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湖南省邵阳市2014年中考数学试卷 一、选择题 (共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)(2014?邵阳) 介于( )   A. ﹣1和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 考点: 估算无理数的大小 分析: 根据 ,可得答案. 解答: 解:∵ 2, 故选:C. 点评: 本题考查了无理数 比较大小,比较算术平方根的大小是解题关键 . 2.(3分)(2014?邵阳)下列计算正确的是( )   A. 2x﹣x=x B. a3?a2=a6 C. (a﹣b)2=a2﹣b2 D. (a+b)(a﹣b)=a2+b2 考点: 完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;平方差公式 专题: 计算题. 分析: A、原式合并同类项得到结果,即可作出判断; B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断; C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断; D、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断. 解答: 解:A、原式=x,正确; B、原式=x5,错误; C、原式=a2﹣2ab+b2,错误; D、原式=a2﹣b2, 故选A 点评: 此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 3.(3分)(2014?邵阳)如图的罐头的俯视图大致是( )   A. B. C. D . 考点: 简单几何体的三视图 分析: 俯视图即为从上往下所看到的图形,据此求解. 解答: 解:从上往下看易得俯视图为圆. 故选D. 点评: 本题考查了三视图的知识,俯视图即从上往下所看到的图形. 4.(3分)(2014 ?邵阳)如图是小 芹 6月1日﹣7日每天的自主学习时间统计图,则小芹这七天平均每天的自主学习时间是( )   A. 1小时 B. 1.5小时 C. 2小时 D. 3小时 考点: 算术平均数;折线统计图 分析: 根据算术平均数的概念求解即可. 解答: 解:由图可得,这7天每天的学习时间为:2,1,1,1,1,1.5,3, 则平均数为: =1.5. 故选B. 点评: 本题考查了算术平均数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据 集中趋势的一项指标. 5.(3分 )(2014?邵阳)如图,在△ABC中,∠B=46°,∠ C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( )   A. 45° B. 54° C. 40° D. 50° 考点: 平行线的性质;三角形内角和定理 分析: 根据三角形的内角和定理求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAD,然后根据两 直线 平行,内错角相等可得∠ADE=∠BAD. 解答: 解:∵∠B=46°,∠C=54°, ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°, ∵DE∥AB, ∴∠ADE=∠ BAD=40°. 故选C. 点评: 本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记性质与概念是解题的关键. 6.(3分)(2014?邵阳)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可. 解答: 解: ,解得 , 故选:B. 点评: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上 的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用 空心圆点表示. 7.(3分)(2014?邵阳)地球的表面积约为511000000km2,用科学记数法表示正确的是( )   A. 5.11×1010km2 B. 5.11×108km2 C. 51.1×107km2 D. 0.511×109km2 考点: 科学记数法—表示较大的数 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于511000000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8. 解答: 解:511 000 000=5.11×108. 故选B. 点评: 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键. 8.(3分)(2014?邵阳)如图, △ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.已知∠A=30°,则∠C的大小是( )   A. 30° B. 45° C. 60° D. 40° 考点: 切线的性质 专题: 计算题. 分析: 根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB,则∠ABO=90°, 利用∠A=30°得到∠AOB=60°,再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC,由于∠C=∠OBC,所以∠C= AOB=30°. 解答: 解:连结OB,如图, ∵AB与⊙O相切, ∴OB⊥AB, ∴∠ABO=90°, ∵∠A=30°, ∴∠AOB=60°, ∵∠AOB=∠C+∠OBC, 而∠C=∠OBC, ∴∠C= AOB=30°. 故选A. 点评: 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 9.(3分)(2014?邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则 所用铁丝的长度关系是( )   A. 甲种方案所用铁丝最长 B. 乙种方案所用铁丝最长   C. 丙种方案所用铁丝最长 D. 三种方案所用铁丝一样长 考点: 生活中的平移现象 分析: 分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案. 解答: 解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b, 乙所用铁丝的长度为:2a+2b, 丙所用铁丝的长度为:2a+2b, 故三种方案所用铁丝一样长. 