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广东省珠海市2014年中考数学试卷   一、选择题(本大题5小题,每小题3分,共15分)在毎小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应題目所选的选项涂黑. 1.(3分)(2014?珠海)﹣ 的相反数是(  )   A. 2 B. C. ﹣2 D. ﹣ 考点: 相反数 . 专题: 计算题. 分析: 根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数,﹣ 的相反数为 . 解答: 解:与﹣ 符号相反的数是 ,所以﹣ 的相反数是 ; 故选B. 点评: 本题主要相反数的意义,只有符号不同的两个数互为相反数,a的相反数是﹣a.   2.(3分)(2014?珠海)边长为3cm的菱形的周长是(  )   A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 15cm 考点: 菱形的性质. 分析: 利用菱形的各边长相等,进而求出周长即可. 解答: 解:∵菱形的各边长相等, ∴边长为3cm的菱形的周长是:3×4=12(cm). 故选:C. 点评: 此题主要考查了菱形的性质,利用菱形各边长相等得出是解题关键.   3.(3分)(2014 ?珠海)下列计算中,正确的是(  )   A. 2a+3b=5ab B. (3a3)2=6a6 C. a6+a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣ a 考点: 合并同类项;幂的乘方与积的乘方. 分析: 根据合并同类项,积的乘方,等于先把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:A、不是同类二次根式,不能加减,故本选项错误; B、(3a3)2=9a6≠6a6,故本选项错误; C、不是同类二次根式,不能加减,故本选项错误; D、﹣3a+2a=﹣a正确 故选:D. 点评: 本题主要考查了合并同类项,积的乘方 ,等于先把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;熟记计算法则是关键.   4.(3分)(2014?珠海)已知圆柱体的底面半径为3cm,髙为4cm,则圆柱体的侧面积为 (  )   A. 24πcm2 B. 36πcm2 C. 12cm2 D. 24cm2 考点: 圆柱的计算. 分析: 圆柱的侧面积=底面周长×高,把相应数值代入即可求解. 解答: 解:圆柱的侧面积=2π×3×4=24π. 故选A. 点评: 本题考查了圆柱的计算,解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法.   5.(3分)(2014?珠海)如图,线段AB是⊙O的直径, 弦CD丄AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于(  )   A. 160° B. 150° C. 140 ° D. 120° 考点: 圆周角定理;垂径定理. 分析: 利用垂径定理得出 = ,进而求出∠BOD=40°,再利用邻补角的性质得出答案. 解答: 解:∵线段AB是⊙O的直径,弦CD丄AB, ∴ = , ∵∠CAB=20°, ∴∠BOD=40°, ∴∠AOD=140°. 故选:C. 点评: 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识,得出∠BOD的度数是解题关键.   二、填空题(本大题5小题,毎小题4分,共 20分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 6.(4分)(2014?珠海)比较大小:﹣2 > ﹣3. 考点: 有理数大小比较 分析: 本题是基础题,考查了实数大小的比较.两负数比大小,绝对值大的反而小;或者直接想象在数轴上比较,右边的数总比左边的数大. 解答: 解:在两个负数中,绝对值大的反而小,可求出﹣2>﹣3. 点评: (1)在以向右方向为正方向的数轴上两点,右边的点表示的数比左边的点表示的数大. (2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数. (3)两个正数中绝对值大的数大. (4)两个负数中绝对值大的反而小.   7.(4分)(2014?珠海)填空:x2﹣4x+3=(x﹣ 2 )2﹣1 . 考点: 配方法的应用. 专题: 计算题. 分析: 原式利用完全平方公式化简即可得到结果. 解答: 解:x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1. 故答案为:2 点评: 此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.   8.(4分 )(2014?珠海)桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球,小红不慎遗失了其中2个红球,现在从桶里随机摸出一个球,则摸到白球的概率为   . 考点 : 概率公式 . 分析: 由桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球,小红不慎遗失了其中2个红球,直接利用概率公式求解即可求得答案. 解答: 解:∵桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球, 小红不慎遗失了其中2个红球, ∴现在从桶里随机摸出一个球,则摸到白球的概率为: = . 故答案为: . 点评: 此题考查了概率公式的应用 .用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.   9.(4分)(2014?珠海)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,則它的对称轴为 直线x=2 . 考点: 二次函数的性质 分析: 点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横坐标可求对称轴. 解答: 解:∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同, ∴这两点一定关于对称轴对称, ∴对称轴是:x= =2. 