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湖北省孝感市2014年中考数学试卷   一、精心选一选,相信自己的判断!(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,不涂、错涂或涂的代号超过一个,一律得0分) 1.(3分)(2014?孝感)下列各数中,最大的数是(  )   A. 3 B. 1 C. 0 D. ﹣5 考点: 有理数大小比较 分析: 根据正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的数反而小,再进行比较,即可得出答案. 解答: 解:∵﹣5<0<1<3, 故最大的数为3, 故答案选A. 点评: 本题考查了实数的大小比较,掌握正数都大于零,负数都小于零, 正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的数反而小是本题的关键.   2.(3分)(2014?孝感)如图是某个几何体的三视图,则该几何体的形状是(  )   A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 考点: 由三视图判断几何体 分析: 由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状. 解答: 解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱. 故选D. 点评: 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.   3.(3分)(2014?孝感)下列二次根式中,不能与 合并的是(  )   A. B. C. D. 考点: 同类二次根式 分析: 根据二次根式的乘除法,可化简二次根式,根据最简二次根式的被开方数相同,可得答案. 解答: 解:A、 ,故A能与 合并; B、 ,故B能与 合并; C、 ,故C不能与 合并; D、 ,故D能与 合并; 故选:C. 点评: 本题考查了同类二次根式,被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式.   4.(3分)(2014?孝感)如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(  )   A. 46° B. 44° C. 36° D. 22° 考点: 平行线的性质;垂线. 分析: 根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解. 解答: 解:∵l1∥l2, ∴∠3=∠1=44°, ∵l3⊥l4, ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°. 故选A . 点评: 本题考查了平行线的性质,垂线的定义,熟记性质并准确识图是解题的关键.   5.(3分)(2014?孝感)已知 是二元一次方程组 的解,则m﹣n的值是(  )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 二元一次方程组的解. 专题: 计算题. 分析: 将x与y的值代入方程组求出m与n的值,即可确定出m﹣n的值. 解答: 解:将x=﹣1,y=2代入方程组得: , 解得:m=1,n=﹣3, 则m﹣n=1﹣(﹣3 )=1+3=4. 故选D 点评: 此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.   6.(3分)(2014?孝感)分式方程 的解为(  )   A . x=﹣ B. x= C. x= D. 考点: 解分式方程 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 解答: 解:去分母得:3x=2, 解得:x= , 经检验x= 是分式方程的解. 故选B 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.   7.(3分)(2014?孝感)为了解某社区居民的用电情况,随机对该社区10户居民进行了调查,下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果: 居民(户) 1 3 2 4 月用电量(度/户) 40 50 55 60 那么关于这10户居民月用电量(单位:度),下列说法错误的是(  )   A. 中位数是55 B. 众数是60 C. 方差是29 D. 平均数是54 考点: 方差;加权平均数;中位数;众数. 分析: 根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、 平均数和方差,即可判断四个选项的正确与否. 解答: 解:A、月用电量的中位数是55度,正确; B、 用电量的众数是60度,正确; C、用电量的方差是24.9度,错误; D、用电量的平均数是54度,正确. 故选C. 点评: 考查了中位数、 众数、平均数和方差的概念.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数.   8.(3分)(2014?孝感)如图,在?ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,则?ABCD的面积是(  )   A. absinα B. absin α C. abcosα D. abcosα 考点: 平行四边形的性质;解直角三角形. 分析: 过点C作CE⊥DO 于点E,进而得出EC的长,再利用三角形面积公式求出即可. 解答: 解:过点C作CE⊥DO于点E, ∵在?ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,AC =a,BD =b, ∴sinα= , ∴EC=COsinα= asinα, ∴S△BCD= CE×BD= × asinα×b= absin α, ∴?ABCD的面积是: absinα×2= absinα. 故选;A. 点评: 此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形,得出EC的长是解题关键.   9.(3分)(2014?