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关键字:一元二次方程

教案 课题: 17.1一元二次方程 教 学 目 标 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用; 2.引导学生经历根与系数的关系的探究过程,在这一过程中,培养学生观察、分析、归纳的能力和推理论证的能力; 3. 通过本节课 的教学,向学生渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律.激发学生发现规律的积极性,鼓励学生探索与实践的精神. 教学重点 一元二次方程的根 与系数的关系推导及其简单运用. 教学难点 一元二次方程的根与系数的关系的理解与简单运用. 教学方法 自主探究、师友互助与启发引导相结合. 辅助手段 多媒体 教学过程 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 一、 复习引入 创设情境 1.引言:韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一,在欧洲被 尊称为“代数学之父”. 韦达讨论了 方程根的各种有理变换,发现 了方程根与系数之间的关系(所以这一结论又称为“韦达定理”). 2. 写出一元二次方程的一般式和求根 公式. 1.叙述引言 ,引出课题(板书),明确 目标. 2.提出问题. 积极思考回答 进入学习状态 师友互查. 激发兴趣,引起探索渴望.为后面问题的解答做好铺垫. 二、 相互探究 归纳证明 活动一:探究一元二次方程的根与系数的关系推导. 1.解下列方程,并求出两根之 和、两根之积. ① x2+5x+ 6=0 ②4x2-4x+1=0 ③2x2+7x -4=0 2.观察、分析这三个方程的两个根x1+x2,x1x2的值与系数a,b,c的关系. 4.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1 +x2,x1x2与a,b ,c的关系 ? 活动二:证明猜想 的结论.   证明: 设ax2+bx+ c=0 (a≠0)的两根为 x1, x2,则: 1.出示问题 2.引导学生观察、分析、归纳: 方程的两根之 和等于 一次项系数与二次项系数的比的相反数,两 根之积等于常数项与 二次项系数的比. 启发学生:求根公式是具有一般性的 ,我们用求根公式来证明就可以了. 解方程,求值,再观察、分析、归纳. 独立思考后. 师友交流. 思考证明的方法 ,一名学生 板书, 其他学生在学案上推导. 结论.如果方程ax2+bx+c =0 ( a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=- ,x1x2= . 通过问题情境,引导主体探究,经历探究过程 ,培养学生观察、分析、归纳的能力 ,激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神. 通过代数问题的 证明培养学生推理论证的能力. 教学过程 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 三 解决问题 分层提高 四 巩固反馈 自我反思 活动三:一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. (1)求方程的两根之和与两根之积 例1 不解方程,求下列 方程的两根之和与两根之积(口答) (1) x2-3x+1=0 (2) x2-2x=2 (3)2x2+3x=0 (4) 3x2=1 (5)x2-x+4=0 例题: 1若一元二次方程 的两根是x1 、x2,则x1 + x2 =____; x1 ? x2 =_______. 2若一元二次方程 的两根是x1、x2 则x1 + x2 =____; x1 ? x2 =_______. 3提高题:甲乙同时解方程 , 甲抄错了一次项系数,得两根为2﹑7,乙抄 错了常数项,得两根为3﹑-10 则 p= ,q= . (2)求 代数式的值. 例2 不解方程,求方程2x2 +3x-1=0的两个根的 (1)倒数和 (2)平方和 练习: 设 、 是方程 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: 出示问题 启发点拨 引导学生解答 强调: 应用一元二次方程根与系数关系时要注意的问题:(1 )先化成一般形式,在确定a,b, c. (2 )当且仅当b2-4ac≥ 0时,才能应用根与系关系. (3)两个根的和等于---比的相反数(   )   两个根的积 等于---比(   ). . 归纳步骤: 1.确定a,b,c. 求两根的和与积. 2.把代数式进行 恒等变形. 3.整体代入,求值 . 思考回答 巩固新知 思考回答:应用一元二次方程根与系数关系时要注意哪些问题? 探究解法,会进行恒等变形. 师友互问互答 通过巩固练习,及时巩固定理,再次体会一元二次方程的根与系数的关系,培养思维的灵活性. 让学生体会根与系数关系的简单应用. 巩固所学知识 教学过程 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 四、 归纳小结 拓展提升 一 、知识:一元二次方程的根与 系数的关及其简单的应用. 二、方法 :我们经历了由特殊到一般,再由一般到特殊的认识过程,用观察、归纳、猜想、证明是的方法推导了韦达定理 . 三、.应注意的问题: 1先化成一般形式,在确定a,b,c 2当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系关系. 3要注意比 的符号: 两个根的和--比前面有负号, 两个根 的积--比前面没有负号. 引导学生小结,提炼知识. 反思本节课所学内容 ,谈自己的收获. 培养学生的学习习惯,及时总结 所学. 板书设计 一元二次方程根与系数的关系(一) 一元二次方程根与系数关系 猜想: 关系的推导 应用 (1)求方程两根的和与积 (2)求代数式的值 作业 课后练习

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