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湖北省十堰市2014年中考数学试卷 参考答案与试题解析   一、选择题:(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1.(3分)(2014? 十堰)3的倒数是(  )   A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3 考点: 倒数. 分析: 根据倒数的定义可知. 解答: 解:3的倒数是 . 故选A. 点评: 主要考查倒数的定义,要求熟练掌握.需要注意的是: 倒数的性质:负数的倒数还是负数,正数的倒数是正数,0没有倒数. 倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.   2.(3分)(2014?十堰)如图,直线m∥n,则∠α为(  )   A. 70° B. 65° C. 50° D. 40° 考点: 平行线的性质. 分析: 先求出∠1,再根据平行线 的性质得出∠α=∠1,代入求出即可. 解答: 解: ∠1=180°﹣130°=50°, ∵m∥n, ∴∠α=∠1=50°, 故选C. 点评: 本题考查了平行线的 性质的应用, 注意:两直线平行,同位角相等.   3.(3分)(2014?十堰)在下面的四个几何体中,左视图与主视图不相同的几何体是(  )   A. 正方体 B. 长方体 C. 球 D. 圆锥 考点: 简单几何体的三视图 分析: 主视图、左视图是分别从物体正面、左面看,所得到的图形. 解答: 解:A、正方体的左视图与主视图都是正方形 ,故此选项不合题意; B、长方体的左视图与主视图都是矩形,但是矩形的不一样,故此选项符合题意; C、球的左视图与主视图 都是圆,故此选项不合题意; D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形,故此选项不合题意; 故选:B. 点评: 本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.   4.(3分)(2014?十堰)下列计算正确的是(  )   A. ﹣ = B. =±2 C. a6÷a2=a3 D. (﹣a2)3=﹣a6 考点: 同底数幂的除法;实数的运算;幂的乘方与积的乘方 分析: 根据二次根式的运算法则判断,开算术平方根,同底数幂的除法及幂的乘方运算. 解答: 解:A、不是同类二次根式,不能合并,故选项错误; B、 =2≠±2,故选项错误; C、a6÷a2=a4≠a3,故选项错误; D、(﹣a2)3=﹣a6正确. 故选:D. 点评 : 本题主要考查了二次根式的运算法则判断,开算术平方根,同底数幂的除法及幂的乘方运算.熟记法则是解题的关键.   5.(3分)(2014?十堰)为了调查某小区居民的用水情况,随机抽查了若干户家庭的 月用水量,结果如下表 : 月用水量(吨) 3 4 5 8 户 数 2 3 4 1 则关于这若干户家庭的月用水量,下列说法错误的是(  )   A. 众数是4 B. 平均数是4.6   C. 调查了10户家庭的月用水量 D. 中位数是4.5 考点: 众数;统计表;加权平均数;中位数. 分析: 根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可. 解答: 解:A、5出现了4次,出现的次数最多,则众数是5,故本选项错误; B、这组数据的平均数是:(3×2+4×3+5×4+8×1)÷10=4.6,故本选项正确; C、调查的户数是2+3+4+1=10,故本选项正确; D、把这组数据从小到大排列,最中间的两个数的平均数是(4 +5)÷2=4.5,则中位数是4.5,故本选项正确; 故选A. 点评: 此题考查了众数、中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数.   6.(3分)(2014?十堰)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC= 6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是(  )   A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 考点: 平行四边形的性质;线段垂直平分线的性质. 分析: 根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC,再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4,AD=BC=6,进而可以算出△CDE 的周长. 解答: 解:∵AC的垂直平分线交AD于E, ∴AE=EC, ∵四边形ABCD是平行四边形 , ∴DC=AB=4,AD=BC=6, ∴△CDE的周长为:EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10, 故选:B. 点评: 此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质,关键是掌握平行四边形两组对边分别相等.   7.(3分)(2014?十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2014再到2015,箭头的方向是以下图示中的(  )   A. B. C. D. 考点: 规律型:数字的变化类. 分析: 观察不难发现,每4个数为一个循环组依次 循环,用2013除以4,根据商和余数的情况解答即可. 解答: 解:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503…1, ∴2013是第504个循环组的第2个数, ∴从2013到2014再到2015,箭头的方向是 . 故选D. 点评: 本题是对数字变化规律的考查,仔细观察图形,发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键.   8.