孝感)如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是 (  )   A. (2,10) B. (﹣2,0) C. (2,10)或(﹣2,0) D. (10,2)或(﹣2,0) 考点: 坐标与图形变化-旋转. 分析: 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可. 解答: 解:∵点D(5,3) 在边AB上, ∴BC=5,BD=5﹣3=2, ①若顺时针旋转, 则点D′在x轴上,OD′=2, 所以,D′(﹣2,0), ②若逆时针旋转,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2, 所以,D′(2,10 ), 综上所述,点D′的坐标为(2,10)或(﹣2,0). 故选C. 点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正方形的性质, 难点在于分情况讨论.   10.(3分)(2014?孝感)如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧 的中点,点D是优弧 上一点,且∠D=30°,下列四个结论: ①OA⊥BC;②BC=6 ;③sin∠AOB= ;④四边形ABOC是菱形. 其中正确结论的序号是(  )   A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 考点: 垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形. 分析: 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可. 解答: 解:∵点A是劣弧 的中点,OA过圆心, ∴OA⊥BC,故①正确; ∵∠D=30°, ∴∠ABC=∠D=30°, ∴∠AOB=60°, ∵点A是点A是劣弧 的中点, ∴BC=2CE, ∵OA=OB, ∴OB=OB=AB=6cm, ∴BE=AB?cos30°=6× =3 cm, ∴BC=2BE=6 cm,故B正确; ∵∠AOB=60°, ∴sin ∠AOB=sin60°= , 故③正确; ∵∠AOB=60°, ∴AB=OB, ∵点A是劣弧 的中点, ∴AC=OC, ∴AB=BO=OC=CA, ∴四边形ABOC是菱形, 故④正确. 故选B. 点评: 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形,综合性较强,是一道好题.   11.(3 分)(2014?孝感)如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m>nx+4n>0的整数解为(  )   A. ﹣1 B. ﹣5 C. ﹣4 D. ﹣3 考点: 一次函数与一元一次不等式. 分析: 满足不等式﹣x +m>nx+4n>0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可. 解答: 解:∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2, ∴关于x的不等式﹣x+m>nx+4n>0的解集为x<﹣2, ∴关于x的不等式﹣x+m >nx+4n>0的整数解为﹣3, 故选D. 点评: 本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,要熟练掌握.   12.(3分)(2014?孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c ﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为(  )   A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点: 二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点 专题: 数形结合. 分析: 由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(﹣1,2)得a﹣ b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1得b=2a,所以c﹣a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根. 解答: 解:∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,所以①错误; ∵顶点为D(﹣1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1, ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和 (﹣2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间, ∴当x=1时,y<0, ∴a+b+c<0,所以②正确; ∵抛物线的顶点为D(﹣1,2), ∴a﹣b+c=2, ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1, ∴b=2a, ∴a﹣2a+c=2 ,即c﹣a=2,所以③正确; ∵当x=﹣1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣ ;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.   二、细心填一填,试试自己的身手!(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上) 13.(3分)(2014?孝感)函数 的自变量x的取值范围为 x≠1 . 考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件 专题: 计算题. 分析: 根据分式的意义,分母不能为0,据此求解. 解答: 解:根据题意,得x﹣1≠0, 解得x≠1. 故答案为x≠1. 点评: 函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.   14.(3分)(2014?