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2015年兰州市初中毕业生学业考试 数 学(A) 解析者:浙江省杭州市余杭区临平一中 朱兵 一、选择题(本题有15小题,每小题4分,共60分) 【 答 案 】C 【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念 【解答过程】所谓二次函数,是指形如 的函数,其中 , , 都是常数,且 。 首先,二次函数必须是整式函数,因此D就被排除; 其次,函数的形式,那么它的最高次项是二次,并且由 ,就保证了它一定要含有二次项,所以A也被排除; 再来看B和C的区别:仅从形式上看,似乎没什么区别 ,但由于二次函数必须要求 ,也就是说二次项系数必须不能为0,而这一点上,B选项是没有保证的,所以B选项也不对。这样,只剩下C。 【易错点津】主要看二次项 系数是确定的具体的数,还是含有字母的一般的数 【归纳拓展】如函数 或方程 ,在没有明确给出字母 的取值范围之前,它们未必是关于 的二次函数或二次方程 【题目星级】★★ 【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了三视图 的相关知识,以及考生的空间概念能力 【解答过程】就本题而言,其三视图如图 那么容易 得知只能是选项B。 【题目星级】★★ 【 答 案 】A 【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识 【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式: ,那么其 顶点为 ( , ),对称轴为直线 (也有一些教科书将顶点式表示为 的形式,那么其顶点就是( , ),对称轴为直线 ) 【解答过程】这四个函数中,对称轴分别是A: ;B: ;C: ;D: ,所以只能是选项A 【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时,可以将函数改写为顶点式 的形式,那么只要令 ,其对称轴就便可求之。 【题目星级】★★★ 【 答 案 】D 【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义 【思路点拔】直角三角形中,某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比 【解答过程】Rt△ABC中 ,AC2=AB2+BC2= AB2+(2AB)2=5 AB2, ∴AC= AB,则cosA= ,选D 【解题策略】一般地说,在涉及到某个锐角的三角函数值时,只要将之放到 直角三角形中去,那么问题往往不难解决。 在直角三角形中,我们将夹角α的那条直角边称为邻边,角α所对的那条边称为对边,那么角阿尔法的 各三角函数值分别为 , , 。 如果原题没有图,那么可以自己在草稿纸上画一个示意图;如果是在斜三角形中,那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来,将问题转化到直角三角形中去解决。 【题目星级】★★ 【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识 【思路点拔】根据题意:AO:CO=BO:DO=5:2,而位似中心恰好是坐标原点O,所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍,因此选 B。 【题目星级】★★★ 【 答 案 】C 【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质,以及乘法公式中的相关知识。 【知识准备】完全平方公式: 【解答过程】将各选项左边展开,并整理成一般式: A : , ; B : , ; C: , ; D: , , 因此正确选项为C 【思维模式】此类题的关键在于配方 【一题多解】由于在配方过程中,需要在方程的两边加上相同的一个数;而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”,其实际上也是在方程两边都加上相等的东西,因此,无论方程如何变形,两边增减的“量”都是相等的,所以本题亦可采用如下方式进行: 在原方程中,取 ,此时,左边=-1,右边=0, 在各选择支中,如果变形是正确的话,左边应该始终比右边的值小1,在 时, A左=16,A右=17; B左=16,B右=15,则 (即B被排除); C左=16,C右=17; D左=16,D右=15,则 ; 现在留下A、C两个选项,难道两个都是正确的吗?当然不是。 我们再换一个 的值试试:取 ,那么原式左边=-8,原式右边=0, 也就是说:在同样的条件下,如果是正确的变形,那么一定是满足左边=右边-8,反之,如果不满足这一条件,那么就一定是错的。 当 时,A左=25≠A右-8,所以 这里需要提醒注意的是:这样的方法只能用来排除错误,不能保证正确。 如在本题中,当 时,虽然也有C左=C右-8,但不能就此判言C为正确,但因为A,B,D都 已被排除,所以唯一留下的C选项必为对的。 