(3分)(2014?十堰)已知:a2﹣3a+1=0,则a + ﹣2的值为(   )   A. +1 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 已知等式变形求出a+ 的值,代入原式计算即可得到结果. 解答: 解:∵a2﹣3a+1=0,且a≠0, ∴a+ =3, 则原式=3﹣2=1, 故选B. 点评: 此题考查 了分式的 混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   9.(3分)(2014?十堰)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥ BC,垂足为 点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为(  )   A. 2 B. C. 2 D. 考点: 勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 分析: 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG,根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA,根据三角形外角的性质可得∠CGD= 2∠GAD,再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD,根据等腰三角形的性质可得CD=DG,再根据勾股定理即可求解. 解答: 解:∵AD∥BC,DE⊥BC, ∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB ∵点G为AF的中点, ∴DG=AG, ∴∠GAD=∠GDA , ∴∠CGD=2∠CAD , ∵∠ACD=2∠ACB, ∴∠ACD=∠CGD, ∴CD=DG=3, 在Rt△CED中,DE= =2 . 故选:C. 点评: 综合 考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.   10.(3分)(2014?十堰)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(﹣1,0).下列结论: ①a﹣b+c=0; ②b2>4ac; ③当a<0时,抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧; ④抛物线的对称轴为x=﹣ . 其中结论正确的个数有(  )   A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 将点(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c,即可判断①正确; 将点(1,1)代入y=ax2+ bx+c,得a+b+c=1,又由①得a﹣b+c=0,两式相加,得a+c= ,两式相减,得b= .由b2﹣4ac= ﹣4a( ﹣a)= ﹣2a+4a2=(2a﹣ )2,当a= 时,b2﹣4ac=0,即可判断②错误; ③由b2﹣4ac=(2a﹣ )2>0,得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,设另一个交点的横坐标为x,根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1?x= = ﹣1,即x=1﹣ ,再由a<0得出x>1,即可判断③正确; ④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣ ,将b= 代入即可判断④正确. 解答: 解:①∵抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)经过点(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,故①正确; ②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1),∴a+b+c=1,又a﹣b+c=0, 两式相加,得2(a+c)=1,a+c= , 两式相减,得2b=1,b= . ∵b2﹣4ac= ﹣4a( ﹣a)= ﹣2a+4a2=(2a﹣ )2, 当2a﹣ =0,即a= 时,b2﹣4ac=0,故②错误; ③当a<0时,∵b2﹣4ac=(2a﹣ )2>0, ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,设另一个交点的横坐标为x, 则﹣1?x= = = ﹣1,即x=1﹣ , ∵a<0,∴﹣ >0, ∴x=1﹣ >1, 即抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧,故③正确; ④抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ =﹣ ,故④正确. 故选B. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质,不等式的性质,难度适中.   二、填空题:(本题有6个小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)(2014?十堰)世界文化遗产长城总长约6700 000m,用科学记数法可表示为 6.7×106m . 考点: 科学记数法—表示较大的数. 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原 数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 解答: 解:将6700 000m用科学记数法表示为:6.7×106m. 故答案为:6.7×106m. 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.   12.(3分)(2014?十堰)计算: +(π﹣2)0﹣( )﹣1= 1 . 