 答案:C   20110822082622031405 4.4 利用相似解决实际问题 选择题 基础知识 2011-08-22 9. (2011 陕西省) 一天,某校数学课外活动小组的同学们,带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度,来评估这些深坑对河道的影响.如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象,测量方案如下: ①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米; ②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上,经过适当调整自己所处的位置,当他位于点 时,恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点 看到坑底 (甲同学的视线起点 与点 、点 三点共线).经测量: 米, =1.6米. 根据以上测量数据,求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高).( 取3.14,结果精确到0.1米) 答案:解: 取圆锥底面圆圆心 ,连接 则 “圆锥形坑”的深度约为7.3米. 20110820162606375395 4.4 利用相似解决实际问题 复合题 解决问题 2011-08-20 10. (2011 山东省烟台市) 已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r. (1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE?OP=r2 (2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由. 答案:(1)证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ. ∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°. ∴∠QFD+∠Q=90°. ∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°. ∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P. ∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF. ∴ .∴OE?OP=OF2=r2. (2)解:(1)中的结论成立. 理由:如图,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM. ∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°. ∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°. ∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E. ∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE. ∴ ,∴OE?OP=OF2=r2. 20110820084259093591 4.4 利用相似解决实际问题 证明题 解决问题 2011-08-20 11. (2011 山东省潍坊市) 如图, 是半圆 的直径, .射线 为半圆 的切线.在 上取 一点 ,连接 交半圆于点 ,连接 .过 点作 的垂线 ,垂足为点 ,与 相交于点 .过 点作半圆 的切线 ,切点为 ,与 相交于点 . (1)求证: ; (2)当 与 的面积相等时,求 的长; (3)求证:当 在 上移动时( 点除外),点 始终是线段 的中点. 答案:(1)证明: 为直径, 即 . 又 是半圆的切线,故 (2)由 得, 当 与 的面积相等时, 又 是半圆 的切线, 且 (3)由(2)知, 是半圆 的切线, 过 点作 的垂线 ,垂足为 ,在直角三角形 中, 为 的中点. 20110819160526687591 4.4 利用相似解决实际问题 证明题 解决问题 2011-08-19 12. (2011 山东省威海市) 在□ 中,点 为 的中点,连接 ,交 于点 ,则 =( ) A.1 2  B.1 3  C.2 3  D.2 5 答案:A 20110819153701765694 4.4 利用相似解决实际问题 选择题 双基简单应用 2011-08-19 13. (2011 山东省德州市) ●观察计算 当 , 时, 与 的大小关系是_________________. 当 , 时, 与 的大小关系是_________________. ●探究证明 如图所示, 为圆O的内接三角形, 为直径,过C作 于D,设 ,BD=b. (1)分别用 表示线段OC,CD?; (2)探求OC与CD表达式之间存在的关系 (用含a,b的式子表示). ●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明,你能得出 与 的大小关系是:_________________________. ●实践应用 要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用上面的结论,求出镜框周长的最小值. 答案:●观察计算: , . ●探究证明: (1) , ∴ . AB为⊙O直径, ∴ . , , ∴∠A=∠BCD. ∴△ ∽△ . ∴ . 即 , ∴ . (2)当 时, , ; 时, , . ●结论归纳: . ●实践应用 设长方形一边长为 米,则另一边长为 米,设镜框周长为l米,则 . 所以镜框周长的最小值为4 米. 20110819111643562106 4.4 利用相似解决实际问题 猜想、探究题 解决问题 2011-08-19 14. (2011 山东省济宁市) 如图,第一象限内半径为2的 与 轴相切于点 ,作直径 ,过点 作 的切线 交 轴于点 为直线 上一动点,已知直线 的解析式为: (1)设点 的纵坐标为 ,写出 随 变化的函数关系式; (2)设 与 交于点 ,与 交于点 ,则不论动点 处于直线 上(除点 以外)的什么位置时,都有 请你对于点 位于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使 的面积等于 的 值?若存在,请求出符合条件的 值;若不存在,请说明理由. 