再啰嗦一句:上面介绍的“特殊值法”,在本题中其实反而显得很笨拙,但如果换个场合,有可能是一个高效、灵活的解题方法。 【题目星级】★★ 【 答 案 】D 【考点 解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定 【解答过程】略 【题目星级】★★★ 【 答 案 】A 【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质 【知识准备】一次函数 的图象是一条直线 ,当 时,这条直线从左到右是上升的;反之,它是下降的; 反比例函数 的图象是双曲线,当 时,其图象分别位于第一、三两个象限,并且在每个象限(注意:仅仅是在该象限之内),图象上的点越来越低(从 左到右);反之,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每个象限内图象位置越来越高。 【解答过程】观察A:从直线的方向向下(从左到右),说明其中的 ;再看双曲线,位于二、四象限,那么其比例系数 ,这样分析并没有看出什么不妥,但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项,因为或许还有哪个地方没有被我们注意 到呢? 观察B:从直线形态来看,应该有 ,但是从双曲线的形态来说,又应该是 ,这里是矛盾的,所以 ; 同样道理,C 也是错误的; 再看D:无论是直线还是双曲线,都满足 ,这里并没有看出什么矛盾。 那么问题来了:A和D,到底哪个才是正确的选项? 当我们感到山重水复时, 如果再静下心来重新读题,很有可能会有新的发现,从而寻找到一条通向柳暗花明之路。 在一次函数 中,如果我们将表达式改写为 ,那么就会发现:无论 取什么值,当 时,其函数值都为0,换句话说:该直线一定通过(1,0)。 从这一点分析,D当然就不符合这样的特征,所以D又被排除了,那么只能选A。 【题目星级】★★★★ 【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆(或等圆)中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角; 当圆周角为直角时,其所对的弦是直径。 【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角,所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中,我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同;再换一种场合,如果连结AB,还有可能需要说明AB是直径,或者点P在AB上。 【题目星级】★★ 【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点 【知识准备】菱形的四条边相等,对角相等,对角线互相垂直平分;等腰三角形底边 上的高线平分底边和顶角。 【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件,可得△AEF是正三角形,而正三角形的面积等于边长的平方的 倍 【解答过程】连结AC和BD, 并记它们的交点为G,则有AC⊥BD ,且AG=CG,BG=CG, △ABC中,AB=CB,∠ABC=60°,所以△ABC是正三角形, 正三角形△ABC中,AE 和BG是中线,也是高线,可求得AE=BG= AB= , △BCD 中,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以EF∥BD,且EF= BD= BG= , 记AC与EF的交点H,因为EF∥BD,AC⊥BD,所以AH ⊥EF, 且由相似形的性质,可得CH= CG= AC=1,则AH=AC-CH=4-1=3, 则 。 【题目星级】★★★★ 【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质 【知识准备】所谓某个量 ,它增长了 ,意味着增长部分是 ,那么它就由原来的 ,增长到了( ),也就是 【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1(如果你觉得不放心,也可以假设为 或 等与现有字母不冲突的任何字母),那么跌停后的价格就是0.9。 之后两天中的第一天 ,是在0.9的基础上增加了 ,那么就是到了 ; 接下去要注意的是:虽然第二天增长率同样为 ,但是起步价变了,已经不是0.9,而是前一天收市之后的 ,它是在 的基础上增加到了 倍(请注意增加和增加到 的区别),因此,现在的股价是 ,也就是 。 【解答过程】跌停后,股价为0.9,连续两天按照 的增长率 增长后,股价为 ,根据题意,得方程 ,那么正确选项为B。 【易错点津】首先必须要分清楚增加(或减少)的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系?其次,这个基础“1”前后是否发生了变化。 【题目星级】★★★ 【 答 案 】D 【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质,以及坐标系中的相关知识点。 