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关键字:竞赛试题

江苏省东海高级中学高三奥赛班数学期末压阵题模拟汇编 1、 中,角A、B、C所对的边分别为 、 、 ,已知 (1)求 的值; (2)求 的面积。 (1)由 ,得 ------------3分 为锐角, , -------5分 --------------------------6分 (2) ---8分 又 , ,得 , --------------------------10分 --------------------------12分 (若通过 得出 ,求出 , 未舍去 , 得两解,扣2分.) 2、设函数 ,已知 ,且 (a∈R, 且a≠0),函数 (b∈R,c为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。 (1)试求a、b的值; (2)若 时,函数 的图象恒在函数 图象的下方,求正整数 的值。 (1) ,∴ ① 又 ,∴ ,即 ② 由①②得 , .又 时,①、②不成立,故 .------2分 ∴ ,设x1、x2是函数 的两个极值点,则x1、x2是方程 =0的两个根, , ∴x1+x2= ,又∵ A、O、B三点共线, = , ∴ =0,又∵x1≠x2,∴b= x1+x2= ,∴b=0. ----------------6分 (2) 时, , -----------------------7分 由 得 ,可知 在 上单调递增,在 上单调递减, . ---------------------9分 ①由 得 的值为1或2.(∵ 为正整数) -----------------11分 ② 时,记 在 上切线斜率为2的切点的横坐标为 , 则由 得 ,依题意得 , 得 与 矛盾. (或构造函数 在 上恒正) 综上,所求 的值为1或2. -----------------------14分 3、已知数列{an}满足 , , , 为正数 . (1)若 对 恒成立,求m的取值范围; (2)是否存在 ,使得对任意正整数 都有 ?若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由。 (1)∵ 为正数, ①, =1,∴ >0(n∈N*),……… 1分 又 ②,①—②两式相减得 , ∴ 与 同号, ---------------------4分 ∴ 对n∈N*恒成立的充要条件是 >0. ---------------------7分 由 = >0,得 >7 . ---------------------8分 (2)证法1:假设存在 ,使得对任意正整数 都有  . 则 ,则 >17 . --------------------9分 另一方面, = = ,---------11分 ∴ , ,……, , ∴ ,∴ = , ① --------------------------------14分 当m>16时,由①知, ,不可能使 对任意正整数n恒成立, --------------------------------15分 ∴m≤16,这与 >17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有  . --------------------------------16分 (2)证法2:假设存在m,使得对任意正整数n都有  . 则 ,则 >17 . --------------------9分 另一方面, , ------------------11分 ∴ , ,……, , ∴ , ① -----------------14分 当m>16时,由①知, ,不可能使 对任意正整数恒成立, --------------------------15分 ∴m≤16,这与 >17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有  。 -----------------------------16分 4、 已知⊙ ,Q是y轴上的动点,QA、QB分别切⊙M于A、B两点 (1)如果 ,求直线MQ的方程; (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程 (1)设P为MQ与AB得交点,由 , 可得 .…….………. .………. .….…..2分 由 AMP∽ QMA得, , 得 ,在Rt MOQ中, = ,所以点Q坐标为(0, )或(0, ).…….………. .……….………. .…….………. .…..4分 ∴直线MQ得方程是 或 . 即 或 ……. .…….………. .……….…..6分 (2)设P ,Q(0,a)由点M,P,Q在一条直线上, 得 ,∴ ①……. .…….………. .……….….8分 又△AMP∽△QMA得, 即 ②…. .…….………. .……….….10分 由①②消去 得 …. .…….………. .……….….12分 5、已知两个二次函数: 与 , 函数y=g(x)的图像与 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 (1)试证: 在(-1,1)上是单调函数 (2)当 >1时,设 , 是方程 的两实根,且 ,试判断 , , , 的大小关系 (1)∵ 的图像与 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 ,则方程 有两个不同的实数根,即有 …. .