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2014年浙江省舟山市中考数学试卷 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分.请选出各题中唯一的正确选项,不选多选 、错选,均不得分) 1.(3分)(2014年浙江舟山)﹣3的绝对值是(  )   A. ﹣3 B. 3 C. D. 考点: 绝对值. 专题: 计算题. 分析: 计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号. 解答: 解:|﹣3|=3. 故﹣3的绝对值是3. 故选B. 点评: 考查了绝对值的定义,绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值 是它的相反数;0的绝对值是0.   2.(3分)(2014年浙江舟山)一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下:6,7,9,8,9,这5个数据的中位数是(  )   A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 考点: 中位数. 分析: 根据中位数的概念求解. 解答: 解:这组数据按照从小到大的顺序排列 为:6,7,8,9,9, 则中位数为:8. 故选C. 点评: 本题考查了中位数的知识:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的 中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.   3.(3分)(2014年浙江舟山)2013年12月15日,我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面,月球离地球平均距离是384 400 000米,数据384 400 000用科学记数法表示为(  )   A. 3.844×108 B. 3.844×107 C. 3.844×109 D. 38.44×109 考点: 科学记数法—表示较大的数 . 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于384 400 000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8. 解答: 解:384 400 000=3.844×108. 故选A. 点评: 此题考查科学记数法表示较大的数的方法 ,准确确定a与n值是关键.   4.(3分)(2014年浙江舟山)小红同学将自己5月份的各项消费情况制作成扇形统计图(如图),从图中可看出(  )   A. 各项消费金额占消费总金额的百分比   B. 各项消费的金额   C. 消费的总金额   D. 各项消费金额的增减变化情况 考点 : 扇形统计图. 分析: 利用扇形统计图的特点结合各选项利用排除法确定答案即可. 解答: 解:A、能够看出各项消费占总消费额的百分比,故选项正确; B、不能确定各项的消费金额,故选项错误; C、不能看出消费的总金额,故选项错误; D、不能看出增减情况,故选项错误. 故选A. 点评: 本题考查了扇形统计图的知识,扇形统计图能清楚的反应各部分所占的百分比,难度较小.   5.(3分)(2014年浙江舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(  )   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点 : 垂径定理;勾股定理. 分析: 根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长. 解答: 解:∵CE=2,DE=8, ∴OB=5, ∴OE=3, ∵AB⊥CD, ∴在△OBE中,得BE=4, ∴AB=2BE=8, 故选D. 点评: 本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.   6.(3分)(2014年浙江舟山)下列运算正确的是(  )   A. 2a2+a=3a3 B. (﹣a)2÷a=a C. (﹣a)3?a2=﹣a6 D. (2a2)3=6a6 考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 专题: 计算题. 分析: A、原式不能合并,错误; B、原式先计算乘方运算,再计算除法运算即可得到结果; C、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用幂的乘方及积的乘方 运算法则计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式不能合并,故选项错误; B、原式=a2÷a=a,故选项 正确; C、原式=﹣a3?a2=﹣a5, 故选项错误; D、原式=8a6,故 选项错误. 故选B. 点评: 此题考查了同底数幂的乘除法,合并同类项,以及完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.   7.(3分)(2014年浙江舟山)如图,将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若△ABC的周长为16cm,则四边形ABFD的周长为(  )   A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm 考点: 平移的性质. 分析: 根据平移的基本性质,得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF= 2+AB+BC+2+AC即可得出答案. 解答: 解:根据题意,将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF, ∴AD=2cm,BF=BC+CF=BC+2cm,DF=AC; 又∵AB+BC+AC=16cm, ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+ 2+AC=20cm. 故选C. 点评: 本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.得到CF=AD,DF=AC是解题的关键.   8.(3分)(2014年浙江舟山)一个圆锥 的侧面展开图是半径为6的半圆,则这个圆锥的底面半径为(  )   A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 考点: 圆锥的计算. 分析: 半径为6的半圆的弧长是6π,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,因而圆锥的底面周长是6π,然后利用弧长公式计算. 