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 分析: 本题涉及零指数幂 、负指数幂、二次根式化简等考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=2+1﹣ =3﹣2=1. 故答案为1. 点评 : 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、二次根式化简等考点的运算.   13.(3分)(2014?十堰)不等式组 的解集为 ﹣1<x≤2 . 考点: 解一元一次不等式组. 分析: 先求出每个不等式的解集,根据不等式的解集找出不等式组的解集即可. 解答: 解:∵解不等式x< 2x+1得:x>﹣1, 解不等式3x﹣2(x﹣1)≤4得:x≤2, ∴不等式组的解集是﹣1<x≤2, 故答案为:﹣1<x≤2. 点评: 本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能 根据不等式的解集找出不等式组的解集.   14.(3分)(2014?十堰)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E ,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件: ①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC; 从中选择 一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 ① (只填写序号). 考点: 菱形的判定. 分析: 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形,然后结合菱形的判定得到答案即可. 解答: 解:由题意得:BD=CD,ED=FD, ∴四边形EBFC是平行四边形, ∵邻边相等或对角线垂直的平行四边形是菱形, ∴ 选择BE⊥EC, 故答案为:①. 点评: 本题考查了菱形的判定,解题的关键是了解菱形的判定定理,难度不是很大.   15.(3分)( 2014?十堰)如图 ,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是 24 海里.(结果精确到个位,参考数据: ≈1.4, ≈1.7, ≈2.4) 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题. 分析: 作BD⊥AC于点D,在直角△ABD中,利用三角函数求得BD的长,然后在直角△BCD中,利用三角函数即可求得BC的长. 解答: 解:∠CBA=25°+50°=75°. 作BD⊥AC 于点D. 则∠CAB=(90°﹣70°)+(90°﹣50°)=20°+40°=60°, ∠ABD=30°, ∴∠CBD=75°﹣35°=45°. 在直角 △ABD中,BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 . 在直角△BCD中,∠CBD=45°, 则BC= BD=10 × =10 ≈10×2.4=24(海里). 故答案是:24. 点评: 本题主要 考查了方向角含义,正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键.   16.(3分)(2014?十堰)如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在 上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为 2π﹣4 . 考点: 扇形面积的计算;二次函数的最值;勾股定理. 分析: 由OC=4,点C在 上,CD⊥OA,求得DC= = ,运用S△OCD= OD? ,求得OD=2 时△OCD的面积最大,运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解. 解答: 解:∵OC=4,点C在 上,CD⊥OA, ∴DC= = ∴S△OCD= OD? ∴ = OD2?(16﹣OD2)=﹣ OD4﹣4OD2=﹣ (OD2﹣8)2+16 ∴当OD2=8,即OD=2 时△OCD的面积最大, ∴DC= = = 2 , ∴∠COA=45°, ∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣ ×2 ×2 =2π﹣4, 故答案为:2π﹣4. 点评: 本题主要考查了扇形的面积,勾股定理,解题的关键是求出OD=2 时△OCD的面积最大.   三、解答题:(本题有9个小题,共72分) 17.(6分)(2014?十堰)化简:(x2﹣2x)÷ . 考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 原式利用除法法则变形,约分即可得到结果. 解答: 解:原式=x(x﹣ 2)? =x. 点评: 此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   18.(6分)(2014?十堰)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE.求证:∠B =∠C. 考点: 全等三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: 首先根据条件AB=AC,AD=AE,再加上公共角∠A=∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD,进而得到∠B=∠C. 解答 : 证明:在△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C. 点评: 本题主要考查三角形全等的判定方法和性质,关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要 工具.   19.(6分)(2014?