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2015年甘肃省武威市中考数学试卷(解析版) 一、本大题共10小题,每小题3分,共30分 1.(3分)(2015?荆门)64的立方根是(  )   A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 考点: 立方根. 分析: 如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可. 解答: 解:∵4的立方等于64, ∴64的立方根等于4. 故选A. 点评: 此题主要考查 了求一个数的立方根,解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根 .注意一个数的立方根与原数的性质符号相同.   2.(3分)(2015?武威)中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨.将数67500用科学记数法表示为(  )   A. 0.675×105 B. 6.75×104 C. 67.5×103 D. 675×102 考点: 科学记数法—表示较大的数. 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的 位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 解答: 解:将67500用科学记数法表示为:6.75×104. 故选:B. 点评: 此题考查了科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.   3.(3分)(2015?武威)若∠A=34°,则∠A的补角为(  )   A. 56° B. 146° C. 156° D. 166° 考点: 余角和补角. 分析: 根据互补的两角之和为180°,可得出答案. 解答: 解:∵∠A=34°, ∴∠A的补角=180°﹣34°=146°. 故选B. 点评: 本题考查了余角和补角的知识,解答本题的关键是掌握互补的两角之和为180°.   4.(3分)(2015?武威)下列运算正确的是(  )   A. x2+x2=x4 B. (a﹣b)2=a2﹣b2 C. (﹣a2)3=﹣a6 D. 3a2?2a3=6a6 考点: 完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式 . 分析: 根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算即可. 解答 : 解:A、x2+x2=2x2,错误; B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,错误; C、(﹣a2)3=﹣a6,正确; D、3a2?2a3=6a5,错误; 故选C. 点评: 此题考查同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法,关键是根据法则进行计算.   5.(3分)(2015?武威)如图是由6个相同 的小正方体搭成 的几何体,那么这个几何体的俯视图是(  )   A. B. C. D. 考点: 简单组合体的三视图. 分析: 找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中. 解答: 解:从上面看易得上面第一层中间有1个正方形,第二层有3个正方形.下面一层左边有1个正方形, 故选A. 点评: 本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面 看得到的视图.   6.(3分)(2015?武威)下列命题中,假 命题是(  )   A. 平行四边形是中心对称图形   B. 三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等   C. 对于简单的随机样本,可以用样本的方差去估计总体的 方差   D. 若x2=y2,则x=y 考点: 命题与定理;有理数的乘方;线段垂直平分线的性质;中心对称图形;用样本估计总体. 分析: 根据平行四边形的性质、三角形 外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可. 解答: 解:A、平行四边形是中心对称图形,它的中心对称点为两条对角线的交点,故该命题是真命题; B、三角形三边的垂直平分线相交于一点,为三角形的外心,这点到三角形三个顶点的距离相等,故该命题是真命题; C、用样本的数字特征估计总体的数字特征:主要 数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差,故该命题是真命题; D、若x2=y2,则x=±y,不是x=y,故该命题是假命题; 故选D. 点评: 本题考查了命题真假的判断,属于基础题.根据定义:符合事实真理的判断是真命题, 不符合事实真理的判断是假命题,不难选出正确项.   7.(3分)(2015?武威)今年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年投入3500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是(  )   A. 2500x2=3600 B. 2500(1+x)2=3600   C. 2500(1+x%)2=3600 D. 2500(1+x)+2500(1+x) 2=3600 考点: 由实际问题抽象出一元二次方程. 专题: 增长率问题. 分析: 根据2013年教育经费额×(1+平均年增长率)2=2015年教育经费支出额 ,列出方程即可. 解答: 解:设增长率为x,根据题意得2500×(1+x)2=3500, 故选B. 点评: 本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“﹣”).   8.(3分)(2015?武威)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(  )   A. 80° B. 160° C. 100° D. 80°或100° 考点: 圆周角定理. 