解答: 解:设圆锥的底面半径是r, 则得到2πr=6π, 解得:r=3, 这个圆锥的底面半径是3. 故选D. 点评: 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥 的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面 展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.   9.(3分)(2014年浙江舟山)如图,在一张矩形纸片 ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点,现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处,折痕为AH,若HG延长线恰好经过点D,则CD的长为(  )   A. 2cm B. 2 cm C. 4cm D. 4 cm 考点: 翻折变换(折叠问题). 分析: 先证明EG是△DCH的中位线,继而得出DG=HG,然后证明△ADG≌△AHG,得出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°,在Rt△ABH中,可求出AB,也即是CD的长. 解答: 解:∵点E,F分别是CD和AB的中点, ∴EF⊥AB, ∴EF∥BC, ∴EG是△DCH的中位线, ∴DG=HG, 由折叠的性质可得:∠AGH=∠ABH=90°, ∴∠AGH=∠AGD=90°, 在△AGH和△AGD中, , ∴△ADG≌△AHG (SAS), ∴AD=AH,∠DAG=∠HAG, 由折叠的性质可得:∠BAH=∠HAG, ∴∠BAH=∠HAG=∠DAG= ∠BAD=30°, 在Rt△ABH中,AH=AD=4,∠BAH=30°, ∴HB=2,AB=2 , ∴CD=AB=2 . 故选B. 点评: 本题考查了翻折变换、三角形的中位线定理,解答本题的关键是判断出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°,注意熟练掌握翻折变换的性质.   10.(3分)(2014年浙江舟山)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为(  )   A. ﹣ B. 或 C. 2或 D. 2或﹣ 或 考点: 二次函数的最值. 专题: 分类讨论. 分析: 根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可. 解答: 解:二次函数的对称轴为直线x=m, ①m<﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值, 此时﹣(﹣2 ﹣m)2+m2+1=4, 解得m=﹣ ,与m<﹣2矛盾,故m值不存在; ②当﹣2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值, 此时,m2+1=4, 解得m=﹣ ,m= (舍去); ③当m>1时,x=1时,二次函数有最大值, 此时,﹣(1﹣m)2+m2+1=4, 解得m=2, 综上所述,m的值为2或﹣ . 故选C. 点评: 本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况讨论.   二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分) 11.(4分)(2014年浙江舟山)方程x2﹣3x=0的根为 0或3 . 考点: 解一元二次方程-因式分解法. 分析: 根据所给方程的系数特点,可以对左边的多项式提取公因式,进行因式分解,然后解得原方程的解. 解答: 解:因式分解得,x(x﹣3)=0, 解得,x1=0,x2=3. 点评: 本题考查了解一元二次方程的方法,当方程的左边能因式分解 时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.   12.(4分)(2014年浙江舟山)如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为 7tanα  米(用含α的代数式表示). 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析: 根据题意可知BC⊥AC,在Rt△ABC中,AC=7米,∠BAC=α,利用三角函数即可求出BC的高度. 解答: 解:∵BC⊥AC,AC=7米,∠BAC=α, ∴ =tanα, ∴BC=AC?tanα=7tanα(米). 故答案为:7tanα. 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解.   13.(4分)(2014年浙江舟山)有三 辆车按1,2,3编号,舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车.则两人同坐3号车的概率为   . 考点: 列表法与树状图法. 分析: 根据题意画出树状图,得出所有的可能,进而求出两人同坐3号车的概率. 解答: 解:由题意可画出树状图: , 所有的可能 有9种,两 人同坐3号车的概率为: . 故答案为: . 点评: 此题主要考查了树状图法求概率,列举出所有可能是解题关键 .   14.(4分)(2014年浙江舟山)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C,使CB′∥AB,分别延长 AB,CA′相交于点D,则线段BD的长为 6 . 考点: 旋转的性质;相似三角形的判定与性质. 分析: 利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C,再利用相似三角形的性质得出AD的长,进而得出BD的长. 解答: 解:∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C, ∴AC=CA′=4,AB=B ′A′=2,∠A=∠CA′B′, ∵CB ′∥AB, ∴∠B′CA′=∠D, ∴△CAD∽△B′A′C, ∴ = , ∴ = , 解得AD=8, ∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6. 故答案为:6. 点评: 此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识,得出△CAD∽△B′A′C是解题关键.   15.(4分)(2014年浙江舟山)过点(﹣1,7)的一条直线与x轴,y轴分别相交于点A,B,且与直线 平行.则在线段AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是 (1,4),(3,1) . 考点: 两条直线相交或平行问题. 