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关键字:竞赛试题

福州一中“迎2008元旦高一数学竞赛”试卷 班级 姓名 一、 选择题 1.乘积 等于 ( ) A. B. C.    D. 2.根据图中骰子的三种不同状态显示的数字,推出?处的数字是 (  ) A.1       B.2      C.3      D.6 5 1 ? 4 1 2 3 4 5 3.已知函数 与 的图像交于 两点,其中 .若 ,且 为整数,则 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.已知函数 若方程 有且只有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点M、N分别在AB1、BC1上,且AM=BN.那么, ①AA1⊥MN; ②A1C1∥MN; ③MN∥平面A1B1C1D1; ④MN与A1C1异面. 以上4个结论中,不正确的结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使△AOB(O为原点)的面积最小,则l的方程为 A.x+y-3=0 B.x+3y-5=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0 二、 填空题 7.已知 为R上的偶函数,且对任意 都有 成立,则 8.设 (其中 ,k为实数常数),且 是定义在R上的奇函数. 令 ( m、n均为实数常数),若 ,则 等于 . 9.若集合 ,则A的含有不少于2个元素的真子集的个数为 . 10.甲、乙、丙三个同学是同班同学,平日里学习注重合作、交流,高一上学期进入复习阶段以后,他们商定做三个签,上面分别写着《集合》、《函数》、《三角函数》的字样,然后公平抽签,抽到什么就作这一章的的章节归纳,然后大家共同完善.抽签后,甲说他抽到的是《集合》,乙说他抽到的不是《集合》,丙说他抽到的不是《三角函数》.事实上,他们三个只有一个人说的是实话,则甲抽到的是 ,乙抽到的是 ,丙抽到的是 . 11.已知50个数 从—1,0,1中取值,若 ,且 ,则 中0的个数是 12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: ,例如: .那么 . 三、解答题 13.设a是一个给定的实数,问是否存在函数 (R为全体实数的集合),使得对于任何的 ,都有 ,及 ,若存在求出所有的满足条件的函数,若不存在说明理由。 14.如图,在△ABC中,AB = BC,点P是△ABC内部的一点, . 若AP = 4,BP = 5,CP = 3,求证:△ABC为正三角形. 15.试求出所有的正整数对a、b,使得 ,且a与b的最小公倍数为26190. 参考答案及评分标准 一、选择题 C D C A B D 二、填空题 7)0 8)4-b 9) 10)三角函数 集合 函数 11)11 12)2680 三、解答题 13.解:由题意知:对于任意的 ,都有 ,……① 及 ……② 由②和①得: , 即 ……③ ……………………………………………………………………6分 由①和③得: 即 ,于是 ……④………………………………………………………………………10分 把④代入②得: ……⑤( 是 存在的必要条件)……………………12分 综上可知:若 ,则 ( ),显然满足所有条件。 若 ,则满足要求的 不存在。…………………………………………15分 14.解:如图,因为AB = BC,可在△ABC的外面取一点P1,使得 …5分 且P1B = PB = 5,P1C = PA = 4, 记 ,则 ,即 , 由勾股定理得: ,所以 为正三角形 ……………………10分 从而 ,…………………15分 15.解:令 , (k为a与b的最大公因数,且a1与b1互素, ) 由 得: (149为素数)……①………………………5分 因为a 与b的最小公倍数 , 所以 (97为素数)……②………………………8分 由①,②得: ,且 所以 。……………………………………………………………………………………………………12分 下面进行分类讨论: (1) 若 ,则 , ,即 ,……③ 由此可知: 令 ,代入③得: , 即 ,……④ 其判别式 。 显然 , 所以Δ不是完全平分数,从而④无整数根,故 不合要求。………………………15分 (2) 若 ,则 消去a1得: , ,从而 , 所以 ,从而 综上所述,所求的正整数 ……………………………………20分

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