【思路点拔】反比例函数 的图象关于原点对称, 既然 ,那么必有 ,所以选D。 【题目星级】★★★ 【 答 案 】A 【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点 【知识准备】以自变量 的值为横坐标,以对应函数值 为纵坐标所确定的点,称为函数图象上的一个点;所有函数图像上的点所构成的集合,称为函数的图象。 【解答过程】点C坐标为(0,c),因为点C在 轴正半轴上,所以CO= , 由已知,OA=OC,且点A在 轴负半轴,所以A( ,0), A( ,0)在抛物线上,则 ,即 , 因为 (否则点C 在原点),所以 ,即 ,所以选A。 【题目星级】★★★★ 【 答 案 】C 【考点解剖】本题考查二次函数 的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点 【知识准备】二次函数 的对称轴为直线 【解答过程】 的图象是一条开口向上,对称轴为 的抛物线, 点P( , )在抛物线上,由图知:当点P在 轴上方( )时,对应部分图形在直线 左侧,或者直线 右侧。此时,对应的 的值(即 的值)为 ,或 ,所以 , ; A选项的“当 时, ”,说的是“当点P在 轴下方时,它位于 轴 的 左侧”,由图可以看出:而这一点未必正确,因为点P也可能在 轴的右侧,所以 ; 由图我们看到:由于抛物线开口向上,且与 轴的交于点A和点B,那么抛物线 上位于A,B两点之间部分在 轴下方;翻过来,当图象居于 轴下方时,对应的点必定在直线 和直线 之间,也就是说:当 时, ,所以选C。 【题目星级】★★★★ 【 答 案 】A 【考点解剖】本题考查的是矩形性质,弧长的计算 【知识准备】矩形的对角线相等,且互相平分;半径为 ,圆心角为 的弧的长度为 【解答过程】连结OP,由 矩形性质知:OP=MN,且它们相交于中点Q, 则当点P沿着圆周转过45°时,点Q在以O为圆心,以OQ=1为半径的圆周上转过45°,因此只要求出以1为半径,45°圆心角所对弧的长便可。 弧长计算公式忘记了怎么办?没关系,临时推导一下就行:整个圆的周长是 ,那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额: ,即 。 【题目星级】★★★★ 二、填空题(本题有5小题,每小题4分,共20分) 【 答 案 】2015 【考点解剖】本题考查了方程的解的概念 【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值,称为方程的解。 【解答过程】因为 是方程的解,所以 , 即 ,所以 【题目星级】★★ 【 答 案 】3 【考点解剖】本题考查比例的基本性质 【解答过程】因为 ,且 ,所以 , 而 ,即 ,所以 。 【一题多解】因为 ,所以 , , , 而 ,即 , 因为 ,所以 。 【题目星级】★★★ 【 答 案 】10 【考点解剖】本题考查概率和频率 【知识准备】当独立随机实验的次数足够大时,某现象发生的频率总在概率附近波动 【解答过程】由列表知:摸出黑球的频率约为0.500, 所以所有小球的数量约10个 【题目星级】★★ 【 答 案 】S1=S2 【考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象,图形的面积变换,平面直角坐标系 【知识准备】坐标平面内点P( , )到 轴和 轴的距离分别是 和 ; ,等底等高的两个三角形面积相等 【思路点拔】如果点B和点M在原点处,那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的, 但现在这两个三角形都在半途,我们自然想到如何将之与△APO和△QNO联系? 画出图形后,我们发现:只要能说明S△PBO=S△QMO,那么问题便可解决。 【解答过程】分别连结PO, QO,设P( , )则有 , 因为点P在 图象上,所以 ,则 ,同样: , 所以 ; 连结BM,因为BQ∥ 轴,PM∥ 轴,则有 , , 所以 ; 因为 , ,所以 , 即S1=S2 【题目星级】★★★★ 【思维模式】碰到新情况,我们要想办法如何将问题向我们熟知的场景转化 【 答 案 】30° 【考点解剖】本题考查同(等)弧所对圆周角和圆心角的关系,正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中,圆周角等于同弧(等弧)所对圆心角的一半, 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。 【思路点拔】BC=半径,那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形,这样,自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。 【解答过程】分别连结OB和OC,因为BC=OB=OC,所以∠O=60°, 则在⊙O中,∠A= ∠B=30°. 【题目星级】★★ 三、解答题(本题有8小题,共70分。