故答案为:直线x= 2. 点评: 本题主要考查了抛物线的对称性,图象上两点的纵坐标相同,则这两点一定关于对称轴对称.   10.(4分)(2014?珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt △OA2A3,…则OA4的长度为 8 . 考点: 等腰直角三角形 专题: 规律型. 分析: 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,进而得出答案. 解答: 解:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1, ∴AA1=OA=1,OA1= OA= ; ∵△OA1A2为等腰直角三角形, ∴A1A2=OA1= ,OA2= OA1= 2; ∵△OA2A3为等腰直角三角形, ∴A2A3=OA2=2,OA3= OA2=2 ; ∵△OA3A4为等腰直角三角形, ∴A3A4=OA3=2 ,OA4= OA3=8. 故答案为:8. 点评: 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理,熟练应用勾股定理得出是解题关键.   三、解答题(一)(本大题5小题,毎小题6分,共30分> 11.(6分)(2014?珠海)计算:( )﹣1﹣( ﹣2)0﹣|﹣3|+ . 考点: 实数的运算 ;零指数幂;负整数指数幂. 分析: 本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式= ﹣1﹣3+2=2﹣1﹣3+2=0. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简等考点的运算.   12.(6分)(2014?珠海)解不等式组: . 考点: 解一元一次不等式组. 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: ,由①得,x>﹣2,由②得,x≤﹣1, 故此不等式组的解集为:﹣2<x≤﹣1. 点评 : 本题解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的法则是解答此题的关键.   13.(6分)(2014?珠海)化简:(a2+3a)÷ . 考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 原式第二项约分后,去括号合并即可得到结果. 解答: 解:原式=a(a+3)÷ =a(a+3)× =a. 点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   14.(6分)(2014?珠海)某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目,要求毎位学生必须且只需选考其中一项,该市东风中学初三(2)班学生选考三个项目的人数分布的条形统计图和扇形统计图如图所示. (1)求该班的学生人数; (2)若该校初三年级有1000人,估计该年级选考立定供远的人数. 考点: 条形统计图;扇形统计图 专题 : 计算题. 分析: ( 1)根据跳绳的人数除以占的百分比,得出学生总数即可; (2)求出立定跳远的人数占总人数的百分比,乘以1000即可得到结果. 解答: 解:(1)根据题意得:30÷60%=50(人), 则该校学生人数为50人; (2)根据题意得:1000× =100(人), 则估计该年级选考立定供远的人数为100人. 点评: 此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关键.   15.(6 分)(2014?珠海)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹) (2)连结AP,当∠B为 30 度时,AP平分∠CAB. 考点: 作图—基本作图;线段垂直平分线的性质 分析: (1)运用基本作图方法,中垂线的作法作图, (2)求出∠PAB=∠PAC=∠B,运用直角三角形解出∠B. 解答: 解:(1)如图, (2)如图, ∵PA=PB, ∴∠PAB=∠B, 如果AP是角平分线,则∠PAB=∠PAC, ∴∠PAB =∠PAC=∠B, ∵∠ACB=90°, ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°, ∴∠B=30°时,AP平分∠CAB. 故答案为:30. 点评: 本题主要考查了基本作图,角平分线的知识,解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识.   四、解答题(二)(本大题4小题,毎小题7分,共28分> 16.(7分)(2014?珠海)为庆祝商都正式营业, 商都推出了两种购物方案.方案一:非会员购物所有商品价格可获九五折优惠,方案二:如交纳300元会费成为该商都会员,则所有商品价格可获九折优惠 . (1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式; (2)若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱? 考点: 一次函数的应用 分析: (1)根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可; (2)分别把x=5880,代入(1)中的函数求得数值,比较得出答案即可. 解答: 解:(1)方案一:y=0.95x; 方案二:y=0.9x+300; (2)当x=5880时, 方案一:y=0.95x=5586, 方案二:y =0.9x+300=5592, 5586<5592 所以选择方案一更省钱. 点评: 此题考查一次函数的运用,根据数量关系列出函数解析式,进一步利用函数解析式解决问题.   17.(7分)(2014?珠海)如图,一艘渔船位于小岛M 的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处. (1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M 之间的最小距离(结果用根号表示); (2)若渔船以 20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45) 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题. 