分析: 首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数. 解答: 解:如图,∵∠AOC=160°, ∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°, ∵∠ABC+∠AB′C=180°, ∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°. ∴∠ABC的度数是:80°或100°. 故选D. 点评: 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想 与分类讨论思想的应用,注意别漏解.   9.(3分)(2015 ?武威)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥ AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S △AOC的值为(  )   A. B. C. D. 考点: 相似三角形的判定与性质. 分析: 证明BE:EC=1:3,进而证明BE:BC=1:4;证明△DOE ∽△AOC,得到 = ,借助相似三角形的性质即可解决问题. 解答: 解:∵S△BDE:S△CDE=1:3, ∴BE:EC=1:3; ∴BE:BC=1:4; ∵DE∥AC, ∴△DOE∽△AOC, ∴ = , ∴S△DOE:S△AOC= = , 故选D. 点评: 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答.   10.(3分)(2015?武威)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P与点B、C都不重合),现将△PCD沿直线PD折叠, 使点C落到点F处;过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )   A. B. C. D. 考点: 动点问题的函数图象. 分析: 证明△BPE∽△CDP,根据相似三角形的对应边的比相等求得y 与x的函数关系式,根据函数的性质即可作出判断. 解答: 解:∵∠CPD=∠FPD,∠BPE=∠FPE, 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE= 180°, ∴∠CPD+∠BPE=90°, 又∵直角△BPE中,∠BPE+∠BEP=90°, ∴∠BEP=∠CPD, 又∵∠B=∠C, ∴△BPE∽△CDP, ∴ ,即 ,则y=﹣ x2+ ,y是x的二次函数,且开口向下. 故选C. 点评: 本题考查了动点问题的函数图象,求函数的解析式,就是把自变量当作已知数值,然后求函数变量y的值,即求线段长的问题,正确证明△BPE∽△CDP是关键.   二、填空题,本大题共8小题,每小题3分,共24分 11.(3分)(2015?武威)分解因式:x3y﹣2x2y+xy= xy(x﹣1)2 . 考点: 提公因式 法与公式法的综合运用. 专题: 计算题. 分析: 原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可. 解答: 解:原式=xy(x2﹣2x+1)=xy(x﹣1)2. 故答案为:xy( x﹣1)2 点评: 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.   12.(3分)(2015?武威)分式方程 的解是 x=2 . 考点: 解分式方程. 分析: 观察可得最简公分母是x(x+3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解. 解答: 解:方程的两边同乘x(x+3),得 2(x+3)=5x, 解得x=2. 检验:把x=2代入x(x +3)=10≠0,即x=2是原分式方程的解. 故原方程的解为:x=2. 故答案 为:x=2. 点评: 此题考查了分式方程的求解方法.注意:①解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解,②解分式方程一定注意要验根.   13.(3分)(2015?武威)在函数y= 中,自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 . 考点: 函数 自变量的取值 范围. 分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围. 解答: 解:根据题意得:x+1≥0且x≠0, 解得:x≥﹣1且x≠0. 故答案为:x≥﹣1且x≠0. 点评: 考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.   14.(3分)(2015?武威)定义新运算:对于任意实数a,b都有:a⊕b=a(a﹣b)+1,其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.如:2⊕5=2×(2﹣5)+1=2×(﹣3)+1=﹣5,那么不等式3⊕x<13的解集为 x>﹣1 . 考点: 一元一次不等式的应用. 专题: 新定义. 分析: 根据运算的定义列出不等式,然后解不等式求得不等式的解集即可. 解答: 解:3⊕x<13, 3(3﹣x)+1<13, 解得:x>﹣1. 故答案为:x>﹣1. 点评: 此题考查一元一次不等式解集的求法,理解运算的方法,改为不等式是解决问题的关键.   15.(3分)(2015?武威)已知α、β均为锐角,且满足|sinα﹣ |+ =0,则α+β= 75° . 考点: 特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根. 分析: 根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数. 解答: 解:∵|sinα﹣ |+ =0, ∴sinα= ,tanβ=1, ∴α=30°,β= 45°, 则α+β=30°+45°=75°. 故答案为:75°. 点评: 本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.   16.(3分)(2015?武威)关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根,则k的取值范围是 k≥﹣6 . 