答案:解: (1)∵ 轴和直线 都是 的切线, ∴ , 又 , ∴ ∴四边形 是矩形. ∵ 的半径为2,∴ ∵点 在直线 上,∴点 的坐标为 又∵点 在直线 上,∴ (2)连接 ∵ 是 的直径,∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ (3)存在. 理由:把 带入 得 ,即 在 中,由勾股定理得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 当点 在 点上方时, ∵ 或 ∴ 整理得 解得 当点 在 点下方时, ∵ ∴ 化简,得 ,解得 综合以上所得,当 或 时, 的面积等于 . 20110819085433937369 4.4 利用相似解决实际问题 猜想、探究题 解决问题 2011-08-19 15. (2011 山东省菏泽市) 如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4, (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长; (3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由. 答案:解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D. 又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB. (2)∵△ABE∽△ADB, ∴ ,∴ ∴AB= . (3)直线FA与⊙O相切,理由如下: 连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°, ∴ ,BF=BO= . ∵AB= ,∴ ∴直线FA与⊙O相切. 20110818155746265881 4.4 利用相似解决实际问题 猜想、探究题 解决问题 2011-08-18 16. (2011 青海省西宁市) 已知:如图, 为 的直径, 交 与 , . (1)求证: ; (2)求 的长; (3)延长 到 ,使 ,连接 ,试判断直线 与 的位置关系,并说明理由. 答案:(1)证明: 在 中, (在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等) (相等的弧所对的圆周角相等) (如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似) (2)解: (3)直线 与 相切. 证明:连结 为 直径 (直径所对的圆周角是直角) 在 中,   (如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形) 为半径 为 切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线) 20110818104155875278 4.4 利用相似解决实际问题 证明题 基础知识 2011-08-18 17. (2011 青海省) 如图, 是一块锐角三角形材料,边 =120mm,高 =80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 上,其余两个顶点分别在 上,这个正方形零件的边长是___________mm. 答案:48 20110818101722406908 4.4 利用相似解决实际问题 填空题 双基简单应用 2011-08-18 18. (2011 宁夏回族自治区) 在等腰 中, 动点 分别在两腰 上( 不与 重合, 不与 重合),且 将 沿 所在直线折叠,使点 的对应点为 . (1)当 为何值时,点 恰好落在 上? (2)设 , 与等腰 重叠部分的面积为 .试写出 与 的函数关系式.当 为何值时, 的值最大,最大值是多少? 答案:解:(1)点 恰好在 上时,由对称性知 是 的中位线, 当 时,点 在 上. (2)由已知得 底边上的高 . ①当 时,如图,连接 交延长交 于点 , 与 交于点 . 由 得 . .即 . 当 时, 的值最大,最大值是 . ②当 时,设 与 相交于点 与 相交于 由①中知, , . . . . 即 . , . = . 当 时, 最大, 的最大值是4. 20110818094329218108 4.4 利用相似解决实际问题 动态几何 解决问题 2011-08-18 19. (2011 内蒙古呼和浩特市) 如图所示,在梯形 中, , 是 的平分线,且 , 为垂足, ,若四边形 的面积为1,则梯形 的面积为_________. 答案: 20110818090528093061 4.4 利用相似解决实际问题 填空题 基础知识 2011-08-18 20. (2011 内蒙古鄂尔多斯市) 如图所示,在直角梯形 中, , , , , ,点 是 上一个动点,则 的最小值为_____________. 答案: 20110817164231718195 4.4 利用相似解决实际问题 填空题 解决问题 2011-08-17 21. (2011 辽宁省大连市) 在 中, ,点 在线段 上, ,垂足为 与 相交于点 . (1)当 时(如图), =______ ; 探究线段 与 的数量关系,并加以证明; (2)当 时(如图),求 的值(用含 的式子表示). 答案:解: . 结论: . 证明:如图1,过点 作 ,与 的延长线相交于点 ,与 相交于点 . 则 . , 又 , , . , . , , , . (2)如图2,过点 作 ,与 的延长线相交于点 ,与 相交于点 . 同理可证 , , ,即 . 又 , , ,即 . . 20110817103859187052 4.4 利用相似解决实际问题 信息迁移 基础知识 2011-08-17 22. (2011 辽宁省本溪市) 在四边形 中,对角线 、 相交于点 ,设锐角 ,将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ( ).连接 、 , 与 相交于点 . (1)当四边形 是矩形时,如图1,请猜想 与 的数量关系以及 与 的大小关系,并证明你的猜想; (2)当四边形 是平行四边形时,如图2,已知 ,请猜想此时 与 的数量关系以及 与 的大小关系,并证明你的猜想; (3)当四边形 是等腰梯形时,如图3,已知 ,此时(1)中 与 的数量关系是否成立? 与 的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论. 答案:(1) , 证明:在矩形 中 , , , 又 , , . , . . . . . 设 与 相交于点 . , 即 . 综上所述, , . (2) , . 证明:在平行四边形 中 , . 又 , . , , . . . , . , 设 与 相交于点 . 