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关键字:山西省永济市涑北中学校2013-2014学年高一下学期4月学科竞赛 数学 Word版含答案(人教A版).doc

永济市涑北中学校 2013-2014学年学科竞赛 高一数学试题 2014年5月6日 满分150分 用时120分钟 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 1.某同学使用计算器求50个数据的平均数时,错将其中的一个数据150输入为15,那么由此求出的平均值与实际平均值的差是( ) A. B. C.3 D. 2.设集合 , ,则 等于( ) A. B. C. D. 3.已知 ,则 与 的关系是( ) A. 或 B. C. D. 4.将向量 按向量 平移得到向量 ,则 ( ). A. B. C.5 D. 5.已知函数 满足 , ,则 的值为( ) A.3 B.2 C.1 D. 6.函数 的零点个数为( ) A. B. C. D. 7.记 为坐标原点,已知向量 , ,又有点 ,满足 , 则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知 , , , ,则 是直角三角形的概率是 ( ) A. B.    C. D. 9.已知 ,则函数 的最小值是( ) A. B. C. D. 10.已知 为 的最小内角,若向量 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共7小题,每小题7分,共49分. 11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是 12.如图执行右面的程序框图,那么输出的 值为 . 13.函数 的值域是 .(其中 表示不超过实数 的最大整数) 14. 已知定义域为 的函数 对任意 都满足条件 与 ,则对函数 ,下列结论中必定正确的是 .(填上所有正确结论的序号) ① 是奇函数; ② 是偶函数; ③ 是周期函数; ④ 的图象是轴对称的. 15.若 为整数,关于 的方程 有整数根,则 . 16.函数 的值域是 . 17. 方程 的解集为 . 三、解答题:本大题共3小题,共51分. 18.(本题满分16分) 已知函数 . ⑴求 的最小正周期和 的值域; ⑵若 为 的一个零点,求 的值. 19.(本题满分17分)如图,已知O为 的外心, 角A、B、C的对边,且满足 。 ⑴推导出三边 之间的关系式; ⑵求 的值。 20. (本题满分18分)定义在正实数集上的函数 满足下列条件: ①存在常数 ,使得 ; ②对任意实数 , 当 时,有 . ⑴求证:对于任意正数 , ; ⑵证明: 在正实数集上单调递减; ⑶若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 命题人:王慧鹏 高一数学答卷页 二、填空题 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 17.________________ 三、解答题(16分+17分+18分=51分) 18.⑴ ⑵ 19.⑴ ⑵ 20.⑴ ⑵ ⑶ 高一年级数学竞赛答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.解:求出的平均值 实际平均值 ,选B. 2.解:可得 , ,所以 ,选C 3.解:由于 , 与 的终边位置相同或关于 轴对称,所以 或 ,合并得 .选D. 4.解:由向量平移的不变性可知 , .选C 5. 解: 的周期 由已知条件,可求得 , , , ,故 . 6. 解: ,所以 的零点个数即函数 与函数 的交点的个数,作图可知有 个交点,选D. 7.解: ,点 在以点 为圆心, 为半径的圆周上.可得 ,如图可知,当直线 与圆周相切时, 有最大值为 ,当 三点共线时 有最小值为0,所以 的取值范围为 .选A. 8.解:由 与 构成三角形及 知 ,可得 . 与 垂直,则 ;若 与 垂直,则 (舍去);若 与 垂直 ,或 (舍去);综上知,满足要求的 有2个,所求概率为 .故选 D. 9. 解: , , , 当 时, ,当 时, .故选D 10. 解: , 故选C 二、填空题:本大题共7小题,每小题7分,共49分. 11.解:同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有8种,其 中两个正面一个背面的情况有(正,正,背),(正,背,正)与(背,正,正)三种,故所求概率为 . 12.解: . 13.解: ,所以 的所有可能取值为 ,从而 值域为 . 14.解:由 知 有周期 ,于是 ,知 为奇函数,填①③. 15.解:设 为方程的整数根,则 ,必有 或 得 或 . 16. 解:由函数 得: 当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x∈(0,1]; 当x的终边落在第二象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在第三象限时,有f (x)= sin2x∈[ 1,0); 当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在两个坐标轴上时,有f (x)=0. 综上所述, f (x)的值域是 . 17. 解:令 ,则 , , , , 原方程的解集为 三、解答题:本大题共3小题,共51分. 18.解:⑴ .…………………………………………………..4分 所以 的最小正周期 ;……………………………..……….…..5分 由 ,得 的值域为 .…………………..7分 ⑵ ,由题设知 ,….8分 由 ,结合 知 , 可得 .…………………………………………………..10分 ,………………………...………..12分 ,……………………………..………..14分 ……….……..16分 19.解:(1)取AB、AC的中点E、F,则 同理 ;所以 ……………………………8分 (2) 20.(本题满分18分) ⑴证明: 均为正数,且 ,根据指数函数性质可知,总有实数 使得 ,于是 ,..…2分 又 , ..5分 ⑵证明:任设 ,可令 , .……….7分 则由⑴知 ,…………………………………………………..9分 即 . 在正实数集上单调递减;..………………………..10分 ⑶解:令 ,原不等式化为 ,其中 . 且 , 不等式可进一步化为 ,……………………….……..12分 又由于单调递减, 对于 恒成立.……………………..13分 而 ,………………….……….…..15分 且当 时 .……………………………………..16分 ,又 ,终得 .…………………………..18分

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