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第二章 函数 §5 简单的幂函数 (本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.函数f(x)=|x|+1是(  ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】 函数定义域为R, f(-x)=|-x|+1=f(x), ∴f(x)是偶函数,故选B. 【答案】 B 2.下列函数中,定义域为R的是(  ) A.y=x-2 B. C.y=x2 D.y=x-1 【解析】 对A,由y=x-2=1x2知x≠0;对B, =x,知x≥0;对D,由y=x-1=1x知x≠0,故A、B、D中函数定义域均不为R,从而选C. 【答案】 C 3.函数y=(x+2)(x-a)是偶函数,则a=(  ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 【解析】 结合选项,a=2时,f(x)=x2-4是偶函数,故选A. 【答案】 A 4.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(  ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【解析】 α=1,3时,定义域为R,α=-1,1,3时为奇函数, ∴α=1,3时符合题意. 【答案】 A 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=________. 【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 故f(-x)=-f(x), 所以f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5. 【答案】 -5 6.已知函数f(x)=?12?x-3 ?x≤0?x12  ?x>0?,已知f(a)>1,则实数a的取值范围是________. 【解析】 若(12)a-3>1,则a<-2; 若a12>1,则a>1. 综上所述,a<-2或a>1. 【答案】 a<-2或a>1 三、解答题(每小题10分,共20分) 7.判断函数f(x)=2x+3    ?x>0?0 ?x=0?2x-3 ?x<0?的奇偶性. 【解析】 ①当x>0时,-x<0, 则f(-x)=2?(-x)-3=-(2x+3) =-f(x) ②当x<0时,-x>0 f(-x)=-2x+3=-(2x-3) =-f(x) ③当x=0时,f(0)=0 即f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 8.已知幂函数 ,当x∈(0,+∞)时为减函数,则该幂函数的解析式是什么?奇偶性如何?单调性如何? 【解析】 由于 为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1. 当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3,在(0,+∞)上为减函数; 当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上为常函数,不合题意,舍去. 故所求幂函数为y=x-3.这个函数是奇函数,其定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),根据函数在x∈(0,+∞)上为减函数,推知函数在(-∞,0)上也为减函数. 9.(10分)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求f(x)的解析式; (2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间. 【解析】 (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2, 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=x2+2x-2, 又f(0)=0,∴f(x)=x2+2x-2    ?x<0?0 ?x=0?-x2+2x+2 ?x>0?. (2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示: 由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1], 减区间为(-∞,-1]及[1,+∞).

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