考点: 根的判别式;一元一次方程的解. 分析: 由于k的取值不确定,故应分k=0(此时方程化简为一元一次方程)和k≠0(此时方程为二元一次方程)两种情况进行解答. 解答: 解:当k=0时,﹣4x﹣ =0 ,解得x=﹣ , 当k≠0时,方程kx2 ﹣4x﹣ =0是一元二次方程, 根据题意可得:△=16﹣4k×(﹣ )≥0, 解得k≥﹣6,k≠0, 综上k≥﹣6, 故答案为k≥﹣6. 点评: 本题考查的是根的判别式,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当 △=0时,方程 有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论.   17.(3分)(2015?武威 )如图,半圆O的直径AE=4,点B,C,D均在半圆上,若AB=BC,CD=DE,连接OB,OD,则图中阴影部分的面积为 π . 考点: 扇形 面积的计算. 分析: 根据题意可知,图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积,根据扇形面积公式即可求解. 解答: 解:∵AB=BC,CD=DE, ∴ = , = , ∴ + = + , ∴∠BOD=90°, ∴S阴影=S扇形OBD= =π. 故答案是:π. 点评: 本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系.解答 本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积.   18.(3分)(2015?武威)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做 三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…依此类推,那么第9个三角形数是 45 ,2016是第 63 个三角形数. 考点: 规律型:数字的变化类. 分析: 根据所给的数据发现:第n个三角形数是1+2+3+…+n,由此 代入分别求得答案即可. 解答: 解:第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, 1+2+3+4+…+n=2016, n(n+1)=4032, 解得:n=63. 故答案为:45,63. 点评: 此题考查数字的变化规律, 找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.   三、简答题(一)本大题共5小题,共26分 19.(4分)(2015?武威)计算:( )0+ +(﹣1)2015﹣ tan60°. 考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用算术平方根定义计算,第三项利用乘方的意义化简,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=1+2﹣1﹣ × =2﹣3 =﹣1. 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   20.(4分)(2015?武威)先化简,再求值: ÷(1﹣ ),其中x=0. 考点: 分式的化简求值. 分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x=0代入进行计算即可. 解答: 解:原式= ÷( ﹣ ) = ? = , 当x=0时,原式= . 点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.   21.(6分)(2015?武威)如图,已知在△ABC中,∠A=90° (1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明). (2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积. 考点: 作图—复杂作图;切线的性质. 分析: (1)作∠ABC的平分线交AC于P,再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P; (2)根据角平分线的性质得到∠ABP=30°,根据三角函数可得AP= ,再根据圆的 面积公式即可求解. 解答: 解:(1)如图所示,则⊙P为所求作的圆. (2)∵∠B=60°,BP平分∠ABC, ∴∠ABP=30°, ∵tan∠ABP= , ∴AP= , ∴S⊙P=3π. 点评: 本题主要考查了作图﹣复杂作图,角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边 的距离相等.同时考查了圆的面积.   22.(6分)(2015?武威)如图①所示,将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,已知∠CGD= 42° (1)求∠CEF的度数; (2)将 直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点B,交AC边于点H,如图②所示,点H,B在直尺上的度数分别为4,13.4,求BC的长(结果保留两位小数). (参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 考点: 解直角三角形. 分析: (1)先根据直角三角形的两锐角互为求出∠CDG的度数,再根据两直线平行,同位角相等求出∠DEF,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠EFA; (2)根据度数求出HB的长度,再根据∠CBH=∠CGD=42°,利用42°的余弦值进求解. 解答: 解:(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°, ∴∠CDG=90°﹣42°=48°, ∵DG∥EF, ∴∠CEF=∠CDG=48°; (2)∵点H,B 的读数分别为4,13.4, ∴HB=13.4﹣4=9.4(m), ∴BC=HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96(m). 答:BC的长为6.96m. 