分析: 依据与直线 平行设出直线AB的解析式y=﹣ x+b;代入点(﹣1,7)即可求得b,然后求出与x轴的交点横坐标,列举才符合条件的x的取值,依次代入即可. 解答: 解:∵过点(﹣1,7)的一条直线与直线 平行,设直线AB为y=﹣ x+b; 把(﹣1,7)代入y=﹣ x+b; 得7= +b, 解得:b= , ∴直线AB的解析式为y=﹣ x+ , 令y=0,得:0=﹣ x+ , 解得:x= , ∴0<x< 的整数为:1、2、3; 把x等于1、2、3分别代入解析式得4、 、1; ∴在线段AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是(1,4),(3,1). 故答案为(1,4),(3,1). 点评: 本题考查了待定系数法求解析式以及直线上点的情况,列举出符合条件的x的值是本题的关键.   16.(4分)(2014年浙江舟山)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE= CF;②线段EF的最小值为2 ;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在 上,则AD=2 ;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16 .其中正确结论的序号是 ①③⑤ . 考点: 圆的综合题;垂线段最短;平行线的判定与性质;等边三角形的判定与性质; 含30度角的直角三角形;切线的判定;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 推理填空题. 分析: (1)由点 E与点D关于AC对称可得CE=CD,再根据DF⊥DE即可证到CE=CF. (2)根据“点到直线之间,垂线段最短”可得CD⊥AB时 CD最小,由于EF=2CD,求出CD的最小值就可求出EF的最小值. (3)连接OC,易证△AOC是等边三角形,AD=OD,根据 等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD,进而可求出∠ECO=90°,从而得到EF与半圆相切. (4)利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形,只 需求出BF就可求出DB,进而求出 AD长. (5)首先根据对称性确定线段EF扫过的图形,然后探究出该图形与△ ABC的关系,就可求出线段EF扫过的面积. 解答: 解:①连接CD,如图1所示. ∵点E与点D关于AC对称, ∴CE=CD. ∴∠E=∠CDE. ∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90°. ∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°. ∴∠F=∠CDF. ∴CD=CF. ∴CE=CD=CF. ∴结论“CE=CF”正确. ②当CD⊥AB时,如图2所示. ∵AB是半圆的直径, ∴∠ACB=90°. ∵AB=8,∠CBA=30°, ∴∠CAB=60°,AC =4,BC=4 . ∵CD⊥AB,∠CBA=30°, ∴CD= BC=2 . 根据“点到直线之间,垂线段最短”可得: 点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2 . ∵CE=CD=CF, ∴EF=2CD. ∴线段EF 的最小值为4 . ∴结论“线段EF的最小值为2 ”错误. (3)当AD=2时,连接OC,如图3所示. ∵ OA=OC,∠CAB=60°, ∴△OAC是等边三角形. ∴CA=CO,∠ACO=60°. ∵AO=4,AD=2, ∴DO=2. ∴AD=DO. ∴∠ACD=∠OCD=30°. ∵点E 与点D关于AC对称, ∴∠ECA=∠DCA. ∴∠ECA=30°. ∴∠ECO=90°. ∴OC⊥EF . ∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF, ∴EF与半圆相切. ∴结论“EF与半圆相切”正确. ④当点F恰好落在 上时,连接FB、AF,如图4所示. ∵点E与点D关于AC对称, ∴ED⊥AC. ∴∠AGD=90°. ∴∠AGD=∠ACB. ∴ED∥BC. ∴△FHC∽△FDE. ∴ = . ∵FC= EF, ∴FH= FD. ∴FH=DH. ∵DE∥BC, ∴∠FHC=∠ FDE =90°. ∴BF=BD. ∴∠FBH=∠DBH=30°. ∴∠FBD=60°. ∵AB是半圆的直径, ∴∠AFB=90°. ∴∠FAB=30°. ∴FB= AB=4. ∴DB=4. ∴AD=AB﹣DB=4. ∴结论“AD=2 ”错误. ⑤∵点D与点E关于AC对称, 点D 与点F关于BC对称, ∴当点D从点A运动到点B时, 点E的运动路径AM与AB关于AC对称, 点F的运动路径NB与 AB关于BC对称. ∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分. ∴S阴影=2S△ABC =2× AC?BC =AC?BC =4×4 =16 . ∴EF扫过的面积为16 . ∴结论“EF扫过的面积为16 ”正确. 故答案为:①、③、⑤. 点评: 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识,综合性强,有一定的难度.   三、解答题(本题有8小题,第17~19题每小题6分,第20,21题每小题6分,第22,23题每小题6分,第24题12分,共66分) 17.(6分)(2014年浙江舟山)( 1)计算: +( )﹣2﹣4cos45°; (2)化简:(x+2)2﹣x(x﹣3) 考点: 实数的运算;整式的混合运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: (1)原式第一项化为最简二次根式,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到 结果; (2)原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用单项式乘 以多项式法则计算即可得到结果. 解答: 解:(1)原式=2 +4﹣4× =2 +4﹣2 =4; (2)原式=x2+4x+4﹣x2+3x =7x+4. 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   18.(6分)(2014年浙江舟山)解方程: =1. 考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 解答: 解:去分母得:x(x﹣1)﹣4=x2﹣1, 去括号得:x2﹣x﹣4=x2﹣1, 解得:x=﹣3, 经检验x=﹣3是分式方程的解. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把 分式方程转化为整式方程求解.   19.