…….….….2分 ∴ ,∴有 或 ,∴ 或 即 或 …. .…….………. .……….….4分 于是二次函数 图像的对称轴 在(-1,1)的左侧或右侧,故 在(-1,1)上是单调函数…. .…….………. . ….………….……………….….6分 (2)∵ 是方程 的两个实根 故有 …. . ….………….……………….….8分 ∴ , 又 . ….…………. ………………………….….10分 ∵当 时, 的图像开口向上,与 轴的两相交点为 13分 而点 ,在x轴下方, ∴有 ….…………. …………………………….….14分 6、已知函数 ,其中 . (1)设 在 处取得极值,其中 ,求证: ; (2)设 ,求证:线段 的中点 在曲线 上; (3)若 ,求证:过原点且与曲线 相切的两条直线不可能垂直. 解:(1) ,∴ 的两根为 , 令 ,∵ ,∴ , 故有 . (2)设 中点 ,则 , 故有 ,∴ , . ∴ . 代入验算可知 在曲线 上. (3)过曲线上的点 的切线的斜率是 , 当 时,切线的斜率 ; 当 时, ,∴ , ∴切线斜率 . ∵ ,∴ ,∴ ∴ ∴ ,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直. 7、已知点集 ,其中 ,又知点列 , 为 与 轴的的交点.等差数列 的公差为1, . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 ,求出 的值; (Ⅲ)对于数列 ,设 是其前 项和,是否存在一个与 无关的常数 ,使 ,若存在,求出此常数 ,若不存在,请说明理由. 解:(1)由题设有 ,故L为直线 ,它与 轴的交点为 ( 2分 ) ,又数列 是以1为公差的等差数列,所以 , 故 ( 5分 ) (2) ( 5分 ) 当 为奇数时, ; 当 为偶数时, . ( 10分 ) (3) ,假设存在与 无关的常数 ,使 即 ,故存在与 无关的常数 ,使 .( 14分 ) 8、已知A、B、C为△ABC的三个内角,设 . (1)当f (A, B)取得最小值时,求C的大小; (2)当 时,记h(A)=f (A, B),试求h(A)的表达式及定义域; (3)在(2)的条件下,是否存在向量p,使得函数h(A)的图象按向量p平移后得 到函数 的图象?若存在,求出向量p的坐标;若不存在,请说明 理由. (1)配方得f (A,B) = (sin2A- )2 + (cos2B- )2 +1, …………2分 ∴ [f (A,B) ]min = 1, 当且仅当 时取得最小值. …………2分 在△ABC中, 故C = 或 .…………3分 (2) A+B = ,于是 h(A)= =cos2A- +3=2cos(2A+ ) + 3. …………4分 ∵A+B = ,∴ . …………1分 (3)∵函数h(A)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数;而函数 在区间 上是减函数. ∴函数h(A)的图象与函数 的图象不相同,从而不存在满足条件的 向量p. …………2分 9、△ABC的三内角为A、B、C,已知复数z1=sinA+isinB,z2=cosA+icosB,z3=sin(A-B)+isin(A+B). (1)若∠C为钝角,比较|z1|与|z2|的大小; (2)若z3=z1z2,试判断△ABC的形状. 解:(1)由于0<A+B< ,则01时, 动点M的轨迹是一条双曲线;当0 ,即a> 时,则[g(x)]min=g( )=a- ; 如果a-1≤ ,即a≤ 时,则g(x)在(-∞,a-1)上为减函数,[g(x)]min=g(a-1)= (a-1)2. 当a> 时,(a-1)2-(a- )=(a- )2>0;当a< 时,(a-1)2-( -a)=(a- )2>0. 综上,得当a< 且a≠ 时,g(x)的最小值是 -a; 当 ≤a≤ 时,g(x)的最小值是(a-1)2;当a> 时,g(x)的最小值为a- ; 当a=- 时,g(x)的最小值不存在. 17、设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,总有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)求f(0)的值;(2)证明:当x<0时,f(x)>1; (3)证明:f(x)在R上单调递减;(4)若M={y|f(y)?f(1-a)≥f(1)},N={y|f(ax2+x+1-y)=1,x∈R},且M∩N≠φ,求a的取值范围. 解:(1)显然,f(x)不恒等于0,令x=1,y=0时,得f(0)=1; (2)令y=-x≥0则1=f(x-x)=f(x)?f(-x),即f(-x)=1f(-x). 由题0<f(-x)<1  ∴f(x)>1; (3)设x1<x2,则x2-x1>0,由题得(2)知f(x)>0. ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)?f(x1)-f(x1) =f(x1)[f(x2-x1)-1]<0 ∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)在R上单调递减; (4)由已知及(3)得:M={y|y≤a},N={y|y=ax2+x+1,x∈R} 显然,当a≤0时,M∩N≠φ 当a>0时,N={y|y=a(x+12a)2+1-14a,x∈R} 要使M∩N≠φ,必须1-14a≤a. 即4a2-4a+1≥0 a∈R 故所求的a的取值范围是a∈R. 18、已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数;②在f(x)的定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[12a,12b]. (1)判断函数y=-x3是否属于集合M?并说明理由.若是,请找出区间[a,b]. (2)若函数y=x-1+t∈M,求实数t的取值范围. 解:(1)y=-x3的定义域是R, y=-3x2≤0,∴y=-x3在R上是单调减函数. 则y=-x3在[a,b]上的值域是[-b3,-a3]. 由-b3=12a-a3=12b 解得:a=-22b=22或a=22b=-22 (舍去)或a=0b=0 (舍去) ∴函数y=-x3属于集合M,且这个区间是[-22,22] (2)设g(x)=x-1+t,则易知g(x)是定义域[1,+∞]上的增函数. g(x)∈M,∴存在区间[a,b] [1,+∞],满足g(a)=12a,g(b)=12b. 即方程g(x)=12x在[1,+∞]内有两个不等实根. [法一]:方程x-1+t=12x在[1,+∞]内有两个不等实根,等价于方程x-1=(12x-t)2在[2t,+∞]内有两个不等实根. 即方程x2-(4t+4)x+4t2+4=0在[2t,+∞]内有两个不等实根. 根据一元二次方程根的分布有f(2t)=(2t)2-(4t+4)?2t+4t2+4≥0△=(4t+4)2-4(4t2+4)>0对称轴4t+42>2t 解得0<t≤12. 因此,实数t的取值范围是0<t≤12. [法二]:要使方程x-1+t=12x在[1,+∞]内有两个不等实根, 即使方程x-1=12x-t在[1,+∞]内有两个不等实根. 如图,当直线y=12x-t经过点(1,0)时,t=12, 当直线y=12x-t与曲线y=x-1相切时, 方程x-1=12x-t两边平方,得x2-(4t+4)x+4t2+4=0,由△=0,得t=0. 因此,利用数形结合得实数t的取值范围是0<t≤12. 19、已知数列{an}的前n项和为Sn,满足关系式(2+t)Sn+1-tSn=2t+4(t≠-2,t≠0,n=1,2,3,…) (1)当a1为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的条件下,设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn}使b1=1,bn=f(bn-1)(n=2,3,4,…),求bn; (3)在(2)条件下,如果对一切n∈N+,不等式bn+bn+1<c2n+1恒成立,求实数c的取值范围. 解:(1)(2+t)Sn+1-tSn=2t+4    ① n≥2时,(2+t)Sn-tSn-1=2t+4   ② 两式相减:(2+t)(Sn+1-Sn)-t(Sn-Sn-1)=0, (2+t)an+1-tan=0,an+1an=t2+t.即n≥2时,an+1an为常数t2+t. 当n=1时,(2+t)S2-tS1=2t+4, (2+t)(a2+a1)-ta1=2t+4,解得a2=2t+4-2a12+t. 要使{an}是等比数列,必须a2a1=?t2+t. ∴2t+4-2a1(2+t)a1=t2+t,解得a1=2. (2)由(1)得,f(t)=t2+t,因此有bn=bn-12+bn-1, 即1bn=2bn-1+1,整理得1bn+1=2(1bn-1+1). 则数列{1bn+1}是首项为1b1+1=2,公比为2的等比数列,1bn+1=2?2n-1=2n, bn=12n-1. (3)把bn=12n-1,bn+1=12n+1-1代入得:12n-1+12n+1-1<c2n+1, 即c>2n+12n-1+2n+12n+1-1, 要使原不等式恒成立,c必须比上式右边的最大值大. ∴2n+12n-1+2n+12n+1-1=(2n-1)+22n-1+12(2n+1-1)+322n+1-1=32+22n-1+32(2n+1-1),单调递减. ∴2n+12n-1+2n+12n+1-1的值随n的增大而减小,则当n=1时,2n+12n-1+2n+12n+1-1取得最大值4. 因此,实数c的取值范围是c>4. 20、已知数列{an}满足 (1)求证:{an}为等比数列; (2)记 为数列{bn}的前n项和,那么: ①当a=2时,求Tn; ②当 时,是否存在正整数m,使得对于任意正整数n都有 如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)当n≥2时, 整理得 所以{an}是公比为a的等比数列.(4分) (2) ①当a=2时, 两式相减,得 (9分) ②因为-1<a<1,所以:当n为偶数时, 当n为奇数时, 所以,如果存在满足条件的正整数m,则m一定是偶数. 