解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 【考点解剖】本题考查特殊角的三角函数值和实数的运算 【解答过程】原式= 【题目星级】★★ 【考点解剖】本题考查一元二次方程的解法 【解答过程】 , , , 所以, , 【题目星级】★★★ 【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,基本作图 【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等, 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【思路点拔】MN是⊙P的弦,那么圆心P到弦的两个端点的距离相等,所以圆心P在线段MN的垂直平分线上; 圆心P到∠AOB两边的距离相等,则P在∠AOB的角平分线上, 所以,圆心P在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点。 【解答过程】作线段MN的垂直平分线 ; 作∠AOB的角平分线,并记之与 的交点为P; 以P为圆心,PM为半径作圆,则⊙P为所求图形。 【易错点津】无论是否要求写出作图过程,千万不要漏写结论。 在书写结论时,一定 要写明哪个图形是所求作的 图形,是哪一条线段?还是哪个角?或者是哪个点等,千万不要笼统地说“如图为所求图形”。 例如在本题中,所求的图形是一个圆,那么结论就应该很明确地说“⊙P为所求图形”。 【题目星级】★★★★ 【考点解剖】本题考查树状图的画法 【解答过程】(1)三次传球所有可能的情况如图: (2)由图知:三次传球后,球回到甲的概率为P(甲)= ,即 ; (3)由图知:三次传球后,球回到乙的概率为P(乙)= , P(乙)>P (甲),所以是传到乙脚下的概率要大。 【题目星级】★★ 【考点解剖】本题考查投影和相似的相关知识点 【知识准备】太阳光照射下的投影是平行投影; 相似图形对应边的比等于它们的相似比; 矩形对边相等。 【思路点拔】假若影子完全落在地面上,那么根据两个三角形相似,很容易 就可以求出答案; 现在既然是落在墙上的 投影影响我们的解题,很容易就想到如何消除墙上影子的影响?自然而然地,就想到了只要过墙上影子的顶端,作地平线的平行线,这样问题就可以解决了。 【解答过程】分别作EM⊥AB,GN⊥CD,垂足分别是M,N,则 有△AEM∽△CGN,MB=EF=2,ME=BF=10,ND=GH=3,NG=DH=5, 所以,AM= AB-MB=10-2=8,CN=CD-ND=CD-3, ∵△CGN∽△AEM, ∴ , 即 , ∴CD=7 【题目星级】★★★ 25.(本小题满分9 分)如图,四边形ABCD中AB∥CD,AB≠CD,BD=AC。 ( 1)求证:AD=BC; (2)若E,F,F,H分别是AB,CD,AC,BD的中点 , 求证:线段EF与线段GH互相垂直平分。 【考点解剖】本题考查特殊四边形的性质,和等腰三角形性质中的相关知识点。 【知识准备】在同一个三角形中,相等的边所对的角相等; 平行四边形对边相等 【思路点拔】(1)要说明AD=BC,只要能说明△ACD≌△BDC, 现已有AC=BD,CD=DC,那么关键是如何说明∠1=∠2; 这里需要注意的是 :由AC =BD,并不能直接得出结论∠1=∠2,因为AC和BD并非同一个三角形中的元素。 能否以某一角为媒介,使得∠1和∠2都与之相等? 结合已知条件中的AC=BD,如果能够构造出以AC和BD为其中两边的三角形,那么它们所对的角自然相等。 为此,可将AC平移,使点A到点B位置(如图),那么有∠2=∠K,而∠K=∠1,则有∠2=∠1,问题得以解决; (2)要说明线段EF与线段GH互相垂直平分,只要能说明线段EF与GH 是菱形的两条对角线即可。 【解答过程】(1)延长 DC至K,使CK=AB,∵AB CK,∴四边形ABKC是平行四边形, 则在□ABKC中,有AC BK,∴∠1=∠K, ∵BD=AC,AC=BK,∴BD=BK,则有∠2=∠K , ∵∠2=∠ K,∠ 1=∠K,∴∠1=∠2 。 △ACD和△BDC中,∵ , ∴△ACD≌△BDC(SAS), ∴AD=BC ; (2)分别连结EH,HF,FG和GE, ∵E,H分别是AB,DB的 中点, ∴EH AD, 同理:GF AD,EG BC,HF BC, ∵AD=BC,∴EH=HF=FG=GE, ∴四边形EHFG是菱形, ∴EF与GH互相垂直平分(菱形的对角线互相垂直平分)。 【题目星级】★★★★ 【解题策略】很多时候,在直接说明某两个量相等(如本题中需证明∠1=∠2)有困难时,我们往往可以寻找第三方媒介,分别说明目标的两个量 与第三方的这个量相等,从而达到说明两个目标量相等的目的。 例如证明本题中的∠ 1=∠2,以及本卷第19题中的 ,或者S1=S2。 【考点解剖】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质,直角坐标系,三角形面积,数形结合思想 【知识准备】三角形面积= 底边长×高线长, 某一点在某函数的图象上,那么意味着当自变量取值该点的横坐标时,该函数的函数值为该点的纵坐标。因此,从图象上我们可以看出:点的位置越往右,对应的 的值就越大;点的位置越往上,对应的函数值就越大。 