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湖北省荆州市2015年中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分) 1.﹣2的相反数是(  ) A. 2 B. ﹣2 C. D. 考点: 相反数. 分析: 根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案. 解答: 解:﹣2的相反数是2, 故选:A. 点评: 此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义. 2.如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1=70°,则 ∠2=(  ) A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 考点: 平行线的性质. 分析: 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°,即可求出答案. 解答: 解: ∵直线l1∥l2,∠1=70°, ∴∠3=∠1=70°, ∴∠2=180°﹣∠3=110°, 故选C. 点评: 本题考查了平行线 的性质,邻补角定义的应用,解此题的关键是求出∠3的度数,注意:两直线平行,同位角相等. 3.下列 运算正确的是(  ) A. =±2 B. x2?x3=x6 C. + = D. (x2)3=x6 考点: 幂的乘方与积的乘方;实数的运算;同底数幂的乘法. 分析: 根据算术 平方根的定义对A进行判断;根据同底数幂的乘法 对B进行运算;根据同类二次根式的定义对C进行判断;根据幂的乘方对D进行运算. 解答: 解:A. =2,所以A错误; B.x2?x3=x5,所以B错误; C. + 不是同类二次根式,不能合并; D.(x2)3=x6,所以D正确. 故选D. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,综合运用各种运算法则是解答此题的关键. 4.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为(  ) A. y=(x﹣1)2+4 B. y=(x﹣4)2+4 C. y=(x+2)2+6 D. y=(x﹣4)2+6 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 根据函数 图象向上平移加,向右平移减,可得函数解析式. 解答: 解:将y=x2﹣2x+3化为顶点式,得y=(x﹣1)2+2. 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3 个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+4, 故选:B. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象的平移规律是:左加右减,上加下减. 5.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是(  ) A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 考点: 圆周角定理. 分析: 连接OB,要求∠BAO的度数,只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°,然后根据等腰三角形两底角相等和 三角形内角和定理即可求得. 解答: 解:连接OB, ∵∠ACB=25°, ∴∠AOB=2×25°=50°, 由OA=OB, ∴∠BAO=∠ABO, ∴∠BAO= (180°﹣50°)=65°. 故选C. 点评: 本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键. 6.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是(  ) A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. = D. = 考点: 相似三角形的判定. 分析: 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可. 解答: 解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此 选项错误; B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A =∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误; C、当 = 时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误; D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确. 故选:D. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键. 7.若关于x的分式方程 =2的解为非负数,则m的取值范围是(   ) A. m>﹣1 B. m≥1 C. m>﹣1且m≠1 D. m≥﹣1且m≠1 考点: 分式方程的解. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为非负数及分式方程分母不 为0求出m的范围即可. 解答: 解:去分母得:m﹣1=2x﹣2, 解得:x= , 由题意得: ≥0且 ≠1, 解得:m≥﹣1且m≠1, 故选D 点评: 此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 8.如图所示,将 正方形纸片三次对折后,沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是(  ) A. B. C. D. 考点: 剪纸问题. 分析: 根据题意直接动手操作得出即可. 解答: 解: 找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示: 故选A. 点评: 本题考查了剪纸问题,难点在于根据折痕逐层展开,动手操作会更简便. 9.如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是(  ) A. B. C. D. 考点: 动点问题的函数图象. 分析: 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上,而动点P可以在BC边、CD边、AD边上,再分三种 情况进行讨论:①0≤x≤1;②1<x≤2;③2<x≤3;分别求出y关于x的函数解析式,然后根据函数的图象与性质即可求解. 解答: 解:由题意可得BQ=x. ①0≤x≤1时,P点在 BC边上,BP=3x, 则△BPQ的面积= BP?BQ, 解y= ?3x?x= x2;故A选项错误; ②1<x≤2时,P点在CD边上, 则△BPQ的面积= BQ?BC, 解y= ?x?3= x;故B选项错误; ③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x, 则△BPQ的面积= AP?BQ, 解y= ?(9﹣3x)?x= x﹣ x2;故D选项错误. 故选C. 点评: 本题考查了动点问题的函数 图象,正方形的性质,三角形的面积,利用数形结合、分类讨论是解题的关键. 10.把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2 ,3),则A2015=(  ) A. (31,50) B. (32,47) C. (33,46) D. (34,42) 考点: 规律型:数字的变化类. 分析: 先计算出2015是第1008个数,然后判断 第1008个数在第几组,再判断是这一组的第几个数即可. 解答: 解:2015是第 =1008个数, 设2015在第n组,则1+3+5+7+…+(2n﹣1)≥1008, 即 ≥1008, 解得:n≥ , 当n=31时,1+3+5+7+…+61=961; 当n=32时,1+3+5+7 +…+63=1024; 故第1008个数在第32组, 第1024个数为:2×1024﹣1=2047, 第32组的第一个数为:2×962﹣1=1923, 则2015是( +1)=47个数. 