(6分)(2014年浙江舟山)某校为了了解学生孝敬 父母的情况(选项:A.为父母洗一次脚;B.帮父母做一次家务;C.给父母买一件礼物;D.其它),在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查,得到如图表(部分信息未给出):根据以上信息解答下列问题: 学生孝敬父母情况统计表: 选项 频数 频率 A m 0.15 B 60 p C n 0.4 D 48 0.2 (1)这次被调查的学生有多少人? (2)求表中m,n,p的 值,并补全条形统计图. (3)该校有1600名学生,估计该校全体学生中选择B选项的有多少人? 考点: 条形统计图;用样本估计总体;频数(率)分布表. 分析: (1)用D选项的频数除以D选项的频率即可求出被调查的学生人数; (2)用被调查的学生人数乘以A选项的和C频率求出m和n,用B选项的频数除以被调查的学生人数求出p,再画图即可; (3)用该校的总人数乘以该校全体学生中选择B选项频率即可 . 解答: 解:(1)这次被调查的学生有48÷0.2=240(人); (2)m=240×0.15=36, n=240×0.4=96, p= =0.25, 画图如下: (3)若该校有1600名学生,则该校全体学生中选择B选项的有1600×0.25=400(人). 点评: 此题考查了条形统计图和频数、频率,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.   20.(8分)( 2014年 浙江舟山)已知:如图,在?ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交 AD,BC于E, F两点,连结BE,DF. (1)求证:△DOE≌△BOF. (2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFED为菱形?请说明理由. 考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定. 分析: (1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF(ASA); (2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED,即可得出答案. 解答: (1)证明:∵在?ABCD中 ,O为对角线BD的中点, ∴BO=DO,∠EDB=∠FBO, 在△EOD 和△FOB中 , ∴△DOE≌△BOF(ASA); (2 )解:当∠DOE=90°时,四边形BFED为菱形, 理由:∵△DOE≌△BOF, ∴BF=DE, 又∵BF∥DE, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∵BO=DO,∠EOD=90°, ∴EB=DE, ∴四边形BFED为菱形. 点评: 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识,得出BE=DE是解题关键.   21.(8分)(2014年浙江舟山)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A 型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元. (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元. (2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案? 考点: 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用. 分析: (1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则等量关系为:1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元,2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元; (2) 设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则根据“购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元”得到不等式组. 解答: 解:(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则 , 解得 . 答:每辆A型车的售价为18万元,每辆B型车的售价为26万元; (2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则依题意得 , 解得 2≤a≤3 . ∵a是正整数, ∴a=2或a=3. ∴共有两种方案: 方案一:购买2辆A型车和4辆B型车; 方案二:购买3辆 A型车和3辆B型车. 点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.   22.(10分)(2014年浙江舟山)实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后, 1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1. 5小时)y与x可近似地用反比例函数y= (k>0)刻画(如图 所示). (1)根据上述数学模型计算: ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当x=5时,y=45,求k的值. (2 )按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于 “酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由. 考点: 二次函数的应用;反比例函数的应用. 分析: (1)①利用y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200确定最大值; ②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可; (2)求出x=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班. 解答: 解:(1)①y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200, ∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升); ②∵当x=5时,y=45,y= (k>0), ∴k=xy=45×5=225; (2)不能驾车上班; 理由:∵晚上20:00到 第二天早上7:00,一共有11小时, ∴将x=11代入y= ,则y= >20, ∴第二天早上7:00不能驾车去上班. 