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漳州市2015年中考数学压卷题训练4 1. 实验与探究: 三角点阵前n行的点数计算 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点… 第n行有n个点… 容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前 多少行的点数 的和吗? 如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然 你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案 需我们先探求三角点阵中 前n行的点数的和与n的数量关系 前n 行的点数的 和是1+2 +3+…+(n-2)+(n-1)+n ,可以发现. 2×[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n] =[1+ 2+3+…+( n-2)+( n-1)+n] +[ n+(n-1)+(n-2 )+…3+2+1] 把两个 中括号中的第一项 相加,第二项相加…第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1 ), 于是得到 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1) 这就是说, 三角点阵中前n 项 的点数的和是n(n+1) 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中 前n行的点数的和为300,则有n(n+1) 整理这个方程,得 :n2+n-600=0 解方程 得:n1=24, n2 =25 根据问题中未知数的意义确定n=24 ,即三角点 阵中前24行的点数的和是300. 请你 根据上述材料 回答下列问题: (1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理. (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数的和 能使600吗?如果能 ,求出n;如果不能,试用一元二次方程 说明道理. 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx +c与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为( 0,4),已知点 E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G, 交BD于点H. (1 )求该抛物线的解析式; ( 2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度; ( 3)在(2)的 条件下,是否存在这样的点P ,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明理由 . 漳州市2015年中考数学压卷题训练4参考答案 1. 解:(1)由题意可得: =600, 整理得n2+n-1200 =0, (n+25)(n -24)=0, 此方程无正整数解, 所以,三角点阵 中前n行的点数的和不可能是600; (2)由题意可得: 2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+ n)=2× = n(n+1); 依题意,得n(n+1)=600, 整理得n2+n-600= 0, (n+ 25)(n-24)=0, ∴n1=-25,n2 =24, ∵n为正整数, ∴ n=24. 故n的值是24. 2 . 解:(1)∵抛物线y=-x2+bx + c与x轴交于点A (1,0),与y轴交于点B (0 ,4), ∴ ,解得 , ∴抛物线的解析式为 y=-x2- x+4; (2)∵E (m,0),B(0,4 ), PE⊥x轴 交抛物线于点P,交BC于点G, ∴ P(m,- m2-m+4),G(m,4), ∴PG=-m2-m+4- 4=-m2-m; (3 )在(2) 的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似. ∵y= -x2-x+4 , ∴当y=0 时,- x2 -x+4=0, 解得x=1或-3, ∴D(-3,0). 当点 P在直线BC上方时,-3<m<0. 设直线BD的解析式为y=kx+4, 将D(-3,0)代入,得-3k+4=0 , 解得k=, ∴直线BD的解析式为y=x+4, ∴H(m, m+4). 分两种情况: ①如果△BGP∽△DEH,那么 = , 即 = , 由 -3<m<0,解得m=- 1; ②如果△PGB∽△DEH,那么 = , 即 = , 由-3<m<0,解得m=- . 综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为-1或- .

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