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八年级下数学竞赛训练(五)及答案 一.选择题: 1.已知a为整数,关于x的方程 的根是质数,且满足 ,则a等于(  ) A.2  B.2或5  C.±2  D.-2 2、已知一次函数 ,函数 随着 的增大而减小,且其图象不经过第一象限,则 的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 3、如图-4,△ABC中,AD是∠BAC内的一条射线,BE⊥AD,且△CHM可由△BEM旋转而得,延长CH交AD于F,则下列结论错误的是( ) A、BM=CM B、FM= EH C、CF⊥AD D、 FM⊥BC 4、如图所示,两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR,如果O点正好是正方形ABCD的中心,而正方形OPQR可以绕O点旋转,那么它们重叠部分的面积为( ) A、4 B、2 C、1 D、 5.若关于x的方程 的解是 , ,则关于x的方程 的解是(  ) A. ,    B. ,    C. ,   D. , 6.△ABC的三边为a、b、c,且满足 , 则△ABC是 ( ) (A) 直角三角形 (B)等腰三角形 (C) 等边三角形 (D)以上答案都不对 二、填空题: 7、如图是重叠的两个直角三角形,将其中一个 直角三角形沿BC方向平移BE距离就得到此图, 已知AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分的面积是_____ 8、如果两个数x和y满足 , 则x+y的最小值是________,最大值是_______ 9、现需在一段公路的一侧树立一些公益广告牌.第1个广告牌树立在这段路的始端,而后每隔5米树立一个广告牌,这样刚好在这段路的未端可以树立1个,此时广告牌就缺少21个,如果每隔5.5米树立1个,也刚好在路的未端可以树立1个,这样广告牌只缺少1个,则这些公益广告牌有 个,这段路长 米. 10.某学校建了一个无盖的长方体水箱,现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底,则砂轮磨不到的部分的面积为___. 11.如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点, CF平分∠DCE,交AD于F,则AF的长为 . 12.已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5, 设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n-m等于 。 三、解答题: 13、设一个(n+1)位的正整数具有下述性质:该数的首位数字是6,去掉这个6以后,所得的整数是原来的 ,把这个数记作An+1,试求A3+A4+A5+A6的值。 14.已知关于x的方程 的解都是整数, 求整数k的值。 15. 如图,在正方形ABCD中,P是CD上一点,且AP=BC+CP,Q为CD中点, 求证:∠BAP=2∠QAD. 16、某公园门票价格,对达到一定人数的团队,按团体票优惠,现有A、B、C三个旅游团共72人,如果各团单独购票,门票依次为360元、384元、480元;如果三个团合起来购票,总共可少花72元. ⑴这三个旅游团各有多少人? ⑵在下面填写一种票价方案,使其与上述购票情况相符: 售 票 处 普通票 团体票(人数须_______________) 每人___________元 每人___________元 16、(1)360+384+480-72=1152(元) 1152÷72=16(元/人),即团体票是每人16元,因为16不能整除360,所以A团未达到优惠人数,若三个团都未达到优惠人数,则三个团的人数比为360︰384︰480=15︰16︰20,即三个团的人数分别为1551 ×72、1651 ×72、2051 ×72,这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数即可),不可能,所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数,这有两种可能:①只有C团达到;②B、C两团都达到.对于①,C团人数为480÷16=30(人),A、B两团共有42人,A团人数为 ,B团人数为 ,不是整数,不可能;所以必是②成立,即C团有30人,B团有24人,A团有18人. (2) 售 票 处 普通票 团体票(人数须20人) 每人20元 每人16元 (团体票人数限制 也可以是“须超过 18人”等) 参考答案 一、选择题:1、D(a2x=20=4×5,∴a2=4,a=±2,x=5,代入 检验可知) 2、D(∵ 随着 的增大而减小∴1-2m<0, ∵图象不经过第一象限 ∴m-2≤0,∴ ) 3、D 4、D(旋转至OP、OR过点A、B) 5、D(∵x-1+2x-1 =a-1+2a-1 ∴x-1=a-1或x-1=2a-1 ∴x=a或x=2a-1 +1=a+1a-1 ) 6、B(a2+b2+134 c2=2ac+3bc ∴(a2-2ac+c2)+(b2-3bc+94 c2)=0,即(a-c)2+(b- 32 c)2=0) 二、填空题: 7、26cm2 (∵S阴=S梯形ABEH ) 8、∵│x+y+3│+│5-x-y│=8,而(x+y+3)+(5-x-y)=8,∴x+y+3≥0 且5-x-y≥0 ∴-3≤x+y≤5,∴最小值为-3,最大值为5。 9、设广告牌有x个,则有5(x+21-1)=5.5(x+1-1),解得x=200,5.5x=1100m. 10、5×4×(r2- r2)=20r2-5πr2 (也可写为(20-π)r2 ) 11、延长CE交DA的延长线于点G,过F作FH⊥CG于H,易求得 AG=CB=a,CG=5 a,∵CH=CD=a,∴HG=(5 -1)a,设AF=x, 则FH=DF=a-x,FG=a+x,由勾股定理得(a+x)2-(a-x)2=[5 -1)a]2, ∴4ax=(6-25 )a2,∴AF=x=3-52 a. 12、∵3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5,∴a=6-5c,b=7c-7,∴S=5a+4b+7c=10c+2, ∵非负实数a、b、c∴a=6-5c≥0,b=7c-7≥0,∴1≤c≤65 ,∵S=10c+2,∴当c=65 时, S最大=14,当c=1时,S最小=12,即m=14,n=12,∴n-m=-2 .三、解答题: 13、设去掉这个6以后所得的整数为x,则原来的数为6×10n+x, 由题意得: 6×10n+x=25x,∴24x= 6×10n,∴x=14 ×10n, 当n=2时,x=25,∴A3=625;当n=3时,x=250,∴A4=6250,同理得A5=62500, A6=625000,∴A3+A4+A5+A6=625+6250+62500+625000=694375 14、(分类讨论)(一)当k2-1=0时,为一元一次方程,把k=±1代入,发现方程都为整数解。(二)当k2-1≠0时,为一元二次方程,此时用“十字相乘法”得 [(k+1)x-12]?[(k-1)x-6]=0,∴x1=12k+1 ,x2=6k-1 ,要想使方程的解都是整数, 则要同时满足k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12且k-1=±1,±2,±3,±6 ∴k=2,0,3,-2,-5,综上所述,k= ±1,±2,0,3,,-5。 15、延长PC至E,使得CE=BC,连接AE交BC于F,易得AE平分∠BAP, 再证△ABF≌△ADQ。

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