故A2015=(32,47). 故选B. 点评: 此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 11.计算: ﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|+(﹣ )0= 3  . 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三项利用立方根定义计算,第四项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=3﹣ +2﹣2+1=3 , 故答案为:3 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 12.分解因式:ab2﹣ac2= a(b+c)(b﹣c) . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 专题: 计算题. 分析: 原式提取a,再利用平方差公式分解即可. 解答: 解:原式=a(b2﹣c2)=a(b+c)(b﹣c), 故答案为:a(b+c)(b﹣c) 点评: 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题 的关键. 13.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB= 16 cm. 考点: 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 分析: 首先根据DE是AB的垂直平分线,可得AE=BE;然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB,据此求出AB的长度是多少即可. 解答: 解:∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE; ∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC, ∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB , ∴AB=40﹣24=16(cm). 故答案为:16. 点评: (1)此题主要考查了垂直平分线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. (2)此题还考查了等腰三角形的性质,以及三角形的周长的求法,要熟练掌握. 14.若m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 0 . 考点: 根与系数的关系; 一元二次方程的解. 专题: 计算题. 分析: 由题意m为已知方程的解,把x=m代入方程求出m2+m的值,利用根与系数的关系求出m+n的值,原式变形后代入计算即可求出值. 解答: 解:∵m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根, ∴m+n=﹣1,m2+m=1, 则原式=(m2 +m)+(m+n)=1﹣1=0, 故答案为:0 点评: 此题考查了根与系数的关系,以及一元二次方程的解,熟练掌握根与系数的 关系是解本题的关键. 15.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为 137 米(结果保留整数,测角仪忽略不计, ≈1.414, ,1. 732) 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 专题: 计算题. 分析: 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°,∠ACD=45°,设AD=xm,先在Rt△ACD中,利用∠ACD的正切可得CD=AD=x,则BD=BC+CD=x+100,然后在Rt△ABD中,利用∠ABD的正切得到x= (x+100), 解得x= 50( +1),再进行近似计算即可. 解答: 解:如图,∠ABD=30°,∠ACD=45°,BC =100m, 设AD=xm, 在Rt△ACD中,∵tan∠ACD= , ∴CD=AD=x, ∴BD=BC+CD=x+100, 在Rt△ABD中,∵tan∠ABD= , ∴x= (x+100), ∴x=50( +1)≈137, 即山高AD为137米. 故答案为137. 点评: 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角:解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 16.如图,矩形ABCD中,OA在x轴上,OC 在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则B′ 点的坐标为 ( , ) . 考点: 翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质. 分析: 作B′E⊥x轴,设OD=x,在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程,再由△ADO∽△AB′E,求出B′E和OE. 解答: 解:作B′E⊥x轴, 易证AD=CD, 设OD=x,AD=5﹣x, 在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程得:22+x2=(5﹣x)2, 解得:x=2.1, ∴AD=2.9, ∵OD∥B′E, ∴△ADO∽△AB′E, ∴ , ∴ , 解得:B′E= , AE= , ∴OE= ﹣2= . ∴B′( , ). 故答案为:( , ). 点评: 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理,根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键. 17.如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12  cm2. 考点: 展开图折叠成几何体. 分析: 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形,长为6,宽为6减去两个六边形的高,再用长方形的面积公式计算即可求得答案. 解答: 解:∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线 裁剪后,恰好围成一个底面是正六边形的棱柱, ∴这个正六边形的底面 边长为1,高为 , ∴侧面积为长为6,宽为6﹣2 的长方形, ∴面积为:6×(6﹣2 )=36﹣12 . 故答案为:36﹣12 . 点评: 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用.此题难度不大,注意动手操作拼出图形,并能正确进行计算是解答本题的关键. 18.如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB =10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若 反比例函数y= (k≠0)的图象经过圆心P,则k= ﹣  . 考点: 切线的性质;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形,从而得到△PCD为等腰直角三角形,则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH∽△ABO,利用相似比计算出CH= ,接着利用勾股定理计算出AH= ,所以BH=10﹣ = ,然后证明△BEH∽△BHC,利用相似比得到即 = ,解得r= ,从而易得P点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值. 