分析: (1 )过点M作MD⊥AB于点D,根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°,再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案; (2)在Rt△DMB中,根据∠BMF=60°,得出∠DMB=30°,再根据MD的值求出MB的值,最后根据路程÷速度=时间,即可得出答案. 解答: 解:(1)过点M作MD⊥AB于点D, ∵∠AME=45°, ∴∠AMD=∠MAD=45°, ∵AM=180海里, ∴MD=AM?cos45°=90 (海里), 答:渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90 海里; (2)在Rt△DMB中, ∵∠BMF =60°, ∴∠DMB=30°, ∵MD=90 海里, ∴MB= =60 , ∴60 ÷20=3 =3×2. 45=7.35≈7.4(小时), 答:渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时. 点评: 本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形 ,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.   18.(7分)(2014?珠海)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3 ,线段AB为半圆O的直径,将Rt△ABC沿射线AB方向平移,使斜边与半圆 O相切于点G,得△DEF,DF与BC交于点H. (1)求BE的长; (2)求Rt△ABC与△DEF重叠(阴影)部分的面积. 考点: 切线的性质;扇形面积的计算;平移的性质 专题 : 计算题. 分析: (1)连结OG ,先根据勾股定理计算出BC=5,再根据平移的性质得AD=BE,DF=AC=3,EF=BC=5,∠EDF=∠BAC=90°,由于EF与半圆O相切于点 G,根据切线的性质得OG⊥EF,然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD,利用相似比可计算出OE= ,所以BE=OE﹣OB= ; (2)求出BD的长度,然后利用相似比例式求出DH的长度,从而求出 △BDH,即阴影部分的面积. 解答: 解:(1)连结OG,如图, ∵∠ BAC=90°,AB=4,AC=3, ∴BC= =5, ∵Rt△ABC沿射线 AB方向平移,使斜边与半圆O相切于点G,得△DEF, ∴AD=BE,DF=AC=3,EF=BC=5,∠EDF=∠BAC= 90°, ∵EF与半圆O相切于点 G, ∴OG⊥EF , ∵AB=4,线段AB为半圆O的直径, ∴OB=OG=2, ∵∠GEO=∠DEF, ∴Rt△EOG∽Rt△EFD, ∴ = ,即 = ,解得OE= , ∴BE=OE﹣OB= ﹣2= ; (2)BD=DE﹣BE=4﹣ = . ∵DF∥AC, ∴ ,即 , 解得:DH=2. ∴S阴影=S△BDH= BD?DH= × ×2= , 即Rt△ABC与△DEF重叠(阴影)部分的面积为 . 点评: 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质.   19.(7分)(2014?珠海)如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD关于y轴对称,边在AD在x轴上,点B在第四象限,直线BD与反比例函数y= 的图象交于点B、E. (1)求反比例函数及直线BD的解析式; (2)求点E的坐标. 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)根据正方形的边长,正方形关于y轴对称,可得点A、B、D的坐标,根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据两个函数解析式,可的方程组,根据解方程组,可得答案. 解答: 解:(1)边长为2的正方形ABCD关于y轴对称,边在AD在x轴上,点B在第四象限, ∴A(1,0),D (﹣1,0),B(1,﹣2). ∵反比例函数y= 的图象过点B, ∴ ,m=﹣2, ∴反比例函数解析式为y=﹣ , 设一次函数解析式为y=kx+b, ∵y=kx+b的图象过B、D点, ∴ ,解得 . 直线BD的解析式y=﹣x﹣1; (2 )∵直线BD与反比例函数y= 的图象交于点E, ∴ ,解得 ∵B(1,﹣2), ∴E(﹣2,1). 点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用待定系数法求解析式,利用方程组求交点坐标.   五、解答题(三)(本大题3小题,毎小题9分,共27分) 20 .(9分)(2014?珠海)阅读下列材料: 解答“已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围” 有如下解法: 解∵x﹣y=2,∴x=y+2 又∵x>1,∵y +2>1.∴y>﹣1. 又∵y<0,∴﹣1<y<0. …① 同理得:1<x<2. …② 由①+②得﹣1+1<y+x<0+2 ∴x+y的取值范围是0<x+y<2 请按照上述方法,完成下列问题: (1)已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 1<x+y<5 . (2)已知y>1,x<﹣1,若x﹣y=a成立, 求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示). 考点: 一元一次不等式组的应用. 专题: 阅读型. 分析: (1)根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可; (2)理解解题过程,按照解题思路求解. 解答: 解:(1)∵x﹣y=3, ∴x=y+3, 又 ∵x>2, ∴y+3>2, ∴y>﹣1. 