十堰)甲、乙两人准备整理一批新到的图书,甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理30分钟才能完工.问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工? 考点: 分式方程的应用. 分析: 将总的工作量看作单位1,根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可. 解答: 解:设乙单独整理x分钟完工,根据题意得: + =1, 解得x=100, 经检验x=100是原分式方程的解. 答:乙单独整理100分钟完工. 点评: 本题考查了分式方程的应用.分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.此题等量关系比较多,主要用到公式:工作总量=工作效率×工作时间.   20.(9分)(2014?十堰) 据报道,“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目.某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度,随机抽取部分学生进行了一次问卷调查,并根据收集到的信息进行了统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所 提供的信息解答下列问题: (1)接受问卷调查的学生共有 60 名,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ;请补全条形统计图; (2)若该校共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数; (3)“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种,规则为:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀,若双方出现相同手势,则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局,请用树状图或列表法求两人打平的概率. 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;列表法与树状图法. 专题: 计算题. 分析: (1)由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数,求出 “基本了解”的学生占的百分比,乘以360得到结果,补全条形统计图即可; (2)求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和,乘以900即可得到结果; (3) 列表得出所有等可能的情况数,找出两人打平的情况数,即可求出所求的概率. 解答: 解:(1)根据题意得:30÷50%=60(名),“了解”人数为60﹣(15 +30+10)=5(名), “基本了解”占的百分比为 ×100%=25%,占的角度为25%×360°=90°, 补全条形统计图如图所示: (2)根据题意得:900× =300(人), 则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目 的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人; (3)列表如下: 剪 石 布 剪 (剪,剪) (石,剪) (布,剪) 石 (剪,石) (石,石) (布,石) 布 (剪,布) (石,布) (布,布) 所有等可能的情况有9种,其中两人打平的情况有3种, 则P= = . 点评: 此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及列表法与树状图法,弄清题意是解本题的关键.   21.(7分)(2014?十堰)已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2﹣1=0. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足(x1﹣x2)2=16﹣x1x2,求实数m的值. 考点: 根的判别式;根与系数的关系. 分析: (1)若一元二次方程有两实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,求 出m的取值范围; (2)由x1+x2=﹣2(m+1),x1x2=m2﹣1;代入(x1﹣x2)2=16﹣x1x2,建立关于m的方程,据此即可求得m的值. 解答: 解:(1)由题意有△=[2(m +1)]2﹣4(m2﹣1)≥0, 整理得8m+8≥0, 解得m≥﹣1, ∴实数m的取值范围是m≥﹣1; (2)由两根关系,得x1+x2=﹣(2m+1),x1?x2=m2﹣1, (x1﹣x2)2=16﹣x1x2 (x1+x2)2﹣3x1x2﹣16=0, ∴[﹣2(m+1)]2﹣3(m2﹣1)﹣16=0, ∴m2+8m﹣9=0, 解得m=﹣9或m=1 ∵m≥﹣1 ∴m=1. 点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系,利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件.   22.(8分)(2014?十堰 )某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表: 医疗费用范围 报销比例标准 不超过8000元 不予报销 超过8000元且不超过30000元的部分 50% 超过30000元且不超过50000元的部分 60% 超过50000元的部分 70% 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元. (1)直接写出x≤50000时,y关于x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围; (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元,问他住院医疗费用是多少元? 