孝感)下列事件: ①随意翻到一本书的某页,这页的页码是奇数; ②测得某天的最高气温是100℃; ③掷一次骰子,向上一面的数字是2; ④度量四边形的内角和,结果是360°. 其中是随机事件的是 ①③ .(填序号) 考点: 随机事件 分析: 随机事件就是可能发生也可能不发生的事件,依据定义即可判断. 解答: 解:①是随机事件; ②是不可能事件; ③是随机事件; ④是必然事件. 故答案是:①③. 点评: 本题考查了必然事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件 、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.   15.(3分)(2014?孝感)若a﹣b=1,则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 1 . 考点: 完全平方公式 分析: 运用平方差公式,化简代入求值, 解答: 解:因为a﹣b=1, a2﹣b2﹣2b=(a+b)(a﹣b)﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了平方差公式,关键要注意运用公式来求值.   16.(3分)( 2014?孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE、BE,若△ABE是等边三角形,则 =   . 考点: 翻折变换(折叠问题). 分析: 过E作EM⊥AB于M,交DC于N,根据矩形的性质得出DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°,设AB=AE=BE=2a,则BC= = a,即MN= a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案. 解答: 解: 过E作EM⊥AB于M,交DC于N, ∵四边形ABCD是矩形, ∴DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°, ∴MN=BC, ∴EN⊥DC, ∵延AC折叠B和E重合,△AEB是等边三角形, ∴∠EAC=∠BAC=30°, 设AB=AE=BE=2a,则BC= = a, 即MN= a, ∵△ABE是等边三角形,EM⊥AB, ∴AM=a,由勾股定理得:EM= = a, ∴△DCE的面积是 ×DC×EN= ×2a×( a﹣ a )= a2, △ABE的面积是 AB×EM= ×2a× a= a2, ∴ = = , 故答案为: . 点评: 本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积,题目比较典型,难度适中.   17.(3分)(2014?孝感)如图,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y= 经过斜边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为 6 . 考点: 反比例函数系数k的几何意义. 分析: 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S= |k|. 解答: 解:如图,过C点作CE⊥x轴,垂足为E. ∵Rt△OAB中,∠OAB=90°, ∴CE∥AB, ∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C, ∴CE为Rt△OAB的中位线, ∵△OEC∽△OBA, ∴ = . ∵双曲线的解析式是y= , ∴S△BOD=S△COE= k, ∴S△AOB=4S△COE=2k, 由S△AOB﹣S△BOD=S△OBC=2S△DOC=18,得2k﹣ k= 18, k=12, S△BOD =S△COE= k=6, 故答案为:6. 点评: 本题考查了反比函数k的几何意义,过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线,所得三角形的面积是 |k|,是经常考查的知识点,也体现了数形结合的思想.   18.(3分)(2014?孝感)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点 A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是 (63,32) . 考点: 一次函数图象上点的坐标特征 专题: 规律型. 分析: 首先利用直线的解析式,分别求得A1,A2,A3,A4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点An的坐标,即可得出点B6的坐标. 解答: 解:∵直线y=x+ 1,x=0时,y=1, ∴A1B1=1,点B2的坐标为(3 ,2), ∴A1的纵坐标是:1=20,A1的横坐标是:0=20﹣1, ∴A2的纵坐标是:1+1=21,A2的横坐标是:1=21﹣1, ∴A3的纵坐标是:2+2=4=22,A3的横坐标是:1+2=3=22﹣1, ∴ A4的纵坐标是:4+4=8=23,A4的横坐标是:1+2+4=7=23﹣1, 即点A4的坐标为(7,8). 据此可以得到An的纵坐标是:2n﹣1,横坐标是:2n﹣1﹣1. 即点An的坐标为(2n﹣1﹣1,2n﹣1). ∴点A6的坐标为(25﹣1,25). ∴点B6的坐标是:(26﹣1,25)即(63,32). 故答案为:(63,32). 点评: 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键.   三、用心做一做, 显显自己的能力!(本大题共7小题,满分66分.解答写在答题卡上 ) 19.(6分)(2014?孝感)计算:(﹣ )﹣2+ ﹣|1﹣ | 考点: 实数的运算;负整数指数幂. 分析: 本题涉及负整指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式= +2﹣|﹣2| =4+2﹣2 =4. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.   20.(8分)(2014?孝感)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心,OC为半径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论. 