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关键字:陕西省西安中学2014届高三第八次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案(人教A版).doc

西安中学2014届高三第八次模拟考试数学(理)试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确的选项填涂在答题纸上指定位置) 1、复数 ( 为虚数单位)的虚部是 (  ) A. B. C. D. 2.已知集合 ,函数 的值域为B,则 为( ) A. B. C. D. 3、如图程序运行后,输出的值是( ) A. 9 B. 5 C. -4 D. 14 4、已知等比数列 ,且 ,则 的 值为( ) A. B. C. D. 5、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的 三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( ) A、 B、6 C、 D、 6、函数 的大致图像是( ) A B C D 7、圆心在曲线 上,与直线 相切,且面积最小的圆的方程为( ) A. B. C. D. 8.给出下列命题: ①命题“若方程 有两个实数根,则 ”的逆否命题是真命题; ②在△ABC中,“ ”是“ ”的充要条件; ③函数 的零点个数为 ; ④幂函数 的图像恒过定点 其中正确命题的个数为( ) 、 、 、 、 9、定义:区间 长度为 .已知函数 定义域为 ,值域为 , 则区间 长度的最小值为( ) A. B. C.4 D. 10、对于定义域为 的函数 和常数 ,若对任意正实数 ,存在 ,使得 恒成立,则称函数 为“敛 函数”.现给出如下函数: ① ; ② ;③ ; ④ . 其中为“敛 函数”的有 ( ) A.①② B.③④ C. ②③④ D.①②③ 二.填空题:本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置. 11、已知 的最小值为 ,则二项式 展开式中 项的系数为 . 12、若 ,则函数 的单调递增区间是 13、已知实数x,y满足 若 取得最小值时的最优解 有无数个,则 的值为______________. 14、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表. 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数,如 .则 . 15、 、定义:关于 的不等式 的解集叫 的 邻域.已知 的 邻域为区间 ,其中 、 分别为椭圆 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线 的焦点重合,则椭圆的方程为 ; 、(选修4—4坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 与曲线 的一个交点在极轴上,则 的值为 . 、(选修4-1:几何证明选讲) 是半圆 的直径,点 在半圆上, ,垂足为 ,且 ,设 ,则 的值为 . 三.解答题(本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16、(本小题满分12分)已知向量 , , 设函数 , . (Ⅰ)求 的最小正周期与最大值;(Ⅱ)在 中, 分别是角 的对边,若 的面积为 ,求 的值. 17、(本小题满分12分)已知 为等差数列,且 . (Ⅰ)求数列 的通项公式及其前 项和 ; (Ⅱ)若数列 满足 ,设数列 的前 项和为 , 当 时,证明 . 18、(本题满分12分)(考生注意:本题由两题组成,考生在两题中选择一题解答) 题一:证明点到直线的距离公式;已知点 及直线 : , 证明点 到直线 的距离 。 题二:叙述椭圆的定义,并推导椭圆的标准方程; 19、(本小题满分12分)如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, , 为 的中点. (1)若 ,求证:平面 平面 ; (2)点 在线段 上, , 若平面 平面 ,且 , 求二面角 的大小. 20、(本小题满分13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率) 21、(本小题满分14分)已知函数 . (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若 对定义域内的任意 恒成立,求实数 的取值范围; (Ⅲ)证明:对于任意不小于 的正整数 ,不等式 恒成立. 西安中学2014届第八次模拟考试数学(理科)试题答案 三、解答题 16、解:(1) , ∴ 的最小正周期为 , 的最大值为 …………6分 (2)由 得 , , ,又 , 由余弦定理得: ………………12分 17、解:(1)设等差数列的首项和公差分别为 ,则 ,解得 ……2分 ∴ ………………4分 ………………6分 (2)解:∵ ① ∴ ② ①-②得: ∴ , 又 , ∴ . ---------9分 ∴当 时, ………………12分 椭圆的定义:平面内到两个定点 距离之和为定值(定值大于两定点的距离)的点的集合(或轨迹)为椭圆。 称为椭圆的两个焦点。………………… 3分 解:设 ,定值为 ;取 所在的直线为 轴,线段 的中点为坐标原点 建立直角坐标系,设动点 ,则 ………………… 5分 由已知条件有 ,将坐标代入有 ………… 7分 化简整理得: , ,∴令 则有: , ,………………… 10分 所以焦点在 轴的椭圆的标准方程为 如果取 所在的直线为 轴,则椭圆的标准方程为 ………………… 12分 19、 (1)证明:由条件, , 又 , 所以平面 …………5分 (2) ,又平面 平面 , 平面 平面 , ,以 为坐标原点, 为 轴建立空间直角坐标系 ,则由题意得, , …………9分 设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,令 得 , ,又 是平面 的一个法向量, , 故二面角 的大小为 . …………12分 20、 解析:(Ⅰ)由已知,得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得 , 所以 的分布列为 1 1.5 2 2.5 3 的数学期望为 ………… 6分 (2)记 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”, 为该顾客前面第 位顾客的结算时间,则 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 ………13分 21、解: 。 (Ⅰ)当 时,若 ,则 ,若 ,则 ,故此时函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ; 当 时, 的变化情况如下表: 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ; 当 时, ,函数 的单调递增区间是 ; 当 时,同 可得,函数 的单调递增区间是 , 单调递减区间是 ………5分 (Ⅱ)由于 ,显然当 时, ,此时 对定义域每的任意 不是恒成立的, 当 时,根据(1),函数 在区间 的极小值、也是最小值即是 ,此时只要 即可,解得 ,故得实数 的取值范围是 ……9分 (Ⅲ)当 时, ,等号当且仅当 成立,这个不等式即 ,当 时,可以变换为 , 在上面不等式中分别令 , 所以 ht tp://w…………………14分

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