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漳州市2015年 中考数学压卷题训练3 1. 如图1,P (m,n)是抛物线y= -1上 任意一点,l是过点(0,-2)且与x轴平行的 直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H. 【探究】 (1)填空:当m=0时,OP= ,PH= ;当m=4 时,OP= ,PH= ; 【证明】 (2)对 任意 m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想. 【应用】 (3)如图2,已知 线段AB=6, 端点A,B在抛物线y= -1上滑动,求A,B两点 到直线l的距离之 和的 最小值 2.如图,直线 AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,-4 ). (1 ) 求抛物线的解析式; (2) 将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为E,与y轴的交点记为F, ①求当 △BEF与△BAO相似 时,E点坐标; ②记平移 后抛物线与AB 另一 个交点为G,则S△ EFG与S△ACD是否 存在8倍的 关系?若有请直接写出F 点的坐标. 漳州市2015年中考数学压卷题训练3参考答案 1. 解:(1)1;1;5;5; (2)OP =PH.理由如下 : 将P( m,n)代入 y= -1中得n= -1 , ∴m2=4n+4. ∴OP2=m2+n2=n2+4n+4=(n+ 2)2, 又∵PH=n+2,∴PH2=(n+2)2. ∴OP=PH. (3)由(2)的结论可知, A点到直线l的距离等于OA的长,B点到直线 l的距离等于OB的长, 要使A ,B两点到直线l的距离之和最小,则A、O、B三点在一条直线上,A,B两点到直线l的 最小距离之和等于AB的长,等于6. 2. 解:(1)直线AB 的解析式为y=2x +4 , 令x=0,得y=4;令y =0,得x=-2. ∴A(-2,0)、B( 0,4). ∵抛物线的顶点为点A(-2,0 ), ∴设抛物线的解析式为:y =a(x+2) 2 , 点C(0,-4)在抛物线上,代入上式得:-4=4a,解得a=-1 , ∴抛物线的解析式为y=-(x+2)2 . (2)平移过程 中,设点E的坐标为(m,2m+ 4), 则平移后抛物线的解析 式为:y=-(x-m) 2+2m+4, ∴F(0,-m2+2m+4). ①∵点 E为 顶点,∴∠ BEF ≥90°, ∴若△BEF与△BAO相似 ,只能是点E作为直角顶点, ∴△BAO∽△BFE, ∴ ,即 ,可得:BE=2EF. 如答图2-1,过点E作EH⊥y轴于点H,则点H坐标为:H(0,2m + 4). ∵B(0,4),H(0,2m+ 4),F(0,- m2+2m+4), ∴BH=| 2m|,FH=|-m2|. 在Rt△BEF中,由射影定理得:BE2=BH?BF,EF2=FH?BF, 又∵BE=2EF,∴BH=4FH, 即:4|-m2|=|2m|. 若-4m2=2m,解得m=-或m=0(与点B重合,舍去); 若-4m2=-2m,解得m=或m=0(与点B重合, 舍去),此时点E位于第一象限,∠BEF为钝角,故此情形不成立 ∴m=-,∴E(-,3). ②假设存在. 联立抛物线:y= -(x +2)2与直线AB:y=2x+4 ,可求得:D(-4,-4), ∴S △ACD=×4×4=8. ∵ S△EFG与S △ACD存在8倍的关系, ∴S△EFG=64或S△EFG=1. 联立平移抛物线:y=-(x- m)2 +2m+4与直线AB:y=2x+4,可 求得:G (m-2,2m). ∴点E与点M横坐标相差2,即: |xG|-| xE|=2. 如答图2-2,S△EFG=S△ BFG -S△BEF=BF?|xG|-BF|xE|=BF?(|xG|-|xE|) =BF. ∵B(0,4 ),F(0,-m2+2m+4),∴BF=|-m2+2m|. ∴|- m2+2m|=64或|-m2+2m|=1, ∴-m2+ 2m可取值为:64、-64、1、-1. 当取值为64时,一元二次方程-m2+2m=64无解,故-m2+2m≠64. ∴-m2+2m可取值为 :-64、1、-1. ∵F( 0,-m2+2m+4), ∴F坐标为:(0,-60)、(0, 3)、(0,5). 综上所述,S△EFG与S△ACD 存在8倍的关系,点F坐标为(0,-60)、(0,3)、(0,5).

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