【思路点拔】(1)所谓的 ,也就是 ,说明对于同样的 直线上的点必须在双曲线的上方, 从图中我们可以看到:在第二象限 ,只有线段AB(不包括两个端点)才居于双曲线的上方,而点A和B的坐标均为已知; (3)△PCA和△PDB的面积,均随着点P位置的改变而改变, 而其中AC和BD都是固定的,所以只要确定了点P,这两三角形的面积也就随之确定, 既然点 P在直线AB上,在解决了(2)之后,点P的横坐标和纵坐标之间的关系也就受到约束,它们之间可以互相用另一个量来表示。 【解答过程】(1 )由图象知:当 时, ; (2)∵一次函数的图象经过A(-4, ),B(-1,2)两点 ∴ ,求得 , ,∴所求直线为 ; ∵函数 的图象过B( -1,2), ∴ ,则 , , ∴所求一次函数为 , ; (3)设点P( , ),∵点P在线段AB上,∴-4≤ ≤-1, ∵A(-4, ),B(-1,2), ∴AC= ,BD=1; 分别作点P到AC和BD的垂线段PE和PH,E和H是垂足(如图), 则PE= (- 4≤ ≤-1),PH= , ∵点P( , )在直线 上,∴ , 则PH= , ∴ , , ∵ ,即 ,∴ ,则 ∴P( , ) 【题目星级】★★★★ 【归纳拓展】如果我们将(3)中的“P是线段AB上一点” 改为“P是直线AB上一点”,情况会有什么变化? 从上面解答过程中我们不难知道:当点P的位置不同时,PE和PH的表达式也会因点P的位置不同而 改变: 当点P在点A的左下方时, ,PE= ,PH= , 此时,根据 建立起来的方程无解,也就是没有满足条件的点P存在; 当点P在点B的右上方时, ,PE= ,PH= , 此时,根据 建立起来的 方程无解,也就是没有满足条件的点P存在; 【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系,扇形面积计算 【知识准备】过直径 的端点,且与直径垂直的直线是圆的切线 【思路点拔】(1 )我们当然很容易就猜想到BC是⊙O的切线,为此,只要连结OD, 证明OD⊥BC即可; (2)只要求出△OBD的面积和扇形ODE的面积,那么两者之差便为阴影部分的面积 【解答过程】(1)连结OD,∵OA=OD,∴∠2=∠3, ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2, 而∠2=∠3,∴∠1 =∠3, ∴OD∥AC(内错角相等,两直线平行), ∴∠ODB=∠C=90°(两直线平行,同位角相等) 即OD⊥BC, ∴BC是⊙O的切线(过直径的一个端点,且与直径垂直的直线是圆的切线); (2)①过点O作AC的垂线段OH,则OH∥BC,∠AOH=∠B= 30°, Rt△AOH中,AH=AO?sin∠AOH=AO ?sin30°= AO, 矩形CDOH中,CH =OD,而OD=OA, ∵AC=AH +CH,即3= AO+AO, ∴AO=2 ,即⊙O的半径为2; ②Rt△OBD中,∠BOD=90°-∠B=60°,则BD =DO?tan60°= , , , ∴ 。 【题目星级】★★★★ 【解题策略】涉及到非常规图形的面积问题时,我们通常采用的是割补的方法,将问题转化为常规图形的面积问题来解决 【考点解剖】本题考查函数与图象,平面直角坐标系,韦达定理以及勾股定理等相关知识点 【知识准备】三角形中,如果有两边的平方和等于第三边的平方,那么该三角形是直角三角形。 【思路点拔】要说明某三角形是否直角三角形,只要确定是否有两条边的平方和等于第三边的平方 【解答过程】(1)∵函数 的图象经过点(2,1),则 ,∴ , ∴所求函数为 ; (2)①当 时,一次函数为 , 解方程组 , 得两函数图象的交点为A(-2,1),B(8,16), 分别作点 A和点B到 轴的垂线段AM,BN,并作点A到BN的垂线段AG, 则M(-2,0),N(8,0),G(8,1), 那么有AM=1,BN=16,MO=2 ,NO=8,AG=10 ,BG=15, Rt△ABG中,AB2=AG2+BG2=102+152=325 ,同样的,可求得AO2=5,BO2=320, △AOB中,∵AO2+BO2=325= AB2, ∴△AOB是直角三角形; ②∵A( , ),B( , )是抛物线 与直线 的交点 , 所以( , ),( , )是方程组 的两个 解, 也就是说: , 是方程 的两个实数 解, 将该方程改写为 ,则有 , , 由①的解题过程,我们可以得到:AB2= , ∵ A( , ),B( , )在直线 上, ∴ , ,则 , ∴AB2= , ∵ , , ∴ , ∴AB2= ; 同样的,AO2= , BO2= , AO2+ BO2= [ ]+[ ] = , 而 , ∴AO2+ BO2= 则AO2+ BO2= = BO2,∴△AOB是直角三角形; (3)无论 取什么值,△AOB都是直角三角形 。 【题目星级】★★★★★ 【思维模式】对于结论不确定的问题,首先是需要 猜想结论 是什么,然后是证实或否定结论。 如:本卷中第27(1)题,先是猜想切线,然后就朝着切线的目标去证实; 再比如本题中的(2)②,我们首先需要猜想△AOB究竟是不是直角三角形,然后再加以证明或否定。

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