故选:D. 点评: 此题主要考查了生活中的平移现象,得出各图形中铁丝的长是解题关键 . 10.(3分)(2014?邵阳)已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是( )   A. a>b B. a=b C. a<b D. 以上都不对 考点: 一次函数 图象上点的坐标特征 分析: 根据一次函数的增减性,k<0,y随x的增大而减小解答. 解答: 解:∵k=﹣2<0, ∴y随x的增大而减小, ∵1<2, ∴a>b. 故选A. 点评: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数的增减性求解更简便. 二、填空题(共8个小题,每小题3分,共24分) 11.(3分)(2014?邵阳)已知∠α=13°,则∠α的余角大小是 77° . 考点: 余角和补角. 分析: 根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解. 解答: 解:∵∠α=13°, ∴∠α的余角=90°﹣13°=77°. 故答案为:77°. 点评: 本题考查了余角的定义,是基础题,熟记概念是 解题的关键. 12.(3分)(2014?邵阳)将多项式m2n﹣2mn+n因式分解的结果是 n(m﹣1)2 . 考点: 提公因式法 与公式法的综合运用 分析: 先提取公因式n,再根据完全平方公式进行二次分解. 解答: 解:m2n﹣2mn +n, =n(m2﹣2m+1), =n(m﹣1)2. 故答案为:n(m﹣1)2. 点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个 多项式有公因式首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 13.(3分)(2014?邵阳 )若反比例函数 的图象经过点(﹣1,2),则k的值是 ﹣2 . 考点: 待定系数法求反比例函数解析式 分析: 因为(﹣1,2)在函数图象上,k=xy,从而可确定k的值. 解答: 解:∵图象经过点(﹣1,2), ∴k=xy=﹣1×2=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查待定系数法求反比例函数解析式,关键知道反比例函数式的形式,从而得解. 14.(3分)(2014?邵阳)如图,在?ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: △ABP∽△AED . 考点: 相似三角形的判定;平行四边形的性质 专题: 开放型. 分析: 可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED. 解答: 解:∵BP∥DF, ∴△ABP∽△AED. 故答案为△ABP∽△AED. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; 15.(3分)(2014?邵阳)有一个能自由转动的转盘如图,盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后 ,指针指向白色扇形的概率是 . 考点: 几何概率 分析: 求出白色扇形在整个转盘中所占的比例即可解答. 解答: 解:∵每个扇形大小相同,因此阴影面积与空白的面积相等, ∴落在白色扇形部分的概率为: = . 故答案为: . 点评: 此题主要考查了几何概率,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比. 16.(3分)(2014?邵阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,则点A′的坐标是 (﹣4,3) . 考点: 坐标与图形变化-旋转 分析: 过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′,根据旋转的性质可得OA=OA′,利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′,然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等,根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB,A′B′=OB,然后写出点A′的坐标即可. 解答: 解:如图,过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′, ∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′, ∴OA=OA′,∠AOA′=90°, ∵∠A′OB′+∠AOB=90°,∠AOB+∠OAB=90°, ∴∠OAB=∠A′OB′, 在△AOB和△OA′B′中, , ∴△AOB≌△OA′B′(AAS), ∴OB′=AB=4,A′B′=OB=3, ∴点A′的坐标为(﹣4, 3). 故答案为:(﹣4,3). 点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是 本题的难点. 17.(3分)(2014?邵阳)如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点 E.∠A=30°,AB=8,则DE的长度是 2 . 考点: 三角形中位线定理;含30度角的直角三角形. 分析: 根据D为AB的中点可求出AD的长,再根据在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度. 解答: 解:∵D为AB的中点,AB=8, ∴AD=4, ∵DE⊥AC于点E,∠A=30°, ∴DE= AD=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查了直角三角形的性质:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 18.( 3分)(2014?邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个 单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41. 考点: 规律型:图形的变化类;数轴 专题: 规律型. 