又∵y<1, ∴﹣1<y<1,…① 同理得:2<x<4,…② 由①+②得﹣1+2 <y+x<1+4 ∴x+y的取值范围是1<x+y<5; (2)∵x﹣y=a, ∴x=y+a, 又∵x<﹣1, ∴y+a<﹣1, ∴y<﹣a﹣1, 又∵y>1, ∴1<y<﹣a﹣1,…① 同理得:a+1<x<﹣1,…② 由①+②得1+a+1<y+x<﹣a﹣1+(﹣1), ∴x+y的取值范围是a+ 2<x+y<﹣a﹣2. 点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是仔细阅读材料,理解解题过程,难度一般.   21.(9分)(2014 ?珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连结EF与边CD相交于点G,连结BE与对角线AC相交于点H,AE= CF,BE=EG. (1)求证:EF∥AC; (2)求∠BEF大小; (3)求证: = . 考点: 四边形综合题 分析: (1)根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定. (2)先确定三角形GCF是等腰直角三角形,得出 CG=AE,然后通过△BAE≌△BCG,得出BE=BG=EG,即可求得. (3)因为三角形BEG是等边三角形,∠ABC= 90°,∠ABE=∠CBG,从而求得∠ABE=15°,然后通过求得△AHB∽△FGB,即可求得. 解答: 解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BF, ∵AE=CF, ∴四边形ACFE是平行四边形, ∴EF∥AC, ( 2)连接 BG, ∵EF∥AC, ∴∠F=∠ ACB=45°, ∵∠GCF=90°, ∴∠CGF=∠F=45°, ∴CG=CF, ∵AE=CF, ∴AE=CG, 在△BAE与△BCG中, , ∴△BAE≌△BCG(SAS) ∴BE=BG, ∵BE=EG, ∴△BEG是等边三角形, ∴∠BEF=60°, (3)∵△BAE≌△BCG, ∴∠ABE=∠CBG, ∵∠BAC=∠F=45°, ∴△ AHB∽△FGB, ∴ = = = = = = , ∵∠EBG=60°∠ABE =∠CBG,∠ABC=90°, ∴∠ABE=15°, ∴ = . 点评: 本题考查了平行四边形的判定及性质,求得三角形的判定及 性质 ,正方形的性质,相似三角形的判定及性质,连接BG是本题的关键.   22.(9分)(2014?珠海)如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,2 ).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、 P、N、D,连结MH. (1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G、O、E三点, 则它的解析式为: y= x2﹣ x ; (2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标; (3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设△PQH的面积为s ,当 时,确定点Q的横坐标的取值范围. 考点: 二次函数综合题 分析: (1)求解析式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出. (2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为 OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0. (3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得关系式再代入 ,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制. 解答: 解:(1)如图1,过G作GI⊥CO于I,过E作EJ ⊥CO于J, ∵A(2,0)、C(0,2 ), ∴OE=OA=2,OG=OC=2 , ∵∠GOI=30°,∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°, ∴GI=sin30°?GO= = , IO=cos30°?GO= = 3, JO=cos30°?OE= = , JE=sin30°?OE= =1, ∴G(﹣ ,3),E( ,1), 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c, ∵经过G、O、E三点, ∴ , 解得 , ∴y= x2﹣ x. (2)∵四边形OHMN为平行四边形, ∴MN∥OH,MN=OH, ∵OH= OF, ∴MN为△OGF的中位线, ∴xD=xN= ?xG=﹣ , ∴D(﹣ ,0). (3)设直线GE的解析式为y=kx+b, ∵G(﹣ ,3),E( ,1), ∴ , 解得 , ∴y=﹣ x+2. ∵Q在抛物线y= x2﹣ x上, ∴设Q的坐标为(x, x2﹣ x), ∵Q在R、E两点之间运动, ∴﹣ <x< . ① 当﹣ <x<0时, 如图2,连接PQ,HQ,过点Q 作QK∥y轴,交GE于 K,则K(x,﹣ x+2), ∵S△PKQ= ? (yK﹣yQ)?(xQ﹣xP), S△HKQ= ?(yK﹣yQ)?(xH﹣xQ), ∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ= ?(yK﹣yQ)?(xQ﹣xP)+ ?(yK﹣yQ)?(xH﹣xQ) = ?(yK﹣yQ)?(xH﹣xP)= ?[﹣ x+2﹣( x2﹣ x)]?[0﹣(﹣ )]=﹣ x2+ . ②当0≤x< 时, 如图2,连接PQ,HQ,过点Q作QK∥y轴,交GE于K,则K(x,﹣ x+2), 同理 S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ= ?(yK﹣yQ)?(xQ﹣xP)﹣ ?(yK﹣yQ )?(xQ﹣xH) = ?(yK﹣yQ)? (xH﹣xP)=﹣ x2+ . 综上所述,S△PQH=﹣ x2+ . ∵ , ∴ <﹣ x2+ ≤ , 解得﹣ <x< , ∵﹣ <x< , ∴﹣ <x< . 点评: 本题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.

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