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第十四章 分式 复习导航 河北 姜雅妹 分式是继整式之后对代数式的进一步研究,分式与整式一样,都是表示具体问题情境中数量关系的工具.分式及分式的运算是数学基础知识的重要组成部分之一,在初中数学中占有重要的地位,是构建数学模型解决实际问题的基础,更是解决实际问题的基础工具. 学法指导 学习本章时,要理解并掌握好分式的基本性质,它是分式的通分与约分的基础,掌握好分式的运算法则;增强应用意识,认真地分析问题和研究问题,要多注意观察、归纳、类比、猜想,从多角度思考问题.同时本章的学习中,要注意类比思想和转化思想.在学习分式的基本性质时,与小学学过的分数的基本性质相比较;在学习通分和与约分时,与小学学过的分数的通分和约分相比较;在学习分式的除法时,把它转化成分式的乘法来计算. 知识方法归纳 (一)必备知识 1.分式 形如 ( , 都是整式,并且 中含有字母)这样的代数式,叫做分式,其中 叫做分式的分子, 叫做分式的分母. 分式有意义的条件是分母 ;分式的值为0的条件是分子 而分母 . 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 即 , ( 是不等于0的整式) 3.约分和通分 把分式中的分子、分母的公因式约去,叫做分式的约分. 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 4.分式的运算 (1)分式的乘法法则 分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 即 . (2)分式的除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 即 (3)分式的加减 1)同分母分式的加减法法则 同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减). 即 , . 2)异分母分式的加减法法则 异分母的两个分式相加(减),先通分,变为同分母的分式,再加减. 即 . (4)分式的混合运算 分式混合运算的顺序为:先乘方,再乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算. (二)重点方法归纳 1.转化思想方法 在进行分式除法运算时,根据分式的除法法则,需要将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘,从而把除法转化为乘法. 2.在运用分式解决实际问题,需从实际问题的数量关系中抽象出分式的模型,从而用数学方法解决实际问题. 考点归纳 考点1 考查分式有意义的条件 分式有意义的条件是分母不为0. 而分式无意义的条件是分母等于0,分式值为0的条件是分子等于0而分母不等于0. 例1 (1)当 时,分式 没有意义. (2)若 的值为0,则 的值是( ) A. B. C. D.不存在 解析:根据分式无意义的条件以及分式值为0的条件可有: (1)由 得 ,所以当 时 无意义. (2)由 得 ,但当 时 ,当 时 ,因此只有当 时分式 的值为0,故选择C. 考点2 考查分式的基本性质 掌握分式的基本性质是约分和通分的基础,更是进行分式运算的保证,同时分式的基本性质也是解分式方程的依据. 在应用分式的基本性质解题时,要特别注意性质中的“都”和“同”这两个字的含义,有不少同学解这类问题时,忽视这一点,犯了不该犯的错,希望引起高度重视. 例2计算: 分析:本题是异分母分式的减法运算,先通分,通分的法则是依据分式的基本性质来进行. 解: 考点3 考查分式的化简求值 分式的化简求值在中考中经常出现,在给定条件下,求分式的值是一类常见的问题,解决这类题的一般方法为:“先将分式进行化简,再将所给的条件如字母的值代入,便可求出分式的值.”对于有些分式的求值问题,不能直接代入,必须根据题目特点,把已知条件或所求分式进行适当变形. 例3 已知 ,化简 的值. 解:设 ,则 , , ,所以 评注:当已知条件以此类的连等式出现时,可用参数法,把 , , 用含有同一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求的式子中化简即可. 