考点: 作图—复杂作图;直线与圆的位置关系. 分析: (1)根据角平分线的作法求出角平分线BO; (2)过O作OD⊥AB交AB于点D,先根据角平分线的性质求出DO=CO,再根据切线的判定定理即可得出答案. 解答: 解:(1)如图: (2)AB与⊙O相切. 证明:作OD⊥AB于D,如图. ∵BO平分∠ABC,∠ACB=90°,OD⊥AB, ∴OD=OC, ∴AB与⊙O相切 . 点评: 此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识,正确把握切线的判定定理是解题关键.   21.(10分)(2014?孝感)为了解中考体育科目训练情况,某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是 40 ; (2)图1中∠α的度数是 54° ,并把图2条形统计图补充完整; (3) 该县九年级有学生3500名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格的人数为 700 . (4)测试老师想从4位同学(分别记为E、F、G、H,其中E为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率 . 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;列表法与树状图法. 分析: (1)用B级的人数除以所占的百分比求出总人数; (2)用360 °乘以A级所占的百分比求出∠α的度数,再用总人数减去A、B、D级的人数,求出C级的人数,从而补全统计图; (3)用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比,求出不及格的人数; (4)根据题意画出树状图,再根据概率公式进行计算即可. 解答: 解:(1)本次抽样测试的学生人数是: =40(人), 故答案为:40; (2)根据题意得: 360°× =54°, 答:图1中∠α的度数是54°; C级的人数是:40﹣6﹣12﹣8=14(人), 如图: 故答案为:54°; (3)根据题意得: 3500× =700(人), 答:不及格的人数为700人. 故答案为:700; (4)根据题意画树形图如下: 共有12种情况,选中小明的有6种, 则P(选中小明)= = . 点评: 此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用,用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.   22.(10分)(2014?孝感)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣3)x+k2+1 =0 有两个不相等的实数根x1、x2. ( 1)求k的取值范围; (2)试说明x1<0,x2<0; (3)若抛物线y=x2﹣(2k﹣3)x+k2+1与x轴交于A、B两点, 点A、点B到原点的距离分别为OA、OB,且OA+OB=2OA ?OB﹣3,求k的值. 考点: 抛物线与x轴的交点;根的判别式;根与系数的关系 分析: (1)方程有两个不相等的实数根,则判别式大于0,据此即可列不等式求得k的范围; (2)利用根与系数的关系,说明两根的和小于0,且两根的积大于0即可; (3)不妨设A(x1,0), B(x2,0).利用x1,x2表示出OA、OB的长,则根据根与系数的关系,以及OA+OB= 2OA?OB﹣3即可列方程求解. 解答: 解:(1)由题意可知:△=【﹣(2k﹣3)】2﹣4(k2+ 1)>0, 即﹣12k+5 >0 ∴ . (2)∵ , ∴x1<0,x2<0. (3)依题意,不妨设A(x1,0),B(x2,0). ∴OA +OB=|x1|+|x2|=﹣(x1+x2)=﹣(2k﹣3), OA?OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1, ∵OA+OB=2OA?OB﹣3, ∴﹣(2k﹣3)=2(k2+1)﹣3, 解得k1=1,k2=﹣2. ∵ , ∴k=﹣2. 点评: 本题考查了二次函数与x轴的交点,两交点的横坐标就是另y=0,得到的方程的两根,则满足一元二次方程的根与系数的关系.   23.(10分)(2014?孝感)我市荸荠喜获丰收,某生产基地收获荸荠40吨.经市场调查,可采用批发、零售、加工销售三种销售方式,这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表: 销售方式 批发 零售 加工销售 利润(百元/吨) 12 22 30 设按计划全部售出后的总利润为y百元,其中批发量为x吨,且加工销售量为15吨. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若零售量不超过批发量的4倍,求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润. 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 分析: (1)根据总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润就可以得出结论; (2)由(1)的解析式,根据零售量不超过批发量的4倍,建立不等式求出x的取值范围,由一次函数的性质就可以求出结论. 解答: 解:(1)依题意可知零售量为 (25﹣x)吨,则 y=12 x+22(25﹣x)+30×15 ∴y=﹣10 x+1000; (2)依题意有: , 解得:5≤x≤25. ∵k=﹣10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=5时,y有最大值,且y最大=950(百元). ∴ 最大利润为950百元. 点评: 本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用,一元一次不等式组的运用,一次函数的性质的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键.   24.(10分)(2014?孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D ,直线 DC与AB的延长线相交于点 P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)求证:△PCF是等腰三角形; (3)若tan∠ABC= ,BE=7 ,求线段PC的长. 