考点: 一次函数的应用;分段函数. 分析: (1)首先把握x、y的意义,报销金额y分3段①当x≤8000时,②当8000<x ≤30000时,③当30000<x≤50000时分别表示; (2) 利用代入法,把y=20000代入第三个函数关系式即可得到x的值. 解答: 解:(1)由题意得: ①当 x≤8000时,y=0; ②当8000<x≤30000时,y=(x﹣8000)×50%=0.5x﹣4000; ③当30000<x≤50000时,y=(30000﹣8000)×50%+(x﹣30000)×60%=0.6x﹣7000; (2)当花费30000元时,报销钱数为:y=0.5×30000﹣4000=11000, ∵20000>11000, ∴他的住院医疗费用超过30000元, 把y=20000代入y=0.6x﹣7000中得: 20000=0.6x﹣7000, 解得:x=45000. 答:他住院医疗费用是45000元. 点评: 此题主要考查了一次函数的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出 函数关系式.   23.(8分)(2014?十堰)如图,点B(3,3)在双曲线y= (x>0)上,点D在双曲线y=﹣ (x<0)上,点A和点C分别在x轴,y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边形为正方形. (1)求k的值; (2)求点A的坐标. 考点: 正方形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;全等三角形的判定与性质. 分析: (1) 把B的坐标代入求出即可; (2) 设MD=a,OM=b,求出ab=4,过D作DM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N,证△ADM≌△BAN,推出BN=AM=3,MD=AN=a,求出a=b,求出a的值即可. 解答: 解:(1)∵点B(3,3)在双曲线y= 上, ∴k=3×3=9; (2) ∵B(3,3), ∴BN=ON=3, 设MD=a,OM=b, ∵D在双曲线y=﹣ (x<0)上, ∴﹣ab=﹣ 4, 即ab=4, 过D作DM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N, 则∠DMA=∠ANB=90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAB=90°,AD=AB, ∴∠MDA+∠DAM=90°,∠DAM+∠BAN=90°, ∴∠ADM=∠BAN, 在△ADM和△BAN中, , ∴△ADM≌△BAN(AAS), ∴BN=AM=3,MD=AN=a, ∴0A=3﹣a, 即AM=b+3﹣a=3, a=b, ∵ab=4, ∴a=b=2, ∴OA=3﹣2=1, 即点A的坐标是(1,0). 点评: 本题考查了正方形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,难度适中.   24.(10分)(2014?十堰)如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长; (3)如图2,连接OD交AC于点G,若 = ,求sin∠E的值. 考点: 圆的综合题. 专题: 计算题. 分析: (1)连结OC,如图1,根据切线的性质得OC⊥DE,而AD⊥DE,根据平行线的性质得OC∥AD,所以∠2=∠3,加上 ∠1=∠3,则∠1=∠2,所以AC平分∠DAB; (2)如图1,由B为OE的中点, AB为直径得到OB=BE=2,OC=2,在Rt△OCE中,由于OE=2OC,根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°,则∠COE=60°,由CF⊥AB得∠OFC=90°,所以∠OCF=30°,再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF= OC=1,CF= OF= ; (3)连结OC,如图2,先证明△OCG∽△DAG,利用相似的性质得 = = ,再证明△ECO∽△EDA,利用相似比得到 = = ,设⊙O的半径为R,OE=x,代入求得OE=3R;最后在Rt△OCE中,根据正弦的定义求解. 解答: (1)证明:连结OC,如图1, ∵DE与⊙O切于点C, ∴OC⊥DE, ∵AD⊥DE, ∴OC∥AD, ∴∠2=∠3, ∵OA=OC, ∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2, 即AC平分∠DAB; (2)解:如图1, ∵ 直径AB=4,B为OE的中点, ∴OB=BE=2,OC=2, 在Rt△OCE中,OE=2OC, ∴∠OEC=30°, ∴∠COE=60°, ∵CF⊥AB, ∴∠OFC=90°, ∴∠OCF=30°, ∴OF= OC=1, CF= OF= ; (3)解:连结OC,如图2, ∵OC∥AD, ∴△OCG∽△DAG, ∴ = = , ∵OC∥AD, ∴△ECO∽△EDA, ∴ = = , 设⊙O的半径为R,OE=x, ∴ = , 解得OE=3R, 在Rt△OCE中,sin∠E= = = . 点评: 本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义;会根据含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算.   25.(12分)(2014?