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南通 市2014年中考数学试卷最后一题解析 【试题】如图,抛物线y=-x +2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C,顶点为D,对称轴与BC交于E. (1) 求DE的长, (2) 设过E的直线与抛物线 y=-x +2x+3与x轴相交于M(x ,y ),N(x ,y )试判断当 的值最小时,直线MN与x轴的位置关系, (3) 设P为x轴上的一点,∠DAO+∠DPO=∠α,当tan ∠α=4时 , 求P的坐标 . 【解析】(1)略 ( 2)∵E的坐标为(1,2)∴用待定系数法得直线MN的解析式为y=(2-b)x+b 点M,N的 坐标是方程组 的解,用代入法将方程组化为 关于x的一元二次方程,得x -bx+b-3=0,由韦达定理得,x + x =b,x x = b-3, ∵ = = = = , ∴当b=2时, 最小值=2 .∵b=2,∴ 直线 MN的解析式为y =2,∴直线MN∥x轴. (4) 有 三种解法 : ① 如图1,这里数学机智灵活的同学易 发现tan∠DOH=4,又∵tan∠α=4,∴∠DOH=∠α,应用三角形外角定理与∠ DAO+∠DPO=∠α,得∠DPO=∠ADO,显然△ADP∽△AOD,从而得AD = AO?AP ,而AD =20,AO=1,因此AP =20,∴OP =19,由对称性OP =17,∴P (19,0) P (-17,0) ②③ 如图2,应用三角形外角定理转化出∠α.延长AD,过P 作P F ⊥AF于F,显然∠FD P =∠α,AD=2 ,∵tan∠α=4, 设DF=m, 则P F=4m,△ADH∽△A P F,则 解得m=2 ,∴AF =4 ,P F=8 ,在 直角三角形AF P 中由勾股定理得,AP =20, 以下与方法①相同 . ③如图3, 如果高中生来解很简单,应用三角公式tan(β+γ )= ∵∠α=∠β+∠γ,tan∠α=4,tan∠β=2 tan ∠γ= ,将以上条件代入三角公式tan(β+γ )= ,可解 得H P =18,以下与方法①相同.

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