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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两 部分, 共150分,考试用时 120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷4至6页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在 答题卡上,并在规定位置粘贴 考试用条形码。答卷时,考生务必将答案 涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝 各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项: ?1 、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号 涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题,每小题5分,共 40分 参考 公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 ?如果事件 A,B 相互独立, P (A∪B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A) P(B). 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 椎体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示椎体的底面积, h 表示柱体的高. h 表示棱柱的高. 第Ⅰ卷注意事项:本卷共8小题,每小题5分,共40分. 一、选择题:在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合 A∩C u B (A) (B) (C) (D) (2)设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大 值为 (A)3(B)4(C)18(D)40 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 (A) (B)6(C)14(D)18 (4)设 ,则“ ” 是 “ ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不 充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)如 图,在圆 中, 是弦 的 三等分点,弦 分别经过点 .若 , 则线段 的长为 (A) (B)3(C) (D) (6)已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上,则双曲线的方程 为 (A) (B) (C ) (D) (7)已知定义在 上的函数 ( 为实数)为偶函数,记 ,则 的大小关系为 (A) (B) (C) (D ) (8)已知函数 函数 ,其中 ,若函数 恰有4个零点 ,则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 第II卷 注意事项 : 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题 卡上 . 2、本卷共12小题,共计110分. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分 . (9) 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数 的值为 . (10)一个几何体的三视图如图所示(单位: ), 则该几何体的体积为 . (11)曲线 与直线 所围成的封闭图形 的面积为 . (12)在 的展开式中, 的 系数为 . (13)在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 的面积为 , 则 的值为 . (14)在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上, . 三、解答题:本大题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15 .(本小题满分13分 ) 已知函数 , (I)求 最小正周期; (II)求 在区间[-π/3,π/4]上的最大值和最小值. 16. (本小题满分13分)为推动乒乓球运动 的 发展, 某乒乓球 比赛允许不同协会的运动员组队参加 .现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中 种子选手3名.从这8名运动员 中随机选择4人参加比赛. (I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率; (II)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列 和数学期望. 17. (本小题满分13分) 如图,在四棱柱 中,侧棱 , , , ,且点M和N分别为 的中点. (I)求证: MN∥平面ABCD (II)求 二面角 的正弦值; (III)设E为棱 上的点,若直线NE和平面ABCD所成 角的正弦值为 ,求线段 的长 18. (本小题满分13分)已知数列 满足 ,且 成等差数列. (I)求q的值和 的通项公式; (II)设 ,求数列 的前n项和. 19. (本小题满分14分)已知椭圆 的左焦点 为 ,离心率为 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆 截得的线段的长为c, . (I)求直线FM的斜率; ( II) 求椭圆的方程; (III)设动点 P在椭圆上,若直线FP的斜率大于 ,求直线OP (O为原点)的斜率的 取值范围. 20. (本小题满分 14分)已知函数 ,其中 . (I)讨论 的 单调性; (II)设曲线 与 轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为 ,求证:对于任意的正实数 ,都有 ; (III)若关于 的方程 有两个正实根 ,求证:

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