点评: 本题考查了解直角三角形与平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,综合性较强,但难度不大,仔细分析图形 并认真计算即可.   23.(6分)(2015 ?武威)有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相等),正面分别下上整式x2+1,﹣x2﹣2,3.将这三张卡片背面向上洗匀,从中任意抽取一张卡片,记卡片上的整式为A,再从剩下的卡片中任意抽取一张,记卡片上的整式为B,于是得到代数式 . (1)请用画树状图成列表的方法,写出代数式 所有 可能的结果; (2)求代数式 恰好是分式的概率. 考点: 列表法与树状图法;分式的定义. 分析: (1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图即可求得所有等可能的结果; (2)由(1)中的树状图,可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案. 解答: 解:(1)画树状图: 列表 : 第一次 第二次 x2+1 ﹣x2﹣2 3 x2+1 ﹣x2﹣2 3 ( 2)代数式 所有可能的结果共有6种,其中代数式 是分式的有4种: , , , , 所以P (是分式)= . 点评: 此题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法 适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.   四、简答题(二)本大题共5小题,共40分 24.(7分)(2015?武威)某班同学响应“阳光体育运动”号召,利用课外活动积极参加体育锻炼,每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练,训练前后都进行了测试,现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数进行整理,作出如下统计图表. 训练后篮球定点投篮测试进球统计表 进球数(个) 8 7 6 5 4 3 人数 2 1 4 7 8 2 请你根据图表中的信息回答下列问题: (1)训练后篮球定时定点投篮 人均进球数为 5 个; (2)选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 10% ,该班共有同学 40 人; (3)根据测试资料,参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加 了25%,求参加训练之前的人均进球数. 考点: 扇形统计图;一元一次方程的应用;统计表. 分析: (1)根据平均数的概念计算平均进球 数; (2)根据所有人数的比例和为1计算选择长跑训练的人数占全班人数的百分比;由总人数=某种运动的人数÷所占比例计算总人数; (3)通过比较训练前后的成绩,利用增长率的意义即可列方程求解. 解答: 解:(1)参加篮球训练的人数是:2+1+4+7+8+2=24(人). 训练后篮球 定时定点投篮人均进球数= =5(个). 故答案是:5; (2)由扇形图可以看出:选择长跑训练的人数占全班人数的百分比=1﹣60%﹣10%﹣20%=10%, 则全班同学的人数为24÷60%=40(人), 故答案是:10%,40; (3)设参加训练之前的人均进球数为x个, 则x(1+25%)=5,解得 x=4. 即参加训练之前的人均进球数是4个. 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.   25.(7分)(2015?武威)如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG 的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形; (2)①当AE= 3.5 cm时,四边形CEDF是矩形; ②当AE= 2 cm时,四边形CEDF是菱形. (直接写出答案,不需要说明理由) 考点: 平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定. 专题: 动点型. 分析: (1)证△CFG≌△EDG,推出FG=EG,根据平行四边形的判定推出即可; (2)①求出△MBA≌△EDC,推出∠CED=∠AMB=90°,根据矩形的判定推出即 可; ②求出△CDE是等边三角形,推出CE=DE,根据菱形的判定推出即可. 解答: (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CF∥ED, ∴∠FCG=∠EDG, ∵G是CD的中点, ∴CG=DG, 在△FCG和△EDG中, , ∴△FCG≌△EDG(ASA) ∴FG=EG, ∵CG=DG, ∴四边形CEDF是平行四边形; (2)①解:当AE=3.5时,平行四边形CEDF是矩形, 理由是:过A作AM⊥BC于M, ∵∠B=60°,AB=3, ∴BM=1.5, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3,BC=AD=5, ∵AE=3.5, ∴DE=1.5=BM, 在△MBA和△EDC中, , ∴△MBA≌△EDC(SAS), ∴∠CED=∠AMB=90°, ∵四边形CEDF是平行四边形, ∴四边形CEDF是矩形, 故答案为:3.5; ②当AE=2时,四边形CEDF是菱形, 理由是:∵AD=5,AE=2, ∴DE=3, ∵CD=3,∠CDE=60°, ∴△CDE是等边三角形, ∴CE=DE, ∵四边形CEDF是平行四边形, ∴四边形CEDF是菱形, 故答案为:2. 点评: 本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,矩形的判定,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,注意:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形.   26.(8分)(2015?