分析: 根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),分别求出点所对应的数,进而求出点到原点的距离;然后对奇数项、偶数项分别探究,找出其中的规律(相邻两数都相差3),写出表达式;然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式,就可解决问题. 解答: 解:由题意可得: 移动1次后该点对应的数为0+1=1,到原点的距离为1; 移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2,到原点的距离为2; 移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4,到原点的距离 为4; 移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5,到原点的距离为5; 移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7,到原点的距离为7; 移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8,到原点的距离为8; … ∴移动(2n ﹣1)次后该点到原点的距离为3n﹣2; 移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1. ①当3n﹣2≥41时 , 解得:n≥ ∵n是正整数, ∴n最小值为15,此时移动了29次. ②当3n﹣1≥41时, 解得:n≥14. ∵n是正整数, ∴n最小值为14,此时移动了28次. 纵上所述:至少移动28次后该点到原点的距离不小于41. 故答案为:28. 点评: 本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量,考查了数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),考查了一列数的规律探究.对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键. 三、解答题(共3小题,每小题8分,共24分) 19.(8分)(2014?邵阳)计算:( )﹣2﹣ +2sin30°. 考点: 实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 分析: 本题涉及负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=4﹣2+1 = 3. 点评: 本题考查实数的综合运算 能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. 20.(8分)(2014?邵阳)先化简,再求值:( ﹣ )?(x﹣1),其中x=2. 考点: 分式的化简求值 专题: 计算题. 分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值. 解答: 解:原式= ?(x﹣1)= , 当x=2时,原式= . 点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握 运算法则是解本题的关键. 21.( 8分)(2014?邵阳)如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE. (1)从图中任找两组全等三角形; (2)从(1)中任选一组进行证明. 考点: 全等三角形的判定 分析: (1)根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB; (2)根据AB∥CD可得∠1=∠2,根据AF=CE可得AE=FC,然后再证明△ABE≌△CDF即可. 解答: 解:(1)△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB; (2)∵AB∥CD, ∴∠1=∠2, ∵AF=CE, ∴AF+EF=CE+EF, 即AE=FC, 在△ABE和△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(AAS). 点评: 此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 四、应用题(共3个小题,每小题8分,共24分) 22.(8分)(2014?邵阳)网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,得到了如图所示的两个不完全统计图. 请根据图中的信息, 解决下列问题: (1)求条形统计图中a的值; (2)求扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角; (3)据报道,目前我国 12﹣35岁网瘾人数约为2000万,请估计其中12﹣23岁的人数. 考点 : 条形统计图 ;用样本估计总体;扇形统计图 专题: 图表型. 分析: (1)用30~35岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数,然后列式计算即可得解; (2)用360°乘以18~23岁的人数所占的百分比计算即可得解; (3)用网瘾总人数乘以12~23岁的人数所占的百分比计算即可得解. 解答: 解 :(1)被调查的人数=330÷22%=1500人, a=1500﹣450﹣420﹣330=1500﹣1200=300人; (2)360°× ×100%=108°; (3)∵12﹣35岁网瘾人数约为2000万, ∴12~23岁的人数约为2000万× =400万. 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占 总体的百分比大小. 23. (8分)(2014?邵阳)小武新家装修,在装修客厅时,购进彩色地砖和单色地砖共100块,共花费5600元.已知彩色 地砖的单价是80元/块,单色地砖的单价是40元/块. (1)两种型号的地砖各采购了多少块? (2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块,且采购地砖的费用不超过3200元,那么彩色地砖最多能采购多少 块? 考点: 二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用 分析: (1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可; (2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式,求出其解 即可. 解答: 解:(1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,由题意,得 , 解得: . 