当 所以 所以当 当 故存在正整数m=8,使得对于任意正整数n都有 (14分) 21、已知数列 的前n项和 满足: (a为常数,且 ). (Ⅰ)求 的通项公式; (Ⅱ)设 ,若数列 为等比数列,求a的值; (Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 ,数列 的前n项和为 Tn,求证: . 解:(Ⅰ) ∴ 当 时, ,即 是等比数列. ∴ ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,若 为等比数列, 则有 而 故 ,解得 ,再将 代入得 成立, 所以 . (III)证明:由(Ⅱ)知 ,所以 , 由 得 所以 , 从而 .即 . 22、 设函数 的图象是曲线 ,曲线 与 关于直线 对称.将曲线 向右平移1个单位得到曲线 ,已知曲线 是函数 的图象. (Ⅰ)求函数 的解析式; (Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 ,并求最小的正实数 ,使 对任意 都成立. 解:(Ⅰ)由题意知,曲线 向左平移1个单位得到曲线 , 曲线 是函数 的图象, 曲线 与曲线 关于直线 对称, 曲线 是函数 的反函数的图象, 的反函数为 , ; (Ⅱ)由题设: , , ① ② 23、设集合 是满足下列两个条件的无穷数列 的集合: ① ② 是与 无关的常数. (Ⅰ)若 是等差数列, 是其前n项的和, ,证明: ; (Ⅱ)设数列 的通项为 ,求 的取值范围; (Ⅲ))设数列 的各项均为正整数,且 ,试证 。 解:(Ⅰ)设等差数列{ }的公差是 ,则 ,解得 所以 由 =-1<0 得 适合条件①;又 ,所以当 =4或5时, 取得最大值20,即 ≤20,适合条件②。综上所述, (Ⅱ)因为 ,所以当n≥3时, ,此时数列 单调递减;当 =1,2时, ,即 因此数列 中的最大项是 ,所以 ≥7 (Ⅲ)假设存在正整数 ,使得 成立, 由数列 的各项均为正整数,可得 因为 由 因为 依次类推,可得 又存在 ,使 ,总有 ,故有 ,这与数列( )的各项均为正整数矛盾! 所以假设不成立,即对于任意 ,都有 成立. 24、已知点 都在椭圆 上, 、AC分别过两个焦点 ,当 时,有 成立. (1)求此椭圆的离心率; (2)设 当点A在椭圆上运动时,求证 始终是定值. 解:(I)当 时, 由椭圆定义,得 在 中, (II)由 ,得 椭圆方程化为 ,即 焦点 设 (1)当直线AC的斜率存在时,直线AC的方程为 代入椭圆方程,得 ,则 同理可得 (2)当直线AC的斜率不存在时, 综上所述, 是定值6. 25、已知函数 (a为常数). (1)如果对任意 恒成立,求实数a的取值范围; (2)设实数 满足: 中的某一个数恰好等于a,且另两个恰为方程 的两实根,判断① ,② ,③ 是否为定值?若是定值请求出:若不是定值,请把不是定值的表示为函数 ,并求 的最小值; (3)对于(2)中的 ,设 ,数列 满足 ,且 ,试判断 与 的大小,并证明. 解:(1) 对 恒成立, 又 恒成立, 对 恒成立, 又 , (2)由 得: , 不妨设 ,则q,r恰为方程两根,由韦达定理得: ① ② ③而 设 ,求导得: 当 时, 递增;当 时, 递减; 当 时, 递增, 在 上的最小值为 (3) 如果 ,则 在 为递增函数, 又 26、已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项; (3) 记bn= ,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+ =1. 27、设函数 的定义域为 ,当 时,恒有 成立,且过 图象上任意两点的直线的斜率都大于1,求证: (1) 为增函数; (2) >x; (3) 。 证(1)设 ,∴ ,∴ ,∴f(x)为增函数 (2)若存在 ,使 ,则 ①当 = >0时,则f( )= ,即2 = ,∴ =0与 >0矛盾②当 < 时,由(1)知f(x)为增函数,∴f( )< 即2 < ,∴ <0此时与 >0矛盾 ∴必有f(x)>x。 (3)由(2)得f(x)>x>0,∴ ,∴f(f(x))-f(x)>f(x)-x即2x-f(x)>f(x)-x,∴ 同理f(f(f(x)))-f(f(x))>f(f(x))-f(x)即2f(x)-2x>2x-f(x), ∴ ,∴ 。 28、已知函数 满足对任意 , 且 ,都有 . (1)求实数 的取值范围; (2)试讨论函数 在区间 上的零点的个数; (3)对于给定的实数 ,有一个最小的负数 ,使得 时, 都成立,则当 为何值时, 最小,并求出 的最小值. 解:(1)∵ , ∵ ,∴ 的取值范围是 . (2) 由(1)知: ,所以 ①当 时, ,当 时,总有 , 故 时, 在 上有一个零点; ②当 时, ,即 时, 在 上有两个零点。 综上当 时, 在 上有一个零点; 时, 在 上有两个零点。 (3)∵ , 显然 ,对称轴 . ①当 ,即 时, ,且 . 令 ,解得 , 此时 取较大的根,即 , ∵ ,∴ . ②当 ,即 时, ,且 . 令 ,解得 , 此时 取较小的根,即 , ∵ ,∴ . 当且仅当 时,取等号. ∵ ,∴当 时, 取得最小值-3.

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