十堰)已知抛物线C1:y=a(x+1)2﹣2的顶点为A,且经过点B(﹣2,﹣1). (1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式; (2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2, 且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求S△OAC:S△OAD的值; (3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动, 直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线l, m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由. 考点: 二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的增减性. 专题: 压轴题;存在型. 分析: (1)由抛物线的顶点式易得顶点A坐标,把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题. (2)根据平移法则求出抛物线C2的解析式,用待定系数法求出直线AB的解析式,再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标,就可以求出S△OAC:S△OAD的值. (3)设直线m与y轴交于点G,直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化,故需对点G的位置进行讨论,借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标,从而求出相应的直线m的解析式. 解答: 解:(1) ∵抛物线C1:y=a(x+1)2﹣2的顶点为A, ∴点A的坐标为(﹣1,﹣2). ∵抛物线C1:y=a(x+1)2﹣2经过点B(﹣2,﹣1), ∴a(﹣2+1)2﹣2=﹣1. 解得:a=1. ∴抛物线C1的解析式为:y=(x+1)2﹣2. (2)∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得, ∴抛物线C2的解析式为:y=(x+1)2﹣ 2﹣2=(x+1)2﹣4. 设直线AB的解析式为y=kx+b. ∵A(﹣1,﹣2),B(﹣2,﹣1), ∴ 解得: ∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3. 联立 解得: 或 . ∴C(﹣3,0),D(0,﹣3). ∴OC=3,OD=3. 过点A作AE⊥x轴,垂足为E, 过点A作AF⊥y轴,垂足为F, ∵A(﹣1,﹣2), ∴AF=1,AE=2. ∴S△OAC:S△OAD =( OC?AE):( OD?AF) =( ×3×2):( ×3×1) =2. ∴S△OAC:S△OAD的值为2. (3)设直线m与y轴交于点G,与直线l交于点H, 设点G的坐标为(0,t) 当m∥l时,CG∥PQ. ∴△OCG∽△OPQ. ∴ = . ∵P(﹣4,0),Q(0,2), ∴OP =4,OQ=2, ∴ = . ∴OG= . ∴t= 时,直线l,m与x轴不能构成三角形. ∵t=0时,直线m与x轴重合, ∴直线l,m与x轴不能构成三角形. ∴t≠0且t≠ . ①t<0时,如图2①所示. ∵∠PHC>∠PQG,∠PHC>∠QGH, ∴∠PHC≠∠PQG,∠PHC≠∠QGH. 当∠PHC=∠GHQ时, ∵∠PHC+∠GHQ=180°, ∴∠PHC=∠GHQ=90°. ∵∠POQ=90°, ∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ. ∴△PHC∽△GHQ. ∵∠QPO=∠OGC, ∴tan∠QPO=tan∠OGC. ∴ = . ∴ = . ∴OG=6. ∴点G的坐标为(0,﹣6) 设直线m的解析式为y=mx+n, ∵点C(﹣3,0),点G(0,﹣6)在直线m上, ∴ . 解得: . ∴直线m的解析 式为y=﹣2x﹣6, 联立 , 解得: 或 ∴E(﹣1,﹣4). 此时点E在顶点,符合条件. ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6. ②O<t< 时,如图2②所示, ∵tan∠GCO= = < , tan∠PQO= = =2, ∴tan∠GCO≠tan∠PQO. ∴∠GCO≠∠PQO. ∵∠GCO =∠ PCH, ∴∠PCH≠∠PQO. 又∵∠HPC>∠PQO, ∴△PHC与△GHQ不相似. ∴符合条件的直线m不存在. ③ <t≤2时,如图2③所示. ∵tan∠CGO= = ≥ , tan∠QPO= = = . ∴tan ∠CGO≠tan∠QPO. ∴∠CGO≠∠QPO. ∵∠CGO=∠QGH, ∴∠QGH≠∠QPO, 又∵∠HQG>∠QPO, ∴△PHC与△GHQ不相似. ∴符合条件的直线m不存在. ④t>2时,如图2④所示. 此时点E在对称轴的右侧. ∵∠PCH>∠CGO, ∴∠PCH≠∠CGO. 当∠QPC=∠CGO时, ∵∠PHC=∠QHG,∠HPC=∠HGQ, ∴△PCH∽△GQH. ∴符合条件的直线m存在 . ∵∠QPO=∠CGO,∠POQ=∠GOC=90°, ∴△POQ∽△GOC. ∴ = . ∴ = . ∴ OG=6. ∴点G的坐标为(0,6). 设直线m的解析式为y=px+q ∵点C(﹣3,0)、点G(0,6)在直线m上, ∴ . 解得: . ∴直线m的解析式为y=2x+6. 综上所述:存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似, 此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6. 点评: 本题考查了二次函数的有关知识,考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识,考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式,考查了通过解方程组求两个函数图象的交点,强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查,具有较强的综合性,有一定的难度.

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