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第十二章《分式》综合指导 分式的内容是继整式之后对代数式的进一步研究,分式、分式方程是解决实际问题的一种模型,它与前面已学习过的分数,分解因式,一元一次方程等有密切联系,是培养同学们分析问题和解决问题的重要内容,也是今后进一步学习函数和方程等知识的基础. 一、课程标准要求 1.本章主要学习了分式的基本概念和性质,分式的加减法和乘除法、含有字母系数的一元一次方程和分式方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程及其应用。 2.应当注意理解分式、有理式的概念,会求分式有意义的条件。应注意掌握分式的基本性质,能用它将分式变形,并能熟练进行通分和约分,掌握分式加减、乘除的运算法则,进行分式的运算。 3.在进行分式加减运算时要注意通分,在进行分式的乘除运算中,注意对结果的约分化简。 二、重点、难点、考点回顾 重点、难点解读: 1.分式及分式的基本性质 2.分式的运算 (1)约分与通分问题; (2)分式的乘除法: 乘法法测: ? = ;除法法则: ÷ = ? = (3)分式加减运算: 同分母的分式相加减的法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,用式子表示是: ± = (其中a、b既可以是数,也可以是整式,c是含有字母的非零的整式) 异分母的分式相加减:异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法. 三、思想方法总结 1.类比思想: 本章突出了类比的思想,从分数的基本性质约分、通分及分数的运算法则类比引入分式基本性质、通分、约分及分式的运算,从分数的一些运算技巧、类比引入了分式的一些运算技巧,无一不体现类比思想的重要性,分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程学习 2.转化思想: 转化是一种重要的数学思想方法,它的应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏问题转化为熟悉问题。在本章的学习中多处运用了转化思想,如:分式除法 乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法 同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程 整式方程,从而得到分式方程的解等,这种思想方法今后也常常遇到,注意掌握 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等 四、易混、易错点突破 1.符号错误 例1.不改变分式的值,使分式 的分子、分母第一项的符号为正. 错解: 诊断:此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号. 正解: . 2.运算顺序错误 例2.计算: 错解:原式= . 诊断:分式的乘除混合运算是同一级运算,运算顺序应从左至右. 正解:原式= . 3.错用分式基本性质 例3.不改变分式的值,把分式 的分子、分母各项系数都化为整数. 错解:原式= . 诊断:应用分式的基本性质时,分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式,分式的值不变,而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了. 正解:原式= . 4.约分中的错误 例4.约分: . 错解:原式= . 诊断:约分的根据是分式的基本性质,将分子、分母的公因式约去,若分子、分母是多项式,须先分解因式,再约去公因式. 正解:原式= . 5.结果不是最简分式 例5.计算: . 错解:原式= . 诊断:分式运算的结果必须化为最简分式,而上面所得结果中分子、分母还有公因式,必须进一步约分化简. 正解:原式= . 6.误用分配律 例6.计算: . 错解:原式= . 诊断:乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律. 正解:原式= . 7.忽略分数线的括号作用 例7.计算: . 错解:原式= . 诊断:此题错误在于添加分数线时,忽略了分数线的括号作用. 正解:原式= 五、考点透视 考点一:分式的概念 例1.若分式 的值为0,则x的值为( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 分析:本题考察了分式的求值,但分式 =0时 A=0而 解:由于 的值为0,所以 本题选D。 点评: 在解决此类问题时一定要注意分式的概念中 这个条件,以防解错。 考点二:分式的求值 例2.已知 ,则代数式 的值为 分析:本题中先对已知 进行变形得到y-x=3xy,将其代入所求代数式中即可 解:由 得:y-x=3xy,所以, 原式= 点评:本题主要考察分式和代数式的值。在计算代数式的值时,一般先要求出其中字母的值再代入计算,但有时字母的值不能求出或不好求出,可以利用整体代入的方法来计算。 考点三:分式的应用 例3. (1)请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值. 分析:本题考察了分式的运算和代入求值,运算时要求正确的通分,因式分解和约分。 解:原式= 点评:本题考查分式的运算,分式的混合运算:先乘方,再乘除,最后加减,如有括号,先算括号内的。在进行分式的各种运算时: (1)对于分子、分母中的多项式能因式分解的,应先进行因式分解。 (2)分式运算的结果通常要化成最简分式和整式。

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