答:彩色地砖采购40块,单色地砖采购60块; (2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,由题意,得 80a+40(60﹣a)≤3200, 解得:a≤20. ∴彩色地砖最多能采购20块. 点评: 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,解答时认真分析单价×数量 =总价的关系建立方程及不等式是关键. 24. (8分)(2014?邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号, 一 艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6) 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题 分析: 过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD= AC=40海里,再解Rt△CBD中,得出BC= ≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间. 解答: 解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D. 在Rt△ACD中,∵∠ ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里, ∴CD= AC=40海里. 在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°, ∴BC= ≈ =50(海里), ∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:50÷40= (小时). 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 五、综合题(共2小题,25题8分,26题10分,共18分) 25.(8分)(2014?邵阳)准备一张矩形纸片,按如图操作: 将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点. (1)求证:四边形BFDE是平行四边形; (2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积. 考点: 翻折变换(折叠问题);平行四边形的判定;菱形的性质 分析: (1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF,DE∥BF,根据平行四边形判定推出即可. (2 )求出∠ABE=30 °,根据直角三角形性质求出AE、BE,再根据菱形的面积计算即可求出答案. 解答: (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB, ∴∠EBD=∠FDB, ∴EB∥DF, ∵ED∥BF, ∴四边形BFDE 为平行四边形. (2)解:∵四边形BFDE为菱形, ∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠ABC=90°, ∴∠ABE=30°, ∵∠A=90°,AB=2, ∴AE= = ,BF=BE=2AE= , ∴菱形BFDE的面积为: ×2= . 点评: 本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,矩形的性质,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理和 计算的能力. 26.(10分)(2014?邵阳)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C. (1)若 m=2,n=1,求A、B两点的坐标; (2)若A、B两点分别位于 y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小; (3)若m=2,△ABC是等腰三角形 ,求n的值. 考点: 二次函数综合题 分析: (1)已知m,n的值, 即已知抛物线解析式,求解y=0时的解即可. 此时y=x2﹣(m+n)x +mn=(x﹣m)(x﹣n),所以也可直接求出方程的解,再代入m,n的 值,推荐此方式,因为后问用到的可能性比较大. (2)求∠ACB,我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断,所以利用条件易得﹣1=mn,进而可以用m来表示A、B点的坐标,又C已知, 则易得AB、BC、AC边长.讨论即可. (3) △ABC是等腰三角形,即有三种情形,AB=AC,AB=BC,AC=BC.由(2)我们可以用n表示出其三边长,则分别考虑列方程求解n即可. 解答: 解:(1)∵y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n), ∴x=m或x=n时,y都为0, ∵m>n,且点A位于点B的右侧, ∴A(m,0),B(n,0). ∵m=2,n=1, ∴A(2,0),B(1,0). (2 )∵抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)过C(0,﹣1), ∴﹣1=mn, ∴n=﹣ , ∵B(n,0), ∴B(﹣ ,0). ∵AO=m,BO=﹣ ,CO=1 ∴AC= = , BC= = , AB=AO+BO=m﹣ , ∵(m﹣ )2=( )2+( )2, ∴AB2=AC2+BC2, ∴∠ACB=90°. (3)∵A(m,0),B(n,0),C(0,mn),且m=2, ∴A(2,0),B(n,0),C(0,2n). ∴AO=2,BO=| n|,CO=|2n|, ∴AC= = , BC= = |n|, AB=xA﹣xB=2﹣n. ①当AC= BC时, = |n|,解得n=2(A、B两点重合,舍去 )或n=﹣2; ②当AC=AB时, =2﹣n,解得n=0(B、C两点重合,舍去)或n=﹣ ; ③当BC=AB时, |n|=2﹣n, 当n>0时, n=2﹣n,解得n= , 当n<0时,﹣ n=2﹣n,解得n=﹣ . 综上所述,n=﹣2,﹣ ,﹣ , 时,△ABC是等腰三角形. 点评: 本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识,总体难度适中,是一道非常值得学生加强联系的题目.

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