武威)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y= (k>x,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3). (1)求k的值; (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y= (k>0,x>0)的图象上时,求菱形 ABCD沿x轴正方向平移的距离. 考点: 反比例函数综合题. 分析: (1)过点D作x轴的垂线,垂足为F,首先得出A点坐标,再利用反比例函数图象上点的 坐标性质得出即可; (2)将菱形ABCD沿x轴正方 向平移,使得点D落在函数 (x>0)的图象D′点处,得出点D′的纵坐标为3,求出其横坐标,进而得出菱形ABCD平移的距离. 解答: 解:(1)过点D作x轴的垂线,垂足为F, ∵点D的坐标为(4,3), ∴OF=4,DF=3, ∴OD=5, ∴AD=5, ∴点A坐标为(4,8), ∴k=xy=4×8=32, ∴k=32; (2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移,使得点D落在函数 (x>0)的图象D′点处, 过点D′做x轴的垂线,垂足为F′. ∵DF =3, ∴D′F′=3, ∴点D′ 的纵坐标为3, ∵点D′在 的图象上 ∴3= , 解得:x= , 即OF′= , ∴FF′= ﹣4= , ∴菱形ABCD平移的距离为 . 点评: 此题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质,得出A点坐标是解题关键.   27.(8分)(2015?武威)已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)如图①所示,若AB为 ⊙O的直径,要使EF成为⊙O的切线,还需要添加的一个条件是(至少说出两种): ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC . (2)如图②所示,如果AB是不过圆心O 的弦,且∠CAE=∠B,那么EF是⊙O的切线吗?试证明你的判断. 考点: 切线 的判定. 分析: (1)求出∠BAE=90°,再根据切线 的判定定理推出即可; (2)作直径AM,连接CM,根据圆周角定理求出∠M=∠B,∠ACM=90°,求出∠MAC+∠CAE=90°,再根据切线的判定推出 即可. 解答: 解:(1)①∠BAE=90°,②∠EAC=∠ABC, 理由是:①∵∠BAE=90°, ∴AE⊥AB, ∵AB是直径, ∴EF是⊙O的切线; ②∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵∠EAC=∠ABC, ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°, 即AE⊥AB, ∵AB是直径, ∴EF是⊙O的切线; (2)EF是⊙O的切线. 证明:作直径AM,连接CM, 则∠ACM=90°,∠M=∠B, ∴∠M+∠ CAM=∠B+∠ CAM=90°, ∵∠CAE=∠ B, ∴∠CAM+∠CAE=90°, ∴AE⊥AM, ∵AM为直径, ∴EF是⊙O的切线. 点评: 本题考查了圆周角定理,切线的判定的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,注意:经过半径的外端,并且垂直于半径的直线是圆的切线.   28.(10分)(2015?武威)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴; (2)点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4),连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,可求出直线BA′的解析式,即可得出点P的坐标. (3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t, t2﹣ t+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案. 解答: 解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5), 把点A(0,4)代入上式得:a = , ∴y= (x﹣1)(x﹣5)= x2﹣ x+4= (x﹣3)2﹣ , ∴抛物线的对称轴是:x=3; (2)P点坐标为(3, ). 理由如下: ∵点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3, ∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4) 如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小. 设直线BA′的解析式为y=kx+b, 把A′(6,4),B(1,0)代入得 , 解得 , ∴y= x﹣ , ∵点P的横坐标为3, ∴y= ×3﹣ = , ∴P(3, ). (3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大. 设N点的横坐标为t,此时点N(t, t2﹣ t+4)(0<t<5), 如图2,过点N作NG∥y轴交AC于G;作AD⊥NG于D, 由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=﹣ x+4, 把x=t代入得:y=﹣ t+4,则G(t,﹣ t+4), 此时:NG=﹣ t+4﹣( t2﹣ t+4)=﹣ t2+4t, ∵AD+CF=CO=5, ∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AM×NG+ NG×CF= NG?OC= ×(﹣ t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣ )2+ , ∴当t= 时,△CAN面积的最大值为 , 由t= ,得:y= t2﹣ t+4=﹣3, ∴N( ,﹣3). 点评: 本题主要考查了二次函数 与方程、几何知识的综合应用,解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用.

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