考点: 切线的性质;等腰三角形的判定 ;勾股定理;相似三角形的判定与性质 分析: (1)由PD切⊙O于点C,AD与过点C的切线垂直,易证得OC∥AD,继而证得AC平分 ∠ DAB; (2)由AD⊥PD,AB为⊙O的直径,易证得CE平分∠ACB,继而可得∴∠PFC=∠ PCF,即可证得PC=PF,即△PCF是等腰三角形; (3)首先连接AE,易得AE=BE,即可求得AB的长,继而可证得△PAC∽△PCB,又由tan∠ ABC= ,BE=7 ,即可求得答案. 解答: 解:(1)∵PD切⊙O于点C, ∴OC⊥PD. (1分) 又∵AD⊥PD, ∴OC∥AD. ∴∠ACO=∠DAC. 又∵OC=OA, ∴∠ACO=∠CAO, ∴∠DAC=∠CAO, 即AC平分∠DAB.(3分) (2)∵AD⊥PD, ∴∠DAC+∠ACD=90°. 又∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∴∠PCB+∠ACD=90°, ∴∠DAC=∠PCB. 又∵∠DAC=∠CAO, ∴∠CAO=∠PCB.…(4分) ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACF=∠BCF, ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF, ∴∠PFC=∠PCF,…(5分) ∴PC=PF, ∴△PCF是等腰三角形.…(6分) (3)连接AE. ∵CE平分∠ACB, ∴ = , ∴ . ∵AB为⊙O的直径, ∴∠AEB=90°. 在Rt△ABE中, . (7分) ∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P, ∴△PAC∽△PCB,(8分) ∴ . 又∵tan∠ABC= , ∴ , ∴ . 设PC=4k,PB=3k,则在Rt △POC中,PO=3k+7,OC=7, ∵PC2+OC2=OP2, ∴(4k)2+72=(3k+7)2, ∴k=6 (k=0不合题意,舍去). ∴PC=4k=4×6=24. (10分) 点评: 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理 、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.   25.(12分)(2014?孝感)如图1,矩形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B,与x轴交于点E、点F,且其顶点M在CD上. (1)请直接写出下列各点的坐标:A (0,3)  ,B (4,3) ,C (4,﹣1) ,D (0,﹣1) ; (2)若点P是抛物线上一动点 (点P不与点A、点B重合),过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图 2. ①当线段PH=2GH时,求点P的坐标; ②当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足△KPH∽△AEF ,求△KPH 面积的最大值. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)令x=0,得到点A的坐标,再根据点A的纵坐标得到点B的坐标,根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C.D的坐标; (2)①根据待定系数法可得直线BD的解析式,设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).分三种情况:1°当x≥1且x≠4时;2°当0<x<1时;3°当x< 0时;三种情况讨论可得点P的坐标; ②根据相似三角形的性质可得 ,再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值. 解答: 解:(1)A( 0,3),B(4,3),C(4,﹣1),D(0,﹣1). (2)①设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),由于直线BD经过D(0,﹣1),B(4,3), ∴ , 解得 , ∴直线BD的解析式为y=x﹣1.(5分) 设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1), 点G(x,3). 1°当x≥1且x≠4时,点G在PH的延长线上,如图①. ∵PH=2GH, ∴(x﹣1)﹣(x2﹣4x+3)=2[3﹣(x﹣1)], ∴x2﹣7x+12=0, 解得x1=3,x2=4. 当x2=4时,点P,H,G重合于点B,舍去. ∴x=3. ∴此时点P的坐标为(3,0). 2°当0<x<1时,点G在PH的反向延长线上,如图②,PH=2GH不成立. 3°当x<0时,点G在线段PH上,如图③. ∵PH=2GH, ∴(x2﹣4x+3)﹣(x﹣1)=2[3﹣(x﹣1)], ∴x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1,x2=4(舍去), ∴x=﹣1. 此时点P的坐标为(﹣1,8). 综上所述可知,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,8). ②如图④,令x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3, ∴E (1,0),F(3,0), ∴EF=2. ∴S△AEF= EF?OA=3. ∵△KPH∽△AEF , ∴ , ∴ . ∵1<x<4, ∴当 时,s△KPH的最大值为 . 故答案为:(0,3),(4,3),(4,﹣1),(0,﹣1). 点评: 考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:坐标轴上的点的坐标特征,抛物线的顶点式,矩形的性质,待定系数法求直线的解析式,相似三角形的性质,二次函数的增减性,分类思想,综合性较强, 有一定的难度..  

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