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绝密★启用前 2015年 普通高等学校招生全国考试 数学(文)(北京卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生 务必将 答案答在答题卡上,在 试卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8小题,每小题5分,共 40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项。 (1)若集合A={x| □5<x<2},B={x|□ 3<x<3},则A□B= A. 3<x<2 B. 5< x<2 C. 3<x<3 D. 5<x<3 (2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (A )( x□1)2+(y□1) 2 = 1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1 (C)(x+1)2+(y+1) 2= 2 (D)(x□1)2+(y□1)2=2 (3)下列函数中为 偶函数的是() (A)y=x2sinx (B)y=x2cosx (C)Y=|ln x| (D)y=2x (4)某校老年,中年和青年教师 的人数见下表 ,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在 抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年人数为() (A) 90 (B)100 (C)180 (D)300 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 (5)执行如果所示的程序框图,输出的k值为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (6)设a, b是非零向量,“a?b=IaIIbI”是“a//b”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D)既不充分也不必要 条件 (7)某四棱锥的三视图如图所 示,该四棱锥最长棱的棱长为 (A) 1 (B) (B) ( D)2 (8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时 的情况。 注:“累计里程”指汽车从出厂 开始累计行驶 的路程 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 (A)6 升 (B)8升 (C)10升 (D)12升 第二部分(非选择题共110分) 二、 填空题(共6小题,每小题5分,共30分) (9)复数i(1+ i )的实数为 (10)2-3 ,3 ,log25三个数中最大数的是 (11)在△ABC中,a=3,b= , A= , B= (12)已知(2,0)是双曲线 =1(b>0)的一个焦点,则b=. (13)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x ,y)为D中 任意 一点, 则z=2x+3y的最大值为 (14)高三年级267位学生参加期末考试,某班37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位 学生。 从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中 ,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前 的学生是 ②在语文和数学两个科目中 ,两同学的 成绩名次 更靠前的科目是 三 、解答题 (共 6题,共80分,解答应写出 文字说明,演算步骤或证明过程) (15)(本小题13分) 已知函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的 最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间 上的最小值。 (16)(本小题13分) 已知等差数列 { }满足 + = 10, - =2. (Ⅰ)求{ }的通项公式; (Ⅱ)设等比数列{ }满足 , ;问: 与数列{ }的第几项相等? (17 )(本小题13分) 某超市随机选取 1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的 情况,整理成下统计表, 其中“√”表示购买,“×”表示未购买。 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率 (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该 顾客同时购买乙、 丙、丁中那种商品的可能性最大? (18)(本小题14分) 如图,在三棱锥E-ABC中,平面EAB ⊥平面ABC,三角形EAB为等边三角形,AC⊥ BC,且AC=BC= ,O,M分别为AB,EA的中点。 (1) 求证:EB //平面MOC. (2) 求证:平面MOC⊥平面 EAB (3) 求三棱锥E-ABC的体积。 (19)(本小题13分) 设函数f(x)= ,k>0 (I)求f(x)的单调区间和极值; ( II)证明:若f (x)存在零点,则f( x)在区间(1, )上仅有一个零 点。 (20)(本小题14分) 已知椭圆 , 过点 且不过点 的 直线与椭圆 交于 两点,直线 与直线 . ( 1)求椭圆 的离心率; (II)若AB垂直于x轴,求直线BM的 斜率; (III)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由。

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