解答: 解:作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r, ∵⊙P与边AB,AO都相切, ∴PD= PE=r,AD=AE, 在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10, ∴OB= =6, ∵AC=2, ∴OC=6, ∴△OBC为等腰直角三角形, ∴△PCD为等腰直角三角形, ∴PD=CD=r, ∴AE=AD=2+r, ∵∠CAH=∠BAO, ∴△ACH∽△ABO, ∴ = ,即 = ,解得CH= , ∴AH= = = , ∴BH=10﹣ = , ∵PE∥CH, ∴△BEP∽△BHC, ∴ = ,即 = ,解得r = , ∴OD= OC﹣CD=6﹣ = , ∴P( ,﹣ ), ∴k= ×(﹣ )=﹣ . 故答案为﹣ . 点评: 本题考查了切线的性质 :圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线不确定切点,则过圆心作切线的垂线,则垂线段等于圆的半径.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征. 三、解答题(本大题共7小题,共66分) 19.(7分)解方程组: . 考点: 解二元一次方程组. 专题: 计算题. 分析: 方程组利用加减消元法求出解即可. 解答: 解: ②×3﹣①得:11y=22,即y=2, 把y=2代入②得:x=1, 则方程组的解为 . 点评: 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 20.(8分)某校八年级(1)班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况,对班上一个组学生的汉字听写成绩按A,B,C,D四个等级进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图: (1 )求D等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整; (2)该组达到A等级的同学中只有1位男同学,杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学 和1位女同学的概率. 考点: 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图 . 分析: (1)根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数,进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角;根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形. (2)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解. 解答: 解:(1)总人数=5÷ 25%=20, ∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为: ×100%=15%, 扇形 统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°. 由题意得:B等级的人数=20×40%=8(人),A等级的人数=20×20%=4. (2)根据 题意画出树状图如下: 一共有12种情况,恰好是1位男同学和1位女同学有7种情况, 所以,P(恰好是1位男同学和1位女同学)= . 点评: 本题 考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用, 读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 21.(8分)如 图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2. (1)求直线AB和反比例函数的解析式; (2)求△OCD 的面积. 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)根据已知条件求出A、B、C点坐标,用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式; (2)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标,从而根据三角形面积公式求解. 解答: 解:(1)∵OB=4,OE=2, ∴BE=2+4=6. ∵CE⊥x轴于点E,tan∠ABO= = = . ∴OA=2,CE=3. ∴点A的坐标为(0,2)、点B的坐标为C(4,0)、点C的坐标为(﹣2,3). 设直线AB的解析式为y=kx+b,则 , 解得 . 故直线AB的解析式为y=﹣ x+2. 设反比例函数的解析式为y= (m≠0), 将点C的坐标代入,得3= , ∴m=﹣6. ∴该反比例函数的解析式为y=﹣ . (2)联立反比例函数的 解析式和直线AB的解析式可得 , 可得交点D的坐标为(6,﹣1), 则△BOD的面积=4×1÷2=2, △BOD的面积=4×3÷2=6, 故△OCD的面积为2+6=8. 点评: 本题是一次函数与反比例函数的综合题. 主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质,起点稍高,部分学生感觉较难. 22.(9分)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F. ( 1)证明:PC=PE; (2)求∠CPE的度数; (3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由. 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质. 分析: (1)先证出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE; (2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论; (3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论. 解答: (1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC, ∠ABP=∠CBP=45°, 在△ABP和△ CBP中, , ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC, ∵PA=PE, ∴PC=PE; (2)由(1)知,△ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E, ∵∠CFP=∠EFD( 对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°; (3)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°, 在△ABP和△CBP 中, ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA= PC,∠BAP=∠BCP, ∵PA=PE, ∴PC=PE, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD (对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°, ∴△EPC是等边三角形, ∴PC=CE, ∴AP=CE; 点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键. 23.(10分)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题: 鲢鱼 草鱼 青鱼 每辆汽车载鱼 量(吨) 8 6 5 每吨鱼获利(万元) 0.25 0. 3 0.2 (1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式; (2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润. 考点: 一次函数的应用. 分析: (1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论; (2)根据建立不等装运每种鱼的车辆 都不少于2辆,列出不等式 组求出x的范围,设此次销售所获利润为w元, w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5=﹣1.4x+36,再利用一次函数的性质即可解答. 