例4 已知 ,求 的值. 解:因为 ,所以 ,所以 评注:这一类型的分式求值,通常需要将条件等式变形成适合化简所求代数式的形式,然后整体代入,即可达到化简求值的目的. 考点4 考查分式的运算 分式的基本性质是分式化简计算的理论基础,只有理解掌握好分式的基本性质,才能更好地进行分式的运算.分式的运算既突出了代数式的运算、变形的基础知识和基本技能,又注重了数学思想方法,分式的运算与分数的运算相类似. 例5 计算:(1) (2) (3) 解:(1) (2) (3) 评注:(1)分式的加减运算与分数的加减运算一样,包括同分母和异分母分式相加减两种情况,重点掌握异分母分式的加减运算,本题就是异分母分式的加减运算,应先通分,再计算.通分时关键是要找准分母的最简公分母,注意不要忽略了最简公分母的系数. (2)本题是分式的乘除运算,重点要掌握分式的乘法运算,因为分式的除法也要转化为乘法来进行,当除法转化为乘法之后按照从左到右的顺序进行计算. (3)本题属于混合运算.在进行分式的加减乘除混合运算时,一定要按运算顺序进行,先算乘除,再算加减,如果有括号,要先算括号里面的,另外如果分式本身能约分的,一定要先约分,这样可简化计算. 考点5 考查利用分式运算解决实际问题 学习了分式的性质及运算后,我们不仅要会进行分式计算,而且要会利用分式性质及其运算解决一些实际问题,生活中许多实际应用题常利用分式的相关知识来解决.利用分式运算解决实际问题的一般步骤为:(1)正确分析出实际问题中量与量之间的关系;(2)把要求的量用分式表示出来;(3)根据问题的实际情况确定分式的运算. 例6 某工厂要挖一条1000米长的排水沟,先组织 车间的工人挖,每小时挖 米,两小时后改为由 车间的工人继续挖, 车间的工人每小时能挖 米,那么 车间的工人们用多少小时能把剩余的排水沟挖完? 解:根据题意,得 车间的工人把剩余的排水沟挖完所用的时间为: (小时). 评注:在本题中,用排水沟的长度减去 车间的工人挖的长度再除以 车间的工人每小时挖的长度,就可得到 车间的工人把剩余的排水沟挖完所用的时间. 误区剖析 误区1 忽略分数与分式的区别 分数与分式在形式上极其类似,但二者又存在着本质的区别:分数有分母但分母中无字母;分式不仅有分母,而且分母中一定要含有字母. 例 7 下列各式: 中,是分式的是 错解:分式有 错解分析:忽略分数与分式的本质区别:分母中含字母.认为只要有分母就是分式. 正确解法: . 误区2 忽略分式的分母不为零这个条件 分式 的条件是 且 ,但在分式的值为0的计算中,很多人容易忽略 这个条件,导致不能正确求出字母的值. 例 8 当 为何值时, 的值等于0? 错解:因为 ,所以 ,所以 或 . 错解分析:本题错误在于忽略了分式有意义的条件,即分母不能为0这个条件,导致求出的 值不正确. 正确解法:因为 ,所以 ,得 .所以当 时, 的值等于0. 误区3 忽略除法法则 我们在进行分式的乘除法运算时,要统一为乘法运算,这时就要把除法变为乘法,但是经常有同学忘记把除式的分子和分母颠倒位置,导致结果出错. 例 9 计算: 错解: 错解分析:错解的原因是把分式除法转化为分式乘法时,没有把除式 变为它的倒数 . 正确解法: 误区4 区分公因式与最简公分母 公因式与最简公分母在确定上有极大的类似之处,都是从系数、字母、字母指数三个方面来确定,但具体到确定方法时又各有不同.公因式的系数是最大公约数,最简公分母的系数是最小公倍数;公因式的字母找相同的字母,而最简公分母中的字母是所有出现的字母;公因式的字母指数要最低的,最简公分母却要字母的最高次幂. 例10 判断:分式 , , 的最简公分母为 . 错解:√ 错解分析:本题的错误之处在于公分母的系数,应取最小公倍数,不是最大公约数. 正确解法:× 点拨:掌握最简公分母的确定方法是解决异分母分式的加减法的关键. 例11 计算 错解: 错解分析:忽略了当分子是多项式时,必须把分子用括号括起来. 正确解法: 点拨:分子相加减的真正含义是指作为分子的整体,一定要用括号括起来. 姜雅妹 河北省唐山市滦南县扒齿港镇初级中学 邮编:063502 电话:13933404210 邮箱:95sgjym@163.com

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