即 . 综上所述, , (3) 成立, 不成立 20110817095915125921 4.4 利用相似解决实际问题 基础知识 2011-08-17 23. (2011 江西省) 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下: 设 .现把小棒依次摆放在两射线 之间,并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一: 如图甲所示,从点 开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直, 为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答:________.(填“能”或“不能”) (2)设 . ① =________度; ②若记小棒 的长度为 ( 为正整数,如 …),求出此时 的值,并直接写出 (用含 的式子表示). 活动二: 如图乙所示:从点 开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中 为第1根小棒,且 . 数学思考: (3)若已经向右摆放了3根小棒,则 =________, =________, =________;(用含 的式子表示) (4)若只能摆放4根小棒,求 的范围. 答案:解:(1)能. (2)① . ②方法一 又 同理: 方法二 又 同理: 又 (3) (4)由题意得: . 20110816155553953536 4.4 利用相似解决实际问题 阅读理解与信息迁移 基础知识 2011-08-16 24. (2011 江苏省镇江市) 在平面直角坐标系 中,直线 过点 (1,0)且与 轴平行,直线 过点 (0,2)且与 轴平行,直线 与 相交于点 .点 为直线 上一点,反比例函数 的图象过点 且与直线 相交于点 . (1)若点 与点 重合,求 的值; (2)连接 .若 ,且 的面积为 的面积的2倍,求点 的坐标; (3)是否存在点 及 轴上的点 ,使得以 为顶点的三角形与 全等?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1) (2)当 时,(如图1), 点 分别在 点的右侧和上方,过 作 轴的垂线 ,垂足为 ,过 作 轴的垂线 ,垂足为 , 和 相交于点 .则四边形 为矩形. , 四边形 为矩形, . 解得 或2. 时, 重合, . 点坐标为 . (3)存在点 及 轴上的点 ,使得 与 全等. ①当 时,(如图2), 只可能 , 作 轴于 . 得: . . 在 中,由勾股定理得 . 解得 ,此时 点坐标为 . 当 时,(如图3) 只可能 ,作 轴于 . 得: . , , . 在 中,由勾股定理得 , 解得 或0,但 不符合题意,所以 . 此时 点坐标为 ,符合条件的 点坐标为 和 . 20110816141018984463 4.4 利用相似解决实际问题 说理题 解决问题 2011-08-16 25. (2011 江苏省镇江市) 如图,在 中,已知点 ( ,3), ( , ), (0,0),正比例函数 的图象是直线 ,直线 轴交直线 于点 . (1)点 坐标为__________; (2)以点 为旋转中心,将 顺时针旋转角 ,使得点 落在直线 上的对应点为 ,点 的对应点为 ,得到 . ① =____________; ②画出 ; (3)写出所有满足 的点 的坐标. 答案:解:(1) 点坐标为 ; (2)① , ②画对 ; (3) . 20110816141017906174 4.4 利用相似解决实际问题 动态几何 解决问题 2011-08-16 26. (2011 江苏省扬州市) 在 中, 是 边的中点, 交 于点 .动点 从点 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动.同时,动点 从点 出发沿射线 运动,且始终保持 设运动时间为 秒( ). (1) 与 相似吗?以图1为例说明理由; (2)若 厘米. ①求动点 的运动速度; ②设 的面积为 (平方厘米),求 与 的函数关系式; (3)探求 三者之间的数量关系,以图1为例说明理由. 答案:解:(1) 理由如下: 如图1, . (2) cm. 又 垂直平分 , cm. =4cm. ①设 点的运动速度为 cm/s. 如图1,当 时,由(1)知 即 如图2,易知当 时, . 综上所述, 点运动速度为1 cm/s. ② 如图1,当 时, . 如图2,当 时, , , . 综上所述, (?) ? 理由如下: 如图?,延长 至 ,使 ,连结 、 ? 、 互相平分, 四边形 是平行四边形, . , , . 垂直平分 , . . 20110816105341171898 4.4 利用相似解决实际问题 说理题 解决问题 2011-08-16 27. (2011 江苏省徐州市) 如图①,在 中, .动点 以1cm/s的速度从点 出发,沿折线 运动到点 时停止运动.设点 出发 时, 的面积为 .已知 的函数图象如图②所示.请根据图中信息,解答下列问题: (1)试判断 的形状,并说明理由; (2)当 为何值时, 与 相似? 答案:法一:(1) 是等腰三角形. 过点 作 ,垂足为点 当点 在 上时, 当点 在 上时, ∴ 过 作 ,垂足为 , 则 ∴ 垂直平分 ∴ 是等腰三角形. (2)∵ ∴当且仅当 时, 在 中, 由 得 ∴ 时, 法二:(1) 是等腰三角形. 作 ,垂足为点 .∵ 点 以1cm/s的速度运动, ∴点 在边 和 上运动时间相同. ∴点 是 的中点. ∴ 是 的垂直平分线 ∴ , 是等腰三角形. (2)由题意,得 ∵ 当且仅当 时, 在 中, 由 得 ∴ 时, 20110815170023187329 4.4 利用相似解决实际问题 动态几何 解决问题 2011-08-15 28. (2011 江苏省宿迁市) 如图,在 △ 中, , , ,以点 为圆心, 为半径的弧交 于点 ;以点 为圆心, 为半径的弧交 于点 . (1)求 的长度; (2)分别以点 、 为圆心, 长为半径画弧,两弧交于点 ( 与 在 两侧),连接 、 ,设 交 所在的圆于点 ,连接 ,试猜想 的大小,并说明理由. 答案:解:(1)在 中, , , , 由勾股定理得, , 所以 , 所以 ; (2)猜想: . 由题意可知, 与 是两个拥有一个公共底角的等腰三角形, 所以 . 所以 , 所以 , 于是 , 所以 , 又因为 , 所以 , 所以 , 所以 . 20110815155406125331 4.4 利用相似解决实际问题 基础知识 2011-08-15

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