解答: 解:(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由题意,得 8x+6y+5(20﹣x﹣y)=120, ∴y=﹣3x+20. 答:y与x的函数关系式为y=﹣3x+20; (2),根据题意,得 ∴ , 解得 :2 ≤x≤6, 设此次销售所获利润为w元, w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5 =﹣1.4x+36 ∵k=﹣1.4<0, ∴w随x的增大而减小. ∴当x=2时,w取最大值,最大值为:﹣1.4×2+36=33.2 (万元). ∴装运鲢鱼的车辆为2辆,装运草鱼的车辆为14辆,装运青鱼的车辆为4辆时获利最大,最大利润为33.2万元. 点评: 本题考查了一次函数的解析式的运用,一次函数的性质的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键. 24.(12分)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0. (1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根; (2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数 时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的 取值范围; (3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标. 考点: 抛物线与x轴的交点;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征. 分析: (1)分类讨论:该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元二次方程时,根的判别式△≥0,方程总有实数根; (2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2,结合图象回答问题. (3)根据题意得到kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,由此列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得该定点坐标. 解答: (1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,所以x=﹣2,方程有实数根, ②当k≠0时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0, ∴无论k取任何实数时,方程总有实数根; (2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0, 解关于x的一元二次方程, 得x1=﹣2,x2=﹣ , ∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数, ∴k=1. ∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2, . 由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<﹣3. (3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立 ,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立, 则 , 解得 或 . 所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0). 点评: 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征,解答(1)题时要注意分类讨论. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:ED是⊙P的切线; (3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由; (4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)先确定 B(﹣4,0),再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2 ,D (0,2 ),然后利用交点式求抛物线的解析式; (2)先计算出CD=2OC=4,再根据平行四边形的性质得AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°, AD=BC=6,则由AE=3BE得到AE=3,接着计算 = ,加上∠DAE =∠DCB,则可判定△AED∽△COD,得到∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°,再利用圆周角定理 得到CD为⊙P的直径, 于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线 (3)由△AED∽△COD,根据相似比计算出DE=3 ,由于∠CDE=90°,DE>DC,再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上,而点C、D在抛物线上,于是可判断点E′不能在抛物线上; (4)利用配方得到y=﹣ (x+1)2+ ,则M(﹣1, ),且B(﹣ 4,0),D(0,2 ),根据平行四边形的性质和点平移 的规律,利用分类讨论的方法确定N点坐标. 解答: 解:(1)∵C(2,0),BC=6, ∴B(﹣4,0), 在Rt△OCD中,∵tan∠OCD= , ∴OD=2tan60°=2 , ∴D(0,2 ), 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2), 把D(0,2 )代入得a?4?(﹣2)=2 ,解得a=﹣ , ∴抛物线的解析式为y=﹣ (x+4)(x﹣2)=﹣ x2﹣ x+2 ; (2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6, ∵AE=3BE, ∴AE=3, ∴ = , = = , ∴ = , 而∠DAE=∠DCB, ∴△AED∽△COD, ∴∠ADE=∠CDO, 而∠ADE+∠ODE=90° ∴∠CDO+∠ODE=90°, ∴CD⊥DE, ∵∠DOC=90°, ∴CD为⊙P的 直径, ∴ED是⊙P的切线; (3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上.理由如下: ∵△ AED∽△COD, ∴ = ,即 = ,解得DE=3 , ∵∠CDE=90°, DE>DC, ∴△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′在射线DC上, 而点C、D在抛物线上, ∴点E′不能在抛物线上; (4)存在. ∵y=﹣ x2﹣ x+2 =﹣ (x+1)2+ ∴ M(﹣1, ), 而B(﹣4,0),D(0,2 ), 如图2, 当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位,再向下平移2 个单位得到点 B,则点M(﹣1, )向左平移4个单位,再向下平移2 个单位得到点N1(﹣5, ); 当DM为平行四边形BDMN的对角线时,点B向右平移3个单位,再向上平移 个单位得到点M,则点D(0,2 )向右平移3个单位,再向上平移 个单位得到点N2(3, ); 当BD为平行四边形BDMN的对角线时,点M向左平移3个单位,再向下平移 个单位得到点B,则点D(0,2 )向右平移3个单位,再向下平移 个单位得到点N3(﹣3,﹣ ), 综上所述,点N的坐标为(﹣5, )、(3, )、(﹣3,﹣ ). 点评: 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;掌握平行四边形的性质点平移的规律;会证明圆的切线

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