点评: 此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用,根据图象得出正确信息是解题关键.   23.(10分)(2014年浙江舟山)类比梯形的定义,我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”. (1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=80°.求∠C,∠D的 度数. (2)在探究“等对角四边形”性质时: ①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2),其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论; ②由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边 相等时,另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确, 请举出反例 . (3)已知:在“等对角四边形“ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4.求对角线AC的长. 考点: 四边形综合题. 分析: (1)利用“等对角四边形”这个概念来计算. (2)①利用等边对等角和等角对等边来证明; ②举例画图; (3)(Ⅰ)当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,利用勾股定理求解; (Ⅱ)当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DE⊥ AB于点E,DF⊥BC于点F,求出线段利用勾股定理求解. 解答: 解:(1)如图1 ∵等对角四边形ABCD,∠A≠∠C, ∴∠D=∠B=80°, ∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°; (2)①如图2,连接BD, ∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, ∵∠ABC=∠ADC, ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB, ∴∠CBD=∠CDB, ∴CB=CD, ②不正确, 反例:如图3,∠ A=∠C=90°,AB=AD, 但CB≠CD, (3)(Ⅰ)如图4,当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E, ∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5, ∴AE=10, ∴DE=AE ﹣AD=10﹣4═6, ∵∠EDC=90°,∠E=30°, ∴CD=2 , ∴AC= = =2 (Ⅱ)如图5,当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F, ∵DE⊥AB,∠DAB =60°AD=4, ∴AE=2,DE=2 , ∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3, ∵四边形BFDE是矩形, ∴DF=BE=3,BF=DE=2 , ∵∠BCD=60°, ∴CF= , ∴BC=CF+BF= +2 =3 , ∴AC= = =2 . 点评: 本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念.   24.(12分)(2014年浙江舟山)如图,在平面直角坐标系中,A是抛物线y= x2上的一个动点,且点A在第一象限内.AE⊥y轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BED的面积为S. (1)当m= 时,求S的值. (2)求S关于m(m≠2) 的函数解析式. (3)①若S= 时,求 的值; ②当m>2时,设 =k,猜想k与m的数量关系并证明. 考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)首先可得点A的坐标为(m, m2),再由m的值,确定点B的坐标,继而可得点 E的坐标及BE、OE的长度,易得△ABE∽△CBO,利用对应边成比例求 出CO,根据轴对称的性质得出DO,继而可 求解S的值; (2)分两种情况讨论,(I)当0<m<2时,将BE?DO转化为AE?BO,求解;(II)当m>2时,由(I)的解法,可得S关于m的函数解析式; (3)①首先可确定点A的坐标,根据 = = =k,可得S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF,从而可得 = = =k,代入即可得出k的值; ②可得 = = =k,因为点A的坐标为(m, m2),S=m,代入可得k与m的关系. 解答: 解:(1)∵点A在二次函数y= x2的 图象上,AE⊥y轴于点E且AE=m, ∴点A的坐标为(m, m2), 当m= 时,点A的坐标为( ,1), ∵点B的坐标为(0,2), ∴BE=OE=1. ∵AE⊥y轴, ∴AE∥x轴, ∴△ABE∽△CBO, ∴ = = , ∴CO=2 , ∵点D和点C关于y轴对称, ∴DO=CO=2 , ∴S= BE?DO= ×1×2 = ; (2)(I)当0<m<2时(如图1), ∵点D和点C关于y轴对称, ∴△BOD≌△BOC, ∵△BEA∽△BOC, ∴△BEA∽△BOD, ∴ = ,即BE?DO=AE?BO=2m. ∴S= BE?DO= ×2m=m; (II)当m>2时(如图2), 同(I)解法得:S= BE?DO= AE?OB=m, 由(I)(II)得, S关于m的函数解析式为S=m(m>0且m≠2). (3)①如 图3,连接AD, ∵△BED的面积为 , ∴S=m= , ∴点A的坐标为( , ), ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∴k= = = ; ②k与m之间的数量关系为k= m2, 如图4,连接AD, ∵ = = =k, ∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF, ∴ = = =k, ∵点A的坐标为(m, m2),S=m, ∴k= = = m2(m>2). 点评: 本题考查了二次函数的综合,涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质,解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用,难度较大.  

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