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江苏省蒋垛中学高二数学基础知识竞赛 时间:120分钟 卷面分数:160分 命题人:徐文国 校对人:朱善宏 一:填空题(每题5分,共计70分) 1、若命题 ,则 是     ; 2、椭圆4 x 2 + y 2 = 4的长轴长为_________. 3、如右图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是 正方形的一顶点,半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆, 它落在扇形内的概率为 (用分数表示) 4、已知x、y的取值如下表所示: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析,y与x线性相关,且 ,则 . 5、过抛物线y 2 = 4 x的焦点F,作直线l交抛物线于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点,若x1 + x2=8,则|AB|= . 6、社会调查机构就某地居民的月收入 调查了10000人,并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图(如下图).为 了分析居民的收入与年龄、学历、职业 等方面关系,要从这10 000人中再用 分层抽样方法抽出100人作进一步调查, 则在[2500,3000](元)月收入段应抽出 人. 7、右面程序的输出结果为______。 8、关于 的方程 至少有一个正实根的充要条 件是 。 9、若数据x1, x2, x3, x4, x5的标准差为2, 数据a x1 + b, a x2 + b, a x3 + b, a x4 + b, a x5 + b的标准差为4,则正实数a的值为 . 10、过双曲线 的右焦点F,作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=6,则这样的直线有 条。 11、已知函数f (x) = x3 +a x 2 +4 x存在极值,则实数a的取值范围是 。 12、已知直 和 相切,则 等于 。 13、如图,是函数 的大致图像, 则 等于 。 14、过椭圆 的左焦点F,作倾斜角为60o 直线的l交椭圆于A、B两点,若AF=2FB,则椭圆的离心率e= . 二:解答题(一共6大题,共计90分) 15、(本题满分14分) (1)双曲线过点(- , 6 ), 两条渐近线方程是y=±3x, 求双曲线的标准方程; (2)若双曲线的实轴长, 虚轴长, 焦距依次成等差数列, 求双曲线的离心率. 16、(本题满分14分)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问: (I) 两数之和是3的倍数的概率是多少; (II) 两数之积是3的倍数的概率是多少? 17、(本题满分14分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为: 已知甲、乙两地相距100千米。 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 18、(本题满分16分)已知椭圆 的左焦点为F,O为坐标原点。 (I)求过点O、F,并且与 : 相切的圆的方程; (II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与 轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。 19、(本题满分16分)已知命题 : 在 上有意义;命题 :数列 中, ,且对 ,均有 恒成立.若命题 与 有且仅有一个是正确的,试求实数 的取值范围. 20、(本题满分16分)已知圆 方程为: . (I)直线 过点 ,且与圆 交于 、 两点,若 ,求直线 的方程; (II)过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ,设 与 轴的交点为 ,若向量 ,求动点 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 江苏省蒋垛中学高二数学综合测试题参考答案 一:填空题 1、 2、4 3、 4、2.6 5、10 6、20 7、22 8、 9、2 10、3 11、a>2或a <– 2 12、-1 13、 14、 二:解答题 15、解:(1)设双曲线的方程为y 2 – 9 x 2 = m,     …………2分 将点(- , 6 )代入方程得m=9, …………5分 即双曲线的标准方程为 ……………7分; (2) 设双曲线的实轴长为2a, 虚轴长为2b, 焦距为2c,则2b = a + c, …………10分 两边平方得:4b2 = a 2 + 2ac +c2, 由b 2 = c 2 – a 2得3c 2 – 2ac – 5a 2=0, …………12分 所以3c =5a或c = a(舍去),即e= …………14分。 16、解:基本事件共有6×6=36个…………………2分 ⑴两数之和是3的倍数包含以下基本事件: (1, 2) (2, 1) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) (6, 6)共12个…5分 所以,两数之和是3的倍数的概率是 1236 = 13 ……………………………………8分 ⑵两数之积是3的倍数包含以下基本事件: (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 4) (3, 5) (6, 1) (6, 2) (6, 4) (6, 5) 共20个………………………11分 所以,两数之积是3的倍数的概率是 2036 = 59 …………………………………14分 17、解:(1)若 千米/小时,每小时耗油量为 升/小时. ……2分 共耗油 升. ………………………………4分 所以,从甲地到乙地要耗油17.5升. ………………………………5分 (2)设当汽车以 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少, ,耗油量为S升. ………………6分 则 ,………………9分 ,………………………………10分 令 ,解得, .………………………………11分 列表: 极小值11.25 ……………………………………………………………………………13分 所以,当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,耗油量最少,为11.25升. ……14分 18、解:(I) 圆过点O、F, 圆心M在直线 上。………………3分 设 则圆半径 由 得 解得 所求圆的方程为 ………………8分 (II)设直线AB的方程为 代入 整理得 ………………10分 直线AB过椭圆的左焦点F, 方程有两个不等实根。 记 中点 则 的垂直平分线NG的方程为 ………………12分 令 得 ……15分 点G横坐标的取值范围为 ………………16分 19、解:⑴对于命题 ,由 在 上有意义, 知 , 恒成立, ...........2分 即 , 恒成立.解得 ...........5分 所以,若命题 成立,则 ..........6分 ⑵ 对于命题 , ∴ ...........8分 ∴ ≥1 解得: ...........11分 因为命题 与 有且仅有一个是正确的, 所以,若命题 成立, 不成立,则 ,所以 ....12分 若命题 不成立, 成立, ……14分 综合知, 的取值范围是 . ...........16分 20、解:(Ⅰ)①当直线 垂直于 轴时,则此时直线方程为 , 与圆的两个交点坐标为 和 ,其距离为 满足题意 .…………………………3分 ②若直线 不垂直于 轴,设其方程为 ,即 …5分 设圆心到此直线的距离为 ,则 ,得 ∴ , , 故所求直线方程为 …………8分 综上所述,所求直线为 或 …………9分 (Ⅱ)设点 的坐标为 ( ), 点坐标为 则 点坐标是 ∵ , ∴ 即 , …………12分 又∵ ,∴ …………14分 